采煤機截割部傳動系統的非線性動力學建模及仿真

毛 君 張 瑜 張 坤 陳洪月 徐健博遼寧工程技術大學機械工程學院，阜新,123000

采煤機截割部傳動系統的非線性動力學建模及仿真

毛 君 張 瑜 張 坤 陳洪月 徐健博
遼寧工程技術大學機械工程學院，阜新,123000

針對采煤機截割部齒輪傳動系統在運行中產生振動、制造噪聲污染等現象，綜合考慮嚙合剛度、嚙合阻尼、綜合誤差等因素，建立了采煤機截割部齒輪傳動系統的非線性動力學模型，運用變步長Runge-Kutta方法對系統微分方程進行了求解。通過分析相平面圖和龐加萊截面研究了嚙合剛度、阻尼比及激振頻率對齒輪系統動態特性的影響。研究結果表明：在一定區間內，阻尼比逐漸減小時，太陽輪位移響應由單周期運動轉為多周期運動，最終進入混沌運動；嚙合剛度增大時，太陽輪位移響應同樣從周期運動逐漸進入混沌運動；激振頻率逐漸增大時，太陽輪位移響應呈現由周期響應轉變為混沌響應再轉變為擬周期響應的現象。

采煤機截割部；行星齒輪傳動系統；非線性動力學；動力學微分方程

0 引言

截割部齒輪傳動系統是采煤機重要組成部分，它在運行中，不僅會產生振動，還會制造噪聲污染，因此有必要對采煤機截割部齒輪系統振動規律及動態特性進行深入研究[1-2]。

國內外學者對行星齒輪系統的非線性進行了大量研究。Lin等[3]對行星齒輪嚙合剛度變化引起的參數不穩定性進行了相關研究；Bark等[4]研究了行星齒輪傳動非線性動力學的解析解；Eritenel等[5]采用彎-扭-軸-擺耦合模型分析了斜齒行星齒輪傳動的固有特性；文獻[6-7]考慮齒輪副的綜合嚙合誤差，建立了等效多自由度系統振動的力學模型，研究了不同齒輪嚙合剛度條件下的系統振動特性，并分別對正交面和非正交面齒輪系統的非線性振動特性進行了深入研究；王世宇等[8]采用行星傳動純扭轉模型對傳動系統的固有特性進行了研究；孫濤等[9]對行星齒輪系統的非線性動力學問題進行了研究；公彥軍[10]建立了汽車自動變速器多級行星齒輪傳動系統的動力學模型，分析了自然模態和誤差激勵對系統固有特性的影響規律；黃啟林[11]結合公彥軍[10]的研究分析，建立了兩級行星傳動系統的動力學模型，研究了時變嚙合剛度及齒側間隙等因素對系統非線性動態特性的影響規律。

本文多方面考慮嚙合剛度、嚙合阻尼、綜合誤差等因素影響，建立采煤機截割部齒輪傳動系統的非線性動力學模型，運用變步長Runge-Kutta方法對系統微分方程進行數值求解，通過分析相平面圖和龐加萊截面研究嚙合剛度、阻尼比及激振頻率對采煤機截割部齒輪傳動系統非線性動態特性的影響。

1 采煤機截割部傳動系統力學模型

本文采用集中質量法建立采煤機截割部齒輪傳動系統的動力學模型，為研究嚙合剛度、阻尼比、激振頻率等因素對系統動態特性的影響，需作如下假設：①假設齒輪主體質量為集中一點的參數扭振系統；②假設內齒圈質量無限大，且忽略其波動；③將齒輪傳動系統中的齒輪看作直齒輪；④忽略齒輪軸、輸入軸、輸出軸及軸承等對系統的影響；⑤齒輪系統為剛性系統，采用剛度、阻尼元件對嚙合部分進行描述；⑥忽略摩擦力對系統的影響；⑦忽略齒輪載荷對齒輪系統產生的慣性影響。

