分類討論的數學思想遵循的教學原則

黎建英

【摘 要】分類討論的數學思想是研究初中數學問題的重要思想方法，它始終貫穿于整個數學教學當中。 初中數學分類討論思想教學必須遵循一定的教學原則，才能使大量繁雜的數學材料條理化、系統化，有效提高學生的綜合解題能力，才能培養學生嚴謹的思維品質。

【關鍵詞】分類討論思想;教學原則;循序漸進原則;同一性原則;學生參與原則

分類討論作為一種數學思想，對學生的思維發展中有著不可估量的作用。我在初中數學分類討論思想教學中，除了運用通常的教學原則外，我總結了以下的三點的教學原則。

一、循序漸進原則

分類討論的數學思想的形成難于知識的理解與掌握。分類討論的數學思想和方法一般要經歷三個階段：

（1）模仿形成階段，學生往往只注意了數學知識的學習，而忽視了聯結這些知識的觀點，以及由此產生的解決問題的方法和技巧，即使有所覺察，也是處于“朦朦朧朧”、“似有所悟”的境界。就以學習絕對值為例，學生在學習絕對值定義初，即使把絕對值定義背到滾瓜爛熟。學生腦海中依然會忽略絕對值的其它可能性。所以教學時必須反復強調絕對值定義引出的三種情況。

例1：填空題|a|=3 ，則a=（ ?）。班上則有三分之二的學生填 a=3。因為學生對絕對值定義理解還是朦朧的，學生還是忽略了另一種可能性a =-3。正確的答案應該是a=（+3）。

（2）初步應用階段，即學生對數學思想方法的認識開始已經明朗，開始理解解題過程中所使用的探索方法和策略，也會分類分析概括總結出來。

例2：當a取任意實數時，求|a-3|的值。到了這階段學生會水到渠成的對絕對值這類型題進行分類討論：

當a≥3時，因為a-3≥0，所以|a-3|=a-3;

當a≤3時，因為a-3≤0，所以|a-3|=3-a。

（3）自覺應用階段，當學生對絕對值學習到一定程度的時候，學生做到能根據數學問題，恰當運用分類討論思想方法進行探索，以求得問題的解決。

例3：若abc≠0，則的值不可能為（ ）

A.-1 ? ? ? ? ?B.1 ? ? ? ? C.2 ? ? ? ? D.3

分析：

這里沒有說明a、b、c是正數還是負數，所以該式有多個取值，但我們可以很容易得到，，。

解析：

①若a、b、c都是正數，則該式的值為3;

②若a、b、c都是負數，則該式的值為-3;

③若a、b、c中有一正兩負，則該式的值為-1;

④若a、b、c中有一負兩正，則該式的值為1.

因此，該題答案為C.

學生分類討論的數學思想方法的學習過程，決定了數學思想方法的教學原則不可能一步到位，也有一個相應的循序漸進、由淺入深的過程，因此要按照”反復強調、初步形成、應用發展”的順序來完成數學分類討論思想方法的教學。

二、同一性原則

同一性原則簡言之即“不遺漏”、“不重復”，要分清主次。分類討論的數學思想方法還必須遵循同一性的原則，才能使分類科學、嚴謹，從而能正確、合理地解題。

例4：等腰三角形的一個內角為50°，則其它兩個內角為（D）

A.50°，80°B.65°，65°C.50°，65°D.50°，80°或65°，65°

分析：題目中等腰三角形的一個內角50°是銳角，所以本題要分類討論50°可以指頂角，也可以指底角。再結合三角形兩邊的和大于第三邊綜合分析，也就有兩種可能性。故選擇D。

例5：點A，B，C 在同一條直線上，AB=3cm，BC=1 cm.求AC的長.

分析：由于線段可以由兩個大寫字母表示，并且字母沒有先后順便，學生習慣上將線段BC直接拼在線段AB的后側，而往往忽略了拼在其左側的情況，教學中引導學生明確線段的表示方法基礎上做出圖形，最后綜合得解。

解析：

（1）如圖①，因AB=3㎝ ，BC=1㎝，所以，AC=AB+BC=3+1=4（cm）.

（2）如圖②，因AB=3㎝，BC=1㎝，所以AC=AB-BC=3-1=2（cm）.

對于由圖形位置變化引起的分類討論問題，教師可以用“數形結合法”加以解釋。對各種情況用圖形進行輔助說明，這樣可以使得較為抽象的數學問題簡單化、直觀化，學生也比較容易理解和接受，同時，這樣的教學方法也能夠提高學生思維的靈活性和創造性。

對問題中的某些條件進行分類，要遵循同一標準，進行合理分類。需理清分類的界限，選擇分類標準，并做到不重復，不遺漏。

三、學生參與原則

由于分類討論的數學思想方法比數學知識更抽象，不可能照搬、復制。分類討論數學思想方法的教學，重在思辨操作，離開學生參與教學活動過程，數學分類討論思想方法教學就也就無從談起。只有激發學生學習的興趣，興趣是最好的老師、是一種無形的動力。在興趣的推動下組織學生積極參與分類討論教學，在老師的啟發引導下逐步領悟、形成、掌握分類討論數學思想方法，才能用自己的思維方式構建出數學分類討論思想方法體系。

例6：解關于x的不等式a（x+3）>x+a

分析：

本題考查的是不等式的性質在求解不等式的解集時對未知數的系數的符號進行判斷或分類這一知識技能。

解析：

我先讓學生觀察該不等式，再要求學生動筆計算，這時學生就急于通過移項、合并同類項將其化簡，得到：（a-1）x>-2a ，進一步系數化為1，得到：

.

我在課堂上巡視了一周，這時學生就美滋滋的認為這個結果是正確的。但是，這樣的答案是不完全正確的。我再次啟發學生，在不等式的左右兩邊同時除以式子a-1時，應該考慮a-1是正數、負數還是0。特別強調當a-1為負數時，不等號的方向要改變。所以該題的答案是：

①當a=1時，x為任意實數;

②當a <1時，x<-;

③當a>1時，x>-。

學生如果不參與第一環節的計算過程，就不會發現：當a=1時，當a<1時;當a>1時的三種情況，而且這三種情況必須要都要考慮的。

學生在求解該類不等式的解集時，很容易忽略未知數系數為負數這種特殊的情況而出現分析不全面的情況。因此，教師只有讓學生動口、動手、動腦參與數學課堂，才能提高學生綜合分析能力。

這是我在初中數學教學中，探討分類討論思想總結出以上三點教學原則。從以上的例題中不難看出，分類討論思想在初中數學練習的運用中占有很重要的地位。所以教師在教學中要對分類討論的數學思想，有意識地對學生加以滲透，對于蘊含在數學知識中的分類討論思想適時予以揭示，反復強化以優化學生的思維品質。只有這樣才能有效提高學生自身的解題能力。

參考文獻：

[1]呂巍.《分類討論思想在初中數學中運用的一些思考》.科學大眾（科學教育），2011年04期

[2]饒盛祥.廣東教育-高中，《備考中不可忽略的分類討論思想》，2011年第11期