一類中立型多時滯微分不等式無最終正解的進一步結果

林文賢

（韓山師范學院數學與統計學院，廣東潮州 521041）

1 引 言

近年來，中立型泛函微分不等式和微分方程出現了許多研究成果，參見文獻[1-28]．本文將考慮如下一般形式的非線性偶數階中立型多時滯不等式

其中n是偶數，τ＞0為常數．給出不等式（1）幾個新的最終正解不存在準則．

關于不等式（1），本文始終假設下列條件成立：

引理1[29]設不恒為零，則?tu≥t0和整數l∈{0,1,...,}n,n+l為奇數，使對t≥tu有u(k)(t)＞0,0≤k≤l且(-1)k+1u(k)(t)＞0,l≤k≤n.

引理2[30]設引理1的條件成立，且u(n-1)(t)?u(n)(t)≤0,t≥t0，則?常數θ∈(0,1)和M＞0，使得對充分大的t有

2 主要結果

定理1假設條件成立，對任意整數m＞2，若存在常數θ∈(0,1)和M＞0，使得

則不等式（1）無最終正解.

證明用反證法，假設x(t)是（1）的最終正解，則存在t1≥t0，使得x(t)＞0,x(t-τ)＞0,x[gi(t)]＞0,t≥t1,

則y(t)≥x(t)＞0,t≥t1，且

故b(t)y(n-1)(t)為t的單調遞減函數，可證y(n-1)(t)≥0,t≥t1．事實上，若存在t2≥t1，使得y(n-1)(t2)＜0,

則從t2到t對(4)積分，并由已知條件得,再次從t2到t對上式積分，得

令t→∞，并利用條件得因此，此與“y(t)＞0”矛盾．又注意到b′(t)=p(t)＞0和（4）可得，y(n)(t)≤0,t≥t2．由引理1知存在t3≥t2和奇數l(0≤l≤n-1)，使得y(i)(t)＞0,0≤i＜l;(-1)i-ly(i)(t)＞0,l≤i＜n,t≥t3．取i=1，得y′(t)＞0,t≥t3．

令

則z(t)≥0.由于x(t)≤y(t)，因此注意到y′(t)＞0 及條件 (Η3)與(Η4)，有

于是對于常數θ∈(0,1)，有

這樣，由（5）、（6）及（7）得

由此可得，對于任意的t≥t2，有

對上式令t→∞，并取上極限得

此與條件（3）矛盾．定理1證畢．

推論1若定理1中的（3）式被替代為

則不等式（1）無最終正解.

定理2假設條件成立，如果存在常數m≥2和函數,使得

則不等式（1）無最終正解．

證明假設相反，x(t)是 （1） 的最終正解,則由定理 1的證明知存在常數θ∈(0 ，1)和M＞0，使得（8）式成立，這樣

令t→∞，并取上極限得

由條件（11），有

此與條件（12）矛盾．定理2證畢．

定理3假設條件成立，如果存在常數m≥2和函數使得

則不等式（1）無最終正解．

證明假設相反，x(t)是（1）的最終正解，則由定理2的證明知?t2≥t1≥t0，存在常數和M＞0，使得當t＞u≥t2時（13）成立．進一步，有

令t→∞，并取上極限，并注意到（16）可得φ(u)≤ρ(u)z(u),u≥t2

因此

定義函數

則由（13）可知

注意到（16）式，有

從（15）和（21）得

在（19）中令t→∞，可得

因此對足夠大的n，有

其中k1＞k是常數，由w(t)的定義有

表明w(t)是增函數，所以存在．這里l=∞或為正常數.

假若l=∞，則由（23）知

因此，對任意的0＜∈＜1，當n充分大時

取t→∞，由（22）式，有

此與條件（17）矛盾 定理3證畢．

定理4若定理1條件滿足，則不等式（2）無最終負解．

定理5若定理2條件滿足，則不等式（2）無最終負解．

定理6若定理3條件滿足，則不等式（2）無最終負解．

注：當p(t)≡1時，不等式（1）就是文獻[4]所研究的不等式，因而本文的結論推廣了文獻[4]的結果．

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