信道模型的研究與應用

田 媛

（西安航空學院 電子工程學院，陜西 西安 710003）

0 引言

大多數科學家都認為，信息理論始于香農發表于1984年的那篇著名論文[1]。在那篇論文中，他提供了以下問題的答案：

—什么是“信息”，以及如何衡量它?

—存儲和信息傳輸的基本限制是什么?

答案既令人滿意又令人驚訝。而最令人震驚的是，他們將復雜問題簡化為簡單的分析形式的能力。從那時起，信息理論一直在設計能夠達到或接近這些極限的設備。

在遠距離通信和計算機網絡中，將數據從一個位置傳輸到另一個位置，需要某種形式的途徑或媒介。這些被稱為“交流通道”[2]的路徑，可以指的是一種物理的傳遞介質，例如一根電線，也可以是指在一個多路傳輸介質上的邏輯連接，例如一個無線電通道。信道主要用來從一個或幾個發送者(或發射機)到一個或多個接收器之間傳送一個信息信號，例如一個數字比特流。信道有一定的傳輸信息的能力，通常是用赫茲的帶寬或每秒比特的比特率來測量[2]。

1 香農理論

將信息從發射機傳送到接收機的過程可以被描繪成圖 1。這個被稱為“香農范式”的模型是通用的，適用于各種各樣的情況。

圖1 香農理論模型

它主要表述了以下幾部分內容：

(1)信息來源是一種從字母表中隨機傳遞符號的裝置。

(2)信道是一個將發射機與接收機連接的系統。它包括信號設備和銅線、同軸電纜或光纖，以及其他的可能。若給定一個接收到的輸出符號，由于隨機環境噪聲和信號處理的不完善，系統并不能確定輸入的符號被正確傳遞。

(3)一個信源編碼器可以通過消除冗余來更簡潔地表示數據源，它的目的是降低數據的速率。

(4)信道編碼器通過增加冗余來保護傳輸信號不受傳輸錯誤的影響。

(5)信源和信道解碼器與信源和信道編碼器工作原理相反。

因此，“信源編碼”和“信道編碼”之間存在二重性，前者傾向于降低數據速率，而后者則需要提高它。

2 信道的基本分析

一般來說，信道可以劃分為“無記憶信道”和“有記憶的信道”[3]。在這里，我們首先關注基于離散無記憶信道(DMC)的分析。因為它結構簡單，更容易解釋和理解。

作為前文提到的通信系統的一部分，我們可以看到離散的無記憶信道(DMC)有一個輸入 X和一個輸出Y，如圖2所示。

圖2 DCM結構

隨機信號X和Y都是離散的，且可以取有限數量的可能值。所以有：

信道輸入序列: X0, X1, ......, Xi，Xi? A。其中A取有限值映射表: A={a1, a2, ..., aq}；q為映射表的大小。

信道輸出序列: Y0,Y1, ......, Yi，Yi? B。其中B取有限值映射表: B={b1, b2,..., br}；r為映射表大小。

在某一特定時間t，信道的輸出Y=y僅依賴于信道在t時刻的輸入X=x，與之前的歷史輸入無關。因此，轉移概率分布是Y0=y0, Y1=y1,…, Yn-1=yn-1的條件聯合概率，其條件為：X0=x0, X1=x1,…, Xn-1=xn-1。故可以表述為：

聯合概率分布還可以寫為聯合概率矩陣。信道矩陣 T={tij}被定義為已知輸入信號 xi的概率和輸出信號yj的概率的傳遞矩陣：

任何信道模型的一個重要性能指標就是信道容量(Channel Capacity，C)，在原則上，信道容量即是一個信道可以攜帶的“最大信息量”。因此，通道容量為通道性能提供了“上限”(就信息傳輸的級別而言)。通道輸入X和信道輸出Y之間的互信息I(X；Y)提供了一種可以由通道承載的“信息量”的度量，是信道容量的信息理論定義。因此，“信息”通道容量C被定義為信道輸入和輸出之間的“最大相互信息”。

香農的信道容量公式(所有速率R的最高值，其中存在一串有消失的錯誤概率的編碼序列，其大小隨塊長度n為exp(nR))，主要針對無記憶信道。

若信道有記憶，那么它通常表述成為另一種近似的表達[4]。

香農還證明：當傳輸速率不超過下式中 C的值時，在數字信道中是可以實現無錯誤的傳輸的。

其中S為信號強度；w為信道帶寬；N0位單邊噪音強度密度。并且信道增益被假定為在整個帶寬W上統一等于一個單位，而在其他地方則為零。信道的噪聲被認為是高斯噪聲和白噪聲。因此，C的值也被稱為信道容量或香農極限[5]。

