關于勾股定理有趣的數學文化與多種證明方法

趙祖洪

中圖分類號：G718.3 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2017）04-0076-02

在同學們整個中學的學習生活和實際生活中，我們都會遇到有關直角三角形的計算和測量，那就是勾股定理的運用。我們老師不僅要教會同學們學會數學科學文化知識，更重要的是要讓我同學們在日常生活中去靈活運用以及有關它存在的各種數學模型中。還要能感受我們今天的學習都是古代數學家們經過大量的實踐與證明的得到的東西，探索數學知識從無到有的文化。勾股定理的發現與證明都是十分精彩的，在歷史長河中，勾股定理是全世界人的偉大發現。

今天我們教科書上的多種證明，在此一一列舉出來，可能對同學們學習數學以及培養數學興趣有所幫助。并在今后的學習中鋪平道路，對勾股定理有趣的文化有一個更加深刻的認識。

一、勾股世界

我國是最早了解勾股定理的國家之一，在我國最古老的數學經典著作《周髀算經》上記載著這樣一段歷史：西周開國之初（約公元前一千多年）有一個叫商高的數學家對周公（周武王的弟弟，封在魯國當諸候）說：把一根直尺折成直角，兩端連結起來構成一個直角三角形.它的短直角邊稱為勾，長直角邊稱為股，斜邊稱為弦。發現如勾為3，股為4，那么弦必為5。這就是勾股定理，又稱商高定理。

在西方公元前六世紀到公元前五世紀希臘數學家畢達哥拉斯也發現這一定理，并給出了證明，但他的證明也已失傳。后來歐幾里得寫《幾何原本》時，給出一個證明留傳至今（后文我們再補充，豐富同學們的視野）。因而西方稱這一定理為畢達哥拉斯定理。這一定理在數學上有廣泛的應用，而且工程技術，測量中也有許多應用。它在人類文明史上有重要的地位。

而在中國的有一位古代數學家趙爽在繼商高之后證明了勾股定理。他這個證明可謂別具匠心，極富創新意識。他用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數式之間的恒等關系（與我們今天教科書上一些證明方法的大致類似）。既具嚴密性，又具直觀性，為中國古代以形證數、形數統一、代數和幾何緊密結合、互不可分的獨特風格樹立了一個典范。以后的數學家大多繼承了這一風格并且有所發展。稍后一點的劉徽在證明勾股定理時也是用的以形證數的方法，只是具體圖形的分合移補略有不同而已。

二、勾股定理的多種證明方法（以教科書編排為序）：

第一種證明：教科書P3，通過直接數出正方形A、B、C的小方格數，將不足一格的方格算半個。結果來看它們之間的關系。小方格數即為面積。由此方法可以得出正方形A、B的面積與正方形C的面積相等。

第二種證明：教科書P8，如圖所示：

分析：正方形EFGH的面積=正方形ABCD-周圍四個小三角形的面積。

計算：正方形ABCD邊長為a+b，則面積為（a+b）2，小三角形的面積為，代入分析里面的公式得：（a+b）2 -4€？a2+b2而正方形EFGH的面積也可表示為：c2，所以：a2+b2=c2

第三種證明：教科書P8，如圖所示：

分析：正方形ABCD=正方形EFGH+小正方形EFGH周圍的四個小三角形的面積。

計算：正方形EFGH的邊長為b-a，則面積為（b-a）2，小三角形的面積為，代入分析里面的公式得：（b-a）2 +4€祝ǎ？a2+b2，而正方形ABCD的面積也可表示為：c2，所以：a2+b2=c2

這里驗證勾股定理的方法，據載最早是由三國時期數學家趙爽在為《周髀算經》作注時給出的。我國歷史上將圖中弦上的正方形稱為弦圖。這也是2002年世界數學家大會（ICM-2002）在北京召開的會標。如右圖所示中央圖案正是經過藝術處理的“弦圖”，它既標志著中國古代的數學成就，又像一只轉動的風車，歡迎來自世界各地的數學家們！

