不確定轉子系統動力特性的區間分析方法*

方 勃， 張潔潔， 高宇飛

(1. 哈爾濱工業大學 航天學院， 哈爾濱 150001； 2. 沈陽工業大學 建筑與土木工程學院， 沈陽 110870)

控制工程

不確定轉子系統動力特性的區間分析方法*

方 勃1， 張潔潔1， 高宇飛2

(1. 哈爾濱工業大學 航天學院， 哈爾濱 150001； 2. 沈陽工業大學 建筑與土木工程學院， 沈陽 110870)

為了研究含不確定參數轉子系統的動力特性，提出一種非概率區間分析方法對轉子系統進行分析.基于區間數學和區間攝動理論，建立轉子系統固有頻率的計算公式，用區間分析方法得到了固有頻率隨系統參數的變化關系，得出了轉子臨界轉速的變化范圍.該方法降低了傳統的概率分析方法對不確定參數信息的過分要求，為解決含有不確定參數的轉子系統的動力特性問題提供了一個新途徑.數值算例證明了本文所得結果的有效性，與傳統概率方法比較，區間分析方法具有精度高，計算量小等優點.

航空發動機； 轉子動力學； 區間分析； 不確定參數； 臨界轉速； 特征值； 非概率； 區間攝動法

在傳統航空發動機結構分析和設計中，結構的物理模型和計算模型均為確定性模型，所采用的結構計算參數都是一些確定的值.但在實際工程中總會遇到一些不確定的因素，例如測量不精確、加工水平與條件等因素導致結構的材料參數、幾何特性和外載荷等存在不確定性.這類誤差或者不確定性可能很小，而當這些誤差或者不確定性結合在一起卻可能使系統結構產生較大的、意想不到的偏差，特別是在航空發動機系統中，由于部件較多，這種表現尤為突出.產生這些誤差或不確定性的原因很多，如結構參數的制造誤差、安裝誤差、計算誤差和測量誤差，系統在不同的工作狀態下，結構參數具有不同的數值.因此，使用常規的確定性動力學模型分析發動機轉子系統所得到的計算結果往往并不能精確描述系統的工作狀況.要想更準確地建立航空發動機轉子系統的動力學模型，就必須要考慮各種不確定因素的影響，對航空發動機轉子系統動力特性進行不確定性分析.

針對實際存在的各種不確定性因素對航空發動機動力特性的影響，之前的學者研究了各種處理分析方法[1-6]，常見的主要有概率法(隨機法)、模糊法和區間分析法.

概率法把結構參數視為隨機變量對問題進行建模與分析，在這種情況下，所有不確定結構參數的聯合概率密度函數都應該是已知的.但是當沒有足夠的數據來驗證這些隨機變量(或相關的函數)概率密度的正確性時，概率法難以可靠地得到滿足精度要求的計算結果.

采用基于模糊集理論的方法來描述不確定性時，也需要知道不確定結構參數的隸屬度函數.與概率法相比，在很多情況下確定隸屬度函數更為困難，使用者往往帶有很大主觀性地選取相應的隸屬度函數，這樣的分析結果可靠性也值得懷疑[7].

在信息不夠充分的條件下，描述工程問題不確定性的一種方法是把這些不確定結構參數視為未知變量，它們在具有已知邊界的區間內取值，這就是所謂的區間分析方法.將非確定變量視為“未知然而有界”變量，當結構參數的樣本較少，無法得到參數概率分布或者隸屬度函數時，區間分析方法結果將更符合客觀實際.

目前對轉子系統動力特性的區間分析研究目前還鮮有報道，本文基于區間數學和區間攝動理論，建立了轉子系統固有頻率的區間分析方法，通過對數值算例計算分析，同時將結果與概率方法進行了比較，以驗證區間分析方法的有效性.

1 區間分析方法

1.1 不確定中心區間表示法

(1)

(2)

為區間XI的中點或中值，稱

(3)

為區間XI的半徑或不確定量.這兩個基本量在本文的討論中將起重要的作用.

利用中點Xc和不確定量ΔX可以將區間式(1)表示成另外一種有用的形式，即

[Xc，Xc]+[-ΔX，ΔX]=Xc+ΔXI=

Xc+ΔX[-1，1]=Xc+ΔXeΔ

(4)

式中：ΔXI=[-ΔX，ΔX]；eΔ=[-1，1]，這種表示方法稱為區間的中心區間表示法.

1.2 區間攝動法求解轉子系統的固有頻率

轉子系統的運動微分方程式可表示為

(5)

式中：M=(mij)為正定的質量矩陣；G=(gij)為反對稱陀螺矩陣；K=(kij)為半正定剛度矩陣；z為位移.

具有誤差或不確定性的轉子振動問題都可劃歸為在矩陣約束式下的轉子自由振動問題，約束式可表示為

(6)

經狀態變換后，與式(5)相對應的廣義特征值表示為

(7)

(8)

根據區間矩陣的表示方法和含義，式(8)可寫成

(9)

利用式(9)，根據區間數學的含義，式(7)可表示為

(10)

(i=1，2，…，n)

(11)

式中：

Reλi(〈A，B〉)和Imλi(〈A，B〉)分別為復特征值λi的實部和虛部.根據區間矩陣的中心表示法，廣義特征值式(10)可寫成

(Ac+ΔAI)u=λ(Bc+ΔBI)u

(12)

根據區間矩陣含義，任取矩陣δA∈ΔAI和δB∈ΔBI，則存在矩陣A∈AI和B∈BI滿足

(13)

這樣，區間矩陣對〈A，B〉的廣義特征值問題又可寫成

(Ac+δA)u=λ(Bc+δB)u

(14)

式中，矩陣δA和δB滿足約束條件

(15)

在區間矩陣AI和BI的不確定量ΔA和ΔB比較小的條件下，區間矩陣的廣義特征值問題式(10)可化為在矩陣約束條件式(15)下，中心矩陣Ac和Bc的特征值攝動問題式(14).