3 信道模型

信道可以通過嘗試調整傳輸信號，并計算其物理過程來進行物理建模。信道模型在設計和開發多媒體應用方面起著至關重要的作用。例如，理解通道損害對通過這些通道傳輸的壓縮數據的影響是非常重要的。常用的模型包括：無損通道、確定通道、均勻通道、二進制擦除通道(BEC)和二進制對稱信道(BSC)。這些信道的擴展也用于在具體應用中模擬更現實的場景。

3.1 附加噪聲信道(AWGN)

附加噪聲信道（The additive noise channel）是最簡單的一類信道數學模型是，如圖3所示。在這個模型中，傳輸信號 s(t)被一個附加的隨機噪聲過程 n(t)干擾。實際過程中，噪聲的附加過程可能來自于通信系統的接收方的電子元件和放大器，或者是在傳輸過程中遇到的干擾，就像無線電信號傳輸的情況一樣[6]。

如果噪音主要是由電子元件和放大器的放大器所引入，它可以被描述為熱噪聲。這種噪聲實際上和高斯噪聲的過程類似，因此，該信道的數學模型通常被稱為附加高斯噪聲信道[6]。由于它的數學可跟蹤性，該信道模型成為適用于廣泛的物理通信信道，因此它也是在通信系統分析和設計中使用的主要信道模型。

圖3 AWGN結構示意圖

該信道衰減很容易被合并到模型中。當信號通過信道傳輸衰減時，接收到的信號是

其中，a代表衰減因子。

3.2 二進制擦除信道(BEC)

二進制擦除通道(The binary erasure channel)可能是最簡單且非平凡的通道模型，但是它們(及其擴展)被廣泛用于包括“丟失”數據的信道或鏈接。該模型原本是Elias在1954年作為一個玩具提出的例子，但是由于互聯網的出現，促進了擦除信道進入了“真實世界”的使用范圍。

在擦除信道模型中，信息可能會丟失，但不會被干擾破壞。BEC以最簡單的形式捕捉了擦除：即，單個比特被傳送時，要么被正確接收，要么被丟失。因此，解碼的關鍵是確定找到給出碼字的擦除部分和未擦除部分的比特位的值。

圖4描繪了BEC(p)的基本結構。時間t是離散的，發射機和接收器是同步的(均以t為參考)。t時刻，輸入信號X（t），該信號是二進制的，即此時，對應的輸出可以映射為其中，?表明一個擦除。每一位的傳輸都伴隨著是概率為 p的擦除可能性，或者正確的接收。即：擦除在每一個時刻t都是獨立發生的。因此，我們也可以說通道是無記憶的[7]。

圖4 BEC的基本結構和矩陣

BEC(p)的信道容量是CBEC(p)=1-p位/使用信道。很容易看出：如果n位被傳輸，那么平均(1-p)n位被接收(并且被正確地接收)。根據大數定律，對于很大的n時，實際(正確)接收位數很可能接近這個平均值。因此，即使發送者和接收方事先知道哪些位將被刪除，信息也可以以最多 1-p位/使用信道的速率進行可靠傳輸。也許令人驚訝的是，以任意接近1-p的速率進行可靠傳輸均是可能的[7]。

考慮信道在以下情況級聯：給定兩個參數，p和q，p

圖5 兩個BEC級聯示意圖

3.3 二進制對稱信道(BSC)

二進制對稱信道(The Binary Symmetric Channel)模型(及其擴展)被廣泛用于展示存在錯誤的通道或鏈接，例如無線連接和低質量的有線通道。圖6描述了BSC(p)的基本模型。

圖6 BSC基本結構與矩陣

時間 t是離散的，發射機和接收器是同步的(且均以 t為時間參考)。在t時刻的輸入，由X（t）表示，它是二進制的，即 X（t）{0，1}。對應時刻的輸出Y（t）可取{0，1}。這顯示出BSC與BEC的明顯不同，并以下列條件概率為特征（在信道矩陣中顯示相同）：