采煤機截割部齒輪傳動系統結構示意圖見圖1。截割部在截割過程中所受載荷變化較大，且隨機性大，這加劇了傳動齒輪、軸承等關鍵零件的損壞。因此，研究采煤機截割部各級齒輪嚙合的動態特性，對延長截割部零件使用壽命，增強其抗振能力，提高采煤機的工作可靠性和穩定性具有重大的意義。

采煤機截割部齒輪傳動系統主要包括：Zi(i=1，2，…，8)表示第i個齒輪，sj(j=1，2)表示第j級太陽輪，pij表示第j(j=1，2)級行星架的第i(i=1，2，3)個行星輪，cj(j=1，2)表示第j級行星架，rj(j=1,2)表示第j級內齒圈，且內齒圈固定，忽略嚙合過程中產生的摩擦，則截割部搖臂齒輪傳動系統非線性動力學模型如圖2所示。

Z1—齒輪1 Z2—齒輪2 Z3—齒輪3 Z4—齒輪4Z5—齒輪5 Z6—齒輪6 Z7—齒輪7 Z8—齒輪8Z9—一級太陽輪 Z10—一級行星輪 Z11—一級內齒圈Z12—二級太陽輪 Z13—二級行星輪 Z14—二級內齒圈c—一級行星架 c′—二級行星架圖1 采煤機截割部齒輪傳動系統結構示意圖Fig.1 The motion diagram of cutting part and shearer rocker gear transmission system

圖2 采煤機截割部齒輪傳動系統非線性動力學模型Fig.2 The nonlinear dynamic model of cutting part and shearer rocker gear transmission system

齒輪Zi的齒數為zi，其角位移采用θi描述，ri為齒輪Zi的基圓半徑，齒輪Zi和齒輪Zj的嚙合剛度、嚙合阻尼系數、半齒側間隙、靜態嚙合誤差采用kij、cij、bij、eij描述，其中i=1,2,…,7，j=2,3,…,8；k81、c81為齒輪Z8與第一級太陽輪的嚙合剛度及嚙合阻尼系數；xij(i=1,2,…,7；j=2,3,…,8)為齒輪Zi角位移與齒輪Zj角位移相互作用的接觸線上產生的相對位移；θsj、θcj、θpij(j=1，i=1，2，3，4；j=2，i=1，2，3)分別為第j級太陽輪、第j級行星架、第j級行星架的第i個行星輪的角位移；rbsj、rbpij(j=1，i=1，2，3，4；j=2，i=1，2，3)、rbcj分別為第j級太陽輪、第j級行星架的第i個行星輪、第j級內齒圈的基圓半徑；rcj(j=1,2)為第j級行星架基圓半徑；kspij(j=1，i=1，2，3，4；j=2，i=1，2，3)為第j級太陽輪與第j級行星架第i個行星輪的嚙合剛度，其嚙合阻尼系數為cspij，半齒側間隙為bspij，綜合嚙合誤差為espij；krpij(j=1，i=1，2，3，4；j=2，i=1，2，3)為第j級內齒圈與第j級行星架第i個行星輪組成的內嚙合副的嚙合剛度，其嚙合阻尼系數為crpij，半齒側間為brpij，綜合嚙合誤差為erpij；第j級太陽輪的齒數采用zsj(j=1,2)描述，相應的第i個行星輪的齒數采用zpij(j=1，i=1，2，3，4；j=2，i=1，2，3)描述，zrj(j=1,2)為第j級內齒圈的齒數。

2 動力學微分方程

通過對截割部搖臂直齒輪、太陽輪、行星輪以及行星架動力學模型分析，可以得到整個系統的動力學方程：

(1)

各彈性恢復力及阻尼力可表示為

其中，f為間隙非線性函數，其表達式為

彈性恢復力及阻尼力中各嚙合剛度、嚙合誤差及嚙合阻尼表示為

kij(t)=kmij(1+σ′sin(Ωt+φij))
kspij(t)=kmsij(1+σsin(Ωt+φspij))
krpij(t)=kmrij(1+σ″sin(Ωt+φrpij))

eij(t)=em+eijjcos(Ωt+θij)
espij(t)=Aspijsin(Ωt+βsij)
erpij(t)=Arpijsin(Ωt+βrij+γsrj)