對式(14)和式(15)所表示的帶有矩陣約束的中心矩陣Ac和Bc的特征值攝動問題可理解為：在Ac和Bc已知，而小擾動δA和δB取值不定，但其取值范圍ΔAI=[-ΔA，ΔA]和ΔBI=[-ΔB，ΔB]已知的條件下，可確定復特征值的變化范圍.

在中心矩陣Ac和Bc的特征值攝動問題中，因Ac和Bc已知，可將復特征值λi(i=1，2，…，n)看成是擾動矩陣δA=(δaij)和δB=(δbij)各個元素δaij和δbij的函數.利用區間數學中的自然區間擴張理論，根據復特征值攝動問題公式可得復特征值λi的區間為

(16)

式中：

(17)

(18)

經區間運算可得

(19)

式中：

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

且滿足方程

(25)

根據式(21)和(23)，即可得轉子系統固有頻率所在的區間.

2 算例分析

為便于說明，選用文獻[9]中的單盤轉子模型進行分析，如圖1所示.轉子系統的具體參數為：圓盤的質量m=20 kg，半徑R=12 cm，轉動慣量J=1 440 kg·cm2，轉軸的跨度l=75 cm，直徑d=3 cm.圓盤至左支點的距離a=l/3=25 cm，令轉軸的彈性模量E為區間參數，取E=[Ec-βEc，Ec+βEc]，其中，Ec=20.58×106N/cm2，β為不確定因子，Ω為自轉角速度.

取不確定因子β=0.1，轉子自轉角速度Ω=200 rad/s，應用本文方法對轉子系統固有頻率進行分析，該系統的進動頻率有四個值，大于零的為正進動頻率，用fF1和fF2表示；小于零的為反進動頻率，用fB1和fB2表示，得到的頻率區間如表1所示.

圖1 單盤轉子系統Fig.1 Rotor system with single disk

表1 轉子進動頻率區間

令ωn=Ω或-Ω，可以求得轉子系統的臨界角速度區間，如表2所示，其中，ω2為同步正向渦動的臨界角速度；ω1和ω3為同步反向渦動的臨界角速度.

表2 轉子臨界角速度區間
Tab.2 Intervals of critical angular velocity of rotor

臨界角速度ωc/(rad·s-1)ω/(rad·s-1) ω/(rad·s-1)Δω/(rad·s-1)Δω/ωcω1237 2225 0249 412 20 0514ω2244 4231 9256 912 50 0511ω3845 0801 6889 443 40 0514

由表1和2可以看出，由本文方法算得的頻率區間的上下界與中心值較為接近，當不確定因子β=0.1時，由不確定參數導致頻率的不確定度Δω/ωc維持在5%左右.

圖2給出了轉子系統一階和二階正進動頻率上下界隨不確定因子β的變化區間，為了更直觀地比較，同時給出了概率方法求得的進動頻率上下界.

圖2 轉子系統進動頻率隨β的變化曲線Fig.2 Variation curves of procession frequency with β of rotor system

由圖2可以看出，本文求得的轉子系統固有頻率的上下界略大于概率分析方法所得的結果，根據文獻[4]的結論，概率方法得到的區間應包含在區間方法得到的區間內，進一步證明本文方法的正確性.同時本文方法得到的頻率區間與真實值較為接近，在缺少樣本和統計數據時，該方法用來計算轉子的臨界轉速是可行的，結果具有較高的可靠性.

3 結 論

本文基于區間數學和攝動理論，針對含有不確定參數的航空發動機轉子系統，提出了求解轉子系統固有頻率區域的區間攝動法，分析了不確定轉子系統的動力特性.通過數值算例與概率方法結果比較可知，該算法得到的固有頻率區間是真實有效的，更為重要的是，區間分析方法不需要太多的統計信息，當轉子系統不確定變量概率試驗信息缺乏時，區間分析方法的結果往往更為可靠，且更符合客觀實際.同時區間方法具有對參數條件要求較低，計算量小，有較強應用價值等優點.

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(責任編輯：景 勇 英文審校：尹淑英)

Interval analysis method for dynamical properties of rotor system with uncertain parameters

FANG Bo1, ZHANG Jie-jie1, GAO Yu-fei2

(1. School of Astronautics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China; 2. School of Architecture and Civil Engineering, Shenyang University of Technology, Shenyang 110870, China)

In order to study the dynamical properties of rotor system with uncertain parameters, a non-probabilistic interval analysis method was proposed to analyze the rotor system. Based on the interval mathematics and interval perturbation theory, the calculation formula of natural frequencies of rotor was established. The variation relationship of natural frequencies with the system parameters was obtained with the interval analysis method, and the variation range of critical speed of rotor was attained. The proposed method decreases the excessive requirements in the uncertain parameter information in the traditional probability analysis, which can provide a new way to solve the dynamical property problems of rotor system with uncertain parameters. The numerical examples prove the validity of the results in the proposed method. The interval analysis method possesses such advantages as high accuracy and low calculated amount.

aero-engine; rotor dynamics; interval analysis; uncertain parameter; critical speed; eigenvalue; non-probability; interval perturbation method

2015-12-23.

國家自然科學基金資助項目(10632040).

方 勃(1964-)，男，遼寧沈陽人，教授，博士生導師，主要從事結構動力學、振動與控制等方面的研究.

13∶56在中國知網優先數字出版.

http：∥www.cnki.net/kcms/detail/21.1189.T.20160512.1356.014.html

10.7688/j.issn.1000-1646.2017.01.16

T 231.96

A

1000-1646(2017)01-0083-05