第四種證明：教科書P11，是美國總統Garfield（伽菲爾德總統）于1876年給出的一種驗證勾股定理的辦法。整個事情經過是這樣的：在1876年一個周末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當時美國俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德。他走著走著，突然發現附近的一個小石凳上，有兩個小孩正在聚精會神地談論著什么，時而大聲爭論，時而小聲探討。由于好奇心驅使伽菲爾德循聲向兩個小孩走去，想搞清楚兩個小孩到底在干什么。只見一個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個直角三角形。于是，伽菲爾德便問他們在干什么？只見那個小男孩頭也不抬地說：“請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那么斜邊長為多少呢？”伽菲爾德答道：“是5呀。小男孩又問道：“如果兩條直角邊分別為5和7，那么這個直角三角形的斜邊長又是多少？”伽菲爾德不加思索地回答到：“那斜邊的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又說道：“先生，你能說出其中的道理嗎？”伽菲爾德一時語塞，無法解釋了，心理很不是滋味。

于是伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題。他經過反復的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡潔的證明方法。

如圖所示：

分析：四邊形ABED是直角梯形，可通過求梯形的面積減掉兩個小三角形的面積而得出△ACB的面積。

計算：由梯形面積公式得梯形面積為[（a+b）€祝╝+b）]€？，△ADC與△BEC的面積和為：ab，所以△ACB的面積=梯形的面積-△ADC與△BEC的面積和，代入以上數據進行化簡得：，由圖中可知△ACB的面積也可以表示為。因此 = ，最后得出： a2+b2=c2

第五種證明：教科書P13，是歷史上有名的“青朱出入圖”如圖所示。劉徽在他的《九章算術注》中給出了注解，大意是：△ABC直角三角形，以勾為邊的正方形為朱方，以股為邊的正方形為青方，以盈補虛，將朱、青二方并成弦方。依其面積關系有 2+b2=c2。“青朱出入圖不用運算，單靠移動幾塊圖形就直觀地證出了勾股定理，真是“無字證明”！

第六種證明：教科書P15-16，

意大利文藝復興時代的著名畫家達·芬奇對勾股定理也曾進行了研究。他的驗證勾股定理的方法可以從下面的實驗中得到體現。

（1）在一張長方形的紙板上畫兩個邊長分別為a、b正方形，并連接BC、FE（如圖①示）。

（2）沿ABCDEFA剪下，得到兩個大小相同的紙板Ⅰ，Ⅱ，如圖②所示。

（3）將紙板Ⅱ翻轉后與Ⅰ拼成如圖③所示的圖形。

（4）比較圖①，圖③中兩個多邊形ABCEEF和ABCDEF的面積，發現兩個的面積是一樣的。就能得出勾股定理的存在。

本種證明補充說明一下：同樣兩個紙板翻了下，就能證明，很明顯，原圖中剪掉的兩個小三角形面積都在，翻一下只不過將剪掉的兩個小正方形合并為一個正方形了，從而得出勾股定理的存在。

第七種證明：教科書P16，也是“無字證明”如圖所示，過較大正方形的中心，作兩條互垂直的線，將其分成4份，然后，將這四個部分圍在四周，小正方形填在中間，恰好得到大正方形。

第八種證明（書本上沒有列出）：

歐幾里德對直角三角形三邊關系上有著獨特的方法進行了論證，證明過程如圖所示：

證明：在Rt△ABC中，∠BAC=90€埃訟B、AC、BC為邊向外有三個正方形：正方形ABDE，正方形ACGF，正方形BCHJ。連接DC、AJ。過A點作AN⊥JH，垂足為N，交BC于M。先通過SAS，可得△ABJ≌△DBC， 因此它們的面積相等。而正方形ABDE的面積=2△DBC的面積，長方形BMNJ的面積=2△ABJ的面積。因此，正方形ABDE的面積=長方形BMNJ的面積。同理可得正方形ACGF的面積 = 長方形CMNH的面積。從而：BC2=AB2+AC2，即：a2+b2=c2。

三、結束語

通過以上的八種證明方法，相信同學們對于勾股定理會銘記在心，使這個烙印永遠烙在心底，為數學的學習樹立更為堅定的信心，為明天的學習奠定更為堅實的基礎，為心中的理想目標邁出成功的一步。讓這次洗禮成為中學學習生活中最為難忘的一堂課，而且在今后的運用中會更加得心應手，我也相信你們會向古代數學家們一樣，遇到問題會去探索、發現、歸納和概括。

（責任編輯 陳 利）