無窮時滯二階中立型微分方程周期解的存在性

陳仕洲

（韓山師范學院數學與統計學院，廣東潮州 521041）

具有無窮時滯的泛函微分方程的周期解的存在性問題是重要而困難的問題，因而引起學者們的極大關注，并且已得到一些好的結果[1-9]．如文獻[8]研究了

周期解存在性．文獻[9]將文獻[8]的結果推廣到更廣泛的一類具有無窮時滯二階中立型泛函微分方程

本文將利用重合度理論，研究比方程（2）更廣泛的一類具有線性自治差分算子和無窮時滯的二階泛函微分方程

設

設Y={y|y∈C(R,R)|y(t+T)≡y(t)},其范數為X={x|x∈C1(R,R)|x(t+T)≡x(t)},其范數為||x||1=||x||+||x′||,則X,Y都為Banach空間．L:X→Y,

則方程（3）化為算子方程Lx=Nx.

設φ(t)≠0是方程的解，則易知

引理1[7]如果|c(t)|≠1,則映射A在Ω?CT上存在連續逆映射A-1，滿足

設X和Y都是實Banach空間，L:DomL?X→Y是指標為零的Fredholm映射，即dimKerL=codimImL＜∞.，且 ImL是Y中的閉集．存在連續投影P:X→X,Q:Y→Y使得ImP=kerL,ImL=KerQ=Im(I-Q),X=KerL⊕KerP,Y=ImL⊕ImQ,

設Ω?X是有界開集，且Ω?DomL≠φ.稱映射N:→Y在上是L緊，如果有界且是緊的.

引理2[10-11]（Manasevich-Mawhin）設X，Y都是Banach空間，L:DomL?X→Y是指標為零的Fredholm映射，Ω?X為有界開集，N:→Y在上是L-緊的．若下列條件成立

（H3）Lx≠λNx,?x∈?Ω?DomL,λ∈(0,1)，

（H4）Nx?ImL,?x∈?Ω?kerL，

（H5） deg{JQN,Ω?kerL,0}≠0,其中J:ImQ→KerL是一個同構.

則方程Lx=Nx在?DomL中有解.

引理3[12]設x∈C1(R,R) ?CT,ξ∈[0,T],

則

易知 kerL?R,，于是知L是指標為零的Fredholm算子．令投影算子

則Lp是可逆的，其逆為

定理1記有界，

如果

則方程（3）有一個連續可微的T周期解．

證 令

則方程（3）化為算子方程Lx=Nx.記Ω1={x|x∈D(L),Lx=λNx,λ∈(0,1)}.?x∈Ω1，

有

從0到T積分方程（9），得

由f的連續性知，?ξ∈(0,T)使因p有界，

設

注意到

由x(0)=x(T)知?c∈(0,T)，使得x′(c)=0.

由引理3，

由（9）-（11）可得

下面分兩種情況討論：

情況1如果c∞＜1，由（5）、（12）、（13）和引理1可得

情況2如果c0＞1，同上可證

從 而 易 知 ?M0＞0,使 得從 而 ‖x‖1＜2M0即 Ω1是 有 界 集.取Ω2＝{x∈KerL?X,Nx∈ImL},令x∈Ω2,則且

令

?x∈KerL??Ω及α∈[0，1],有F(x,α)≠0.即F(x,α)為同倫變換．由拓撲度的同倫不變性，有

根據引理2，方程（3）存在T周期解．

注1 當c(t)≡k,δ(t)≡σ時，定理1推廣了文獻[9]的主要結果；當c(t)≡0時，定理1改進和推廣了文獻[8]的主要結果.

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