與BEC模型不同，在BSC中，接收的位（即使它們是正確的），我們也不知道它們是否是正確的；因此，對于接收到的比特的正確性，存在著一種不確定情況[8]。從概念上講，如果接收到的位被干擾損壞，我們可以通過“通知”接收端來解決這種不確定性。這反過來相當于在每次從輸入端 X傳遞一位信息的同時，“發送”一個“代碼”，用于通知接收者 BSC的信道狀態(或者是否產生錯誤)。因為這里的信息是二進制的，所以它與一個“二進制源”的熵相同，該二進制源有以下條件概率函數因此，在接收端收到的信息中，與輸入信息X有關的有效(最大)信息是：1位(傳輸的X位)減去用來表示信道狀態的位數（用 H(ε)表示），即:

與 BEC的級聯情形類似，這里假設這些級聯BSC通道的錯誤參數p和q是獨立的，如圖7所示。因此，p的值不會影響q，即與q無函數關系，反之亦然。在這種情況下，一個端到端的錯誤只可能在這種情況下發生：一個錯誤發生在第一個BSC信道(誤差參數p)并且沒有錯誤在第二個BSC信道(錯誤參數q)；或沒有錯誤發生在第一個 BSC信道和一個錯誤發生在第二個BSC信道。因此，在兩個級聯的BSC通道上，有錯誤參數p和q：

圖7 BSC通道級聯示意

因此，兩個級聯的BSC通道可以被看作是一個單獨的BSC通道，其整體損失參數為A[8]。

4 計算機模擬

為了更好地理解信道的概念，我們可以使用計算機軟件，如 MATLAB，進行模擬。將不同類型的代碼通過不同的信號模型進行傳輸，并觀察比較輸出。在本文中，選取漢明代碼應用于AWGN和BSC。

漢明碼是一種線性的錯誤校正碼，它可以檢測到2位錯誤或糾正1位錯誤，而不會發現未糾正的錯誤[9]。相比之下，簡單的奇偶校驗碼不能糾正錯誤，只能檢測出奇數位的錯誤。因此，漢明碼是更為高級的代碼，它們的代碼塊長度和最小距離達到了最高的碼率。

我們可以模擬并輸出在AWGN和BSC中代碼的比特誤率的曲線，如圖8所示。

圖8 AWGN和BSC中代碼的比特誤率的曲線

顯然，在 AWGN信道中，隨著信噪比(SNR)的升高，比特誤率(BER)逐漸降低，最終達到0。在BSC中，中間線是模擬的BER，而其他的線是分析的BER。從圖 8（b）中，上面的黑線是當誤差概率p最大時的 BER，而另一個則誤差概率最小時。從結果可以得知，更大的錯誤概率p會導致BSC中更高的BER。

5 信道的應用

多年來，數字通信領域出現了巨大的增長，特別是在蜂窩、衛星和計算機通信領域。在這些通信系統中，信息被表示成一系列二進制數碼，隨后被調制到模擬信號波形，并通過信道傳輸。信道在傳輸過程中引入了噪聲和干擾[10]。在接收端，被信道加入干擾的傳輸信號被映射回二進制位。因此，接收到的二進制信息只是對傳輸的二進制信息的近似估計。位錯誤可能是由于傳輸造成的，而位錯誤的數量取決于通信信道的噪聲和干擾量。

二進制的衛星通信系統結構如圖9所示。

圖9 二進制衛星通信系統結構示意圖

在衛星通信中，上行鏈路(up-link，UL或u/l)是用于從地球終端到衛星或機載平臺傳輸信號的通信鏈路的一部分。向上鏈接和向下鏈接互為相反。向上鏈接或向下鏈接同時區別于反向鏈接或轉發鏈接。BSS和NSS內部的通信和信號流也可以被識別為上行鏈路和下行鏈路。在計算機網絡中，一個上行鏈路是從數據通信設備到網絡核心的連接[12]。這也被稱為上游連接。

在衛星通信中，下行鏈路(down-link，DL)是從衛星到地面站的連接。在蜂窩網絡中，無線電下行鏈路是從一個站到手機的傳輸路徑。在基站子系統(BSS)和網絡交換子系統(NSS)之間的通信和信號流也可以被識別為上行鏈路和下行鏈路。在計算機網絡，下行連接是數據通信設備與數據終端設備之間的連接[12]。這也被稱為下游連接。

6 結論

本文主要討論了三種常用的信息通道模型：AWGN、BEC、BSC和它們的級聯應用。通過MATLAB進行計算機仿真，證明了香農理論的實際應用。

要通過信道進行可靠的通信，傳輸速率就不能大于信道容量。二進制對稱信道是二進制通信系統的合適模型，在這種系統中，輸入和輸出符號出現在一個對稱的錯誤概率上。同時信道容量也隨信道的信噪特性而變化，高速率高信噪比的傳輸可以由此獲得。

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