式中，kmij為第Zi、第Zj齒輪的平均嚙合剛度；kaij為第i、第j齒輪剛度幅度的平均漲幅程度；Ω為齒輪的激振頻率；φij為相位角；kmsij為第j級第i個行星輪外嚙合相互作用平均剛度；kasij為第j級第i個行星輪外嚙合相互作用過程中剛度的最大幅值；kmrij為第j級第i個行星輪內嚙合相互作用過程中平均剛度的變化值；karij為第j級第i個行星輪內嚙合相互作用過程中剛度的最大幅值；em為齒輪誤差平均幅值；eijj為誤差分量的幅值；θij為相位角；Aspij為第j級第i個行星輪外嚙合相互作用副誤差的最大幅值；Arpij為第j級第i個行星輪內嚙合相互作用副誤差的最大幅值；βsij為第j級第i個行星輪外嚙合相互作用副靜誤差的初相位；βrij為第j級第i個行星輪內嚙合相互作用副靜誤差的初相位；γsrj為第j級外齒輪嚙合相互作用副的相位差;ζ為直齒輪嚙合的阻尼比；mi為第i(i=1,2,…,7)個直齒輪的質量；mj為第j(j=i+1)個直齒輪的質量；msj(j=1，2)為第j級太陽輪的質量；mpij(j=1，i=1，2，3，4；j=2，i=1，2，3)為第j級第i個行星輪的質量；mrj(j=1，2)為第j級內齒圈的質量。

在行星齒輪系統中，齒輪副之間存在齒側間隙，系統的約束不完整，即系統的動力學方程為半正定系統，其方程解為非確定值。為了減小剛體位移對系統產生的影響，對整個方程組的求解進行降維，假設如下：

(2)

式中,xsj為第j級太陽輪線位移;xcj為第j級行星架線位移；xpij(j=1，i=1，2，3，4；j=2，i=1，2，3)為第j級行星架的第i個行星輪線位移；xscj(j=1,2)為第j級內外嚙合相互作用線上的位移疊加；xspij(j=1，i=1，2，3，4；j=2，i=1，2，3)為第j級太陽輪與第j級第i個行星輪嚙合相互作用的位移；xrpij(j=1，i=1，2，3，4；j=2，i=1，2，3)為第j級內齒圈和第j級第i個行星輪嚙合相互作用的位移。

令xi=θiri(i=1,2,…,8)，xsj=θsjrbsj(j=1,2)，xcj=θcjrbcj(j=1,2)，xpij=θpijrbpij(j=1，i=1，2，3，4；j=2，i=1，2，3)，則式(1)整理為

(3)

(4)

(5)

3 系統非線性動態特性仿真

從動力學角度出發，綜合考慮齒輪剛度激勵、嚙合沖擊激勵、誤差激勵等因素，研究采煤機截割部齒輪傳動系統非線性振動特性，采用變步長Runge-Kutta方法對上述動力學微分方程進行求解。由于第一級和第二級行星齒輪系統的太陽輪仿真結果基本一致，本文僅對第一級行星齒輪系統的太陽輪進行分析。

3.1 不同阻尼比下系統的響應

對于齒輪系統的線性振動，阻尼比僅對振幅有一定的影響，對齒輪系統的振動形式和性質產生的影響不大，當考慮行星齒輪系統中存在非線性振動因素時，分析阻尼比對系統的影響則至關重要，當阻尼比ζ分別為0.2、0.1、0.05時，系統響應如圖3～圖11所示。

圖3 ζ=0.2時太陽輪位移曲線Fig.3 The sun gear displacement curves(ζ=0.2)

圖4 ζ=0.2時太陽輪位移響應相平面圖Fig.4 The sun gear displacement response of phase plane diagram(ζ=0.2)

圖5 ζ=0.2時太陽輪位移響應龐加萊截面Fig.5 The sun gear displacement response of Poincare section(ζ=0.2)

圖6 ζ=0.1時太陽輪位移曲線Fig.6 The sun gear displacement curves(ζ=0.1)

通過對比不同阻尼比下行星齒輪系統的太陽輪位移響應結果可知，隨著阻尼比逐漸減小，行星齒輪系統的太陽輪位移響應由單周期運動變化到多周期運動，最終進入混沌運動狀態，系統的振動幅度呈增大趨勢。由此可得：在一定范圍內，阻尼比能夠對系統響應幅值產生抑制，即阻尼比越大，振動的振幅越小，反之，齒輪系統的非線性現象越明顯，易產生混沌現象。

圖7 ζ=0.1時太陽輪位移響應相平面圖Fig.7 The sun gear displacement response of phase plane diagram(ζ=0.1)

圖8 ζ=0.1時太陽輪位移響應龐加萊截面Fig.8 The sun gear displacement response of Poincare section(ζ=0.1)

圖9 ζ=0.05時太陽輪位移曲線Fig.9 The sun gear displacement curves(ζ=0.05)

3.2 不同嚙合剛度下系統的響應

為了研究不同嚙合剛度下系統的響應，令其余參數不變，嚙合變化系數σ分別為0.2、0.5、0.8，對此三種情況進行求解模擬，其結果如圖12～圖14所示。

圖10 ζ=0.05時太陽輪位移響應相平面圖Fig.10 The sun gear displacement response of phase plane diagram(ζ=0.05)

圖11 ζ=0.05時太陽輪位移響應龐加萊截面Fig.11 The sun gear displacement response of Poincare section(ζ=0.05)

圖12 σ=0.2時太陽輪位移響應相平面圖Fig.12 The sun gear displacement response of phase plane diagram(σ=0.2)

圖13 σ=0.5時太陽輪位移響應相平面圖Fig.13 The sun gear displacement response of phase plane diagram(σ=0.5)

圖14 σ=0.8時太陽輪位移響應相平面圖Fig.14 The sun gear displacement response of phase plane diagram(σ=0.8)

從圖12～圖14可知，當σ=0.2時，太陽輪位移響應的相平面圖僅存在一個非圓圖像，說明太陽輪位移的響應為一個周期運動；當σ=0.5時，太陽輪位移響應的相平面圖為6個橢圓，此時齒輪系統的太陽輪位移響應為六周期諧響應；當σ=0.8時，太陽輪位移響應為混沌響應。

3.3 不同激振頻率下系統的響應

為了研究不同激振頻率下系統的響應，令激振頻率Ω的數值分別為0.6、0.8、1.2、1.8，對系統進行求解，得到仿真結果如圖15～圖22所示。

圖15 Ω=0.6時太陽輪位移響應相平面圖Fig.15 The sun gear displacement response of phase plane diagram(Ω=0.6)

圖16 Ω=0.6時太陽輪位移響應龐加萊截面Fig.16 The sun gear displacement response of Poincare section(Ω=0.6)

圖17 Ω=0.8時太陽輪位移響應相平面圖Fig.17 The sun gear displacement response of phase plane diagram(Ω=0.8)

圖18 Ω=0.8時太陽輪位移響應龐加萊截面Fig.18 The sun gear displacement response of Poincare section(Ω=0.8)

當激振頻率Ω=0.6時，太陽輪位移響應的相平面圖僅由一個橢圓構成，且龐加萊截面僅存在一個點，說明此種情況下的響應為周期響應；當Ω=0.8時，龐加萊截面顯示為多個截點，此時太陽輪位移響應為混沌響應；當Ω=1.2時，太陽輪位移的相平面圖為非橢圓閉合曲線，龐加萊截面為多個離散點聚集在一起，此時太陽輪位移響應為擬周期運動；當Ω=1.8時，太陽輪位移相平面圖為兩個橢圓，龐加萊截面顯示有兩個離散點，此時太陽輪位移響應為二周期響應。

圖19 Ω=1.2時太陽輪位移響應相平面圖Fig.19 The sun gear displacement response of phase plane diagram(Ω=1.2)

圖20 Ω=1.2時太陽輪位移響應龐加萊截面Fig.20 The sun gear displacement response of Poincare section(Ω=1.2)

圖21 Ω=1.8時太陽輪位移響應相平面圖Fig.21 The sun gear displacement response of phase plane diagram(Ω=1.8)

圖22 Ω=1.8時太陽輪位移響應龐加萊截面Fig.22 The sun gear displacement response of Poincare section(Ω=1.8)

通過對以上結果分析可知，在一定范圍內，當激振頻率不斷增大時，系統的響應呈現從周期響應狀態進入混沌響應再進入擬周期響應狀態的規律現象，并非在高激振頻率情形下出現混沌現象。

4 結論

本文通過分析采煤機截割部齒輪傳動系統的動力學模型，建立其動力學微分方程，運用變步長四階Runge-Kutta方法對微分方程進行求解，獲得該響應的相平面圖和龐加萊截面圖，通過分析得到以下結論：

在一定區間內，隨著阻尼比逐漸減小，行星齒輪系統的太陽輪位移響應由單周期運動變為多周期運動，最終進入混沌運動狀態，系統的振動幅度呈增大趨勢；嚙合剛度對太陽輪位移響應同樣產生明顯的影響，在一定區間內，嚙合剛度增大時，太陽輪位移響應從周期響應進入多周期響應最終進入混沌狀態；當激振頻率產生變化時，太陽輪位移響應呈現由周期響應轉變為混沌響應再轉變為擬周期響應的現象。由本文研究結果可知，在一定區間內，增大阻尼比，減小嚙合剛度以及在一定范圍內，合理地調整激振頻率可以有效地降低系統的振動、減小噪聲，從而提高采煤機系統的工作可靠性和穩定性。

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(編輯 袁興玲)

Nonlinear Dynamics Modeling and Simulation of Shearer Cutting Unit Transmission System

MAO Jun ZHANG Yu ZHANG Kun CHEN Hongyue XU Jianbo

School of Mechanical Engineering, Liaoning Technical University, Fuxin,Liaoning,123000

According to the phenomenon that gear transmission system of shearer cutting unit produced vibrations and noise in operation, a nonlinear dynamics model for gear transmission system of shearer cutting unit was established with the consideration of mesh stiffness, mesh damping, and comprehensive errors. Differential equations were solved by employing variable step size Runge-Kutta integration method. The influences of mesh stiffnesses，damping ratios and excitation frequencies on gear transmission system were studied through analyzing phase plane and Poincare section. The results show that in a certain range，displacement response of sun gear changes from single periodic motion to multi-periodic motion and then into chaotic motion with the decreasing of damping ratio. Displacement response of sun gear also gradually changes from periodic motion to chaotic motion with the increasing of mesh stiffness. Displacement response of sun gear changes from periodic response to chaotic response and then into quasi-period response with the increasing of the excitation frequencies.

shearer cutting unit; planetary transmission system; nonlinear dynamics; dynamics differential equation

2015-12-02

遼寧省教育廳創新團隊資助項目(LT2013009)

O121.8

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.01.005

毛 君，男，1960年生。遼寧工程技術大學機械工程學院教授、博士研究生導師。主要研究方向為機械動態設計及仿真、機電一體化。E-mail:maojun0828@263.net。張 瑜，男，1987年生。遼寧工程技術大學機械工程學院博士研究生。張 坤(通信作者)，男，1990年生。遼寧工程技術大學機械工程學院碩士研究生。陳洪月，男，1982年生。遼寧工程技術大學機械工程學院副教授。徐建博，男，1989年生。遼寧工程技術大學機械工程學院碩士研究生。