凸顯操作價值 促進學生發展

張皎

摘 要：小學階段的數學知識，“并不是從顯明的、敘述的心理中推演出來的”，它更多地來源于生活，來自于學生的實際。因此，“認真聽講、積極思考、動手實踐、自主探索、合作交流等，都是學習數學的重要方式”（新課程標準）。操作已成為數學課堂，尤其低年級數學課堂學生獲取知識的重要方式。然而，當我們靜下心來仔細審視時，不禁悚然于這種方式行進中所凸現的忙碌于形式的現象（重過程而輕結論），匆匆于場面的表演（重結論而輕過程），操作往往是浮光掠影，淺嘗輒止。到底是以知識引領操作的進程，還是以操作引領知識的發展？其實不論怎樣，只有從學生的實際出發，為了學生的發展，操作才有存在的價值，才更具豐富的內涵。

關鍵詞：認知結構；數學語言；數學智慧

一、為豐富學生的認知結構而操作

學生面對新知時，并不是完全陌生的。他們總會在已有的認知系統中尋找到與之相關聯的舊知作為“固著點”，并在“固著點”的基礎上促進新舊知識間的相互轉化，把新知納入已有的舊知系統而獲得意義，形成新的認知結構。在數學學習中進行操作時（基于學具等進行的動手實踐），學生總是在對已有的知識、經驗和處理問題的習慣方式的不斷追問中探索、反思、提升，獲得新的感受。因此，合理有效的數學操作，更有利于學生自主建構，進一步豐滿已有的認知結構。

【案例1】 求一個數的幾倍是多少的實際問題（蘇教版小學數學三年級上冊）

1. 出示填空題：

白菜：□□□

青菜：○○○○○○○○○○○○

白菜有（ ）棵，青菜有（ ）棵，青菜的棵數是白菜的（ ）倍。

2. 操作：

師：第一行擺○○，第二行擺△，使△的個數是第一行的3倍。

（生擺△。）

師：誰來說一說你擺了幾個△？

生：擺了6個。

師：第一行擺○○，第二行擺△，使△的個數是第一行的4倍。

（生擺△。學生已經在兩個兩個地擺了。）

師：誰來說一說你擺了幾個△？

生：擺了8個。

師：第一行擺○○，第二行擺△，使△的個數是第一行的5倍。你準備擺幾個？

（有的學生已經不擺了，大部分在兩個兩個地擺，很快就得出擺10個。）

師：第一行擺○○○， 第二行擺△，使△的個數是第一行的2倍。

（生擺△。）

師：誰來匯報你擺了幾個？

生：擺了6個。

師：如果要使第二行擺△的個數是第一行的4倍，你怎樣擺？

師：如果要使第二行擺△的個數是第一行的6倍，你怎樣擺？

至此，學生已經不用擺了，很快說出4倍就擺4個△△△，6倍就擺6個△△△。再進行例題的實際問題教學就水到聚成了。

……

“求一個數的幾倍是多少的應用題”是基于“一個數是另一個數的幾倍”這一知識點進行的。在教學過程中，我們首先讓學生通過填空的形式回憶“幾個”“幾個幾”“幾倍”，讓他們對新知的學習進行心理上與知識上的充分準備。然后根據要求操作，在擺△是○○的2倍時，憑直覺與心算，學生很快就能得出結果。在擺△是○○的3倍、4倍的質同形異的類比推理式操作中，學生已能將△兩個兩個地擺放。而且，此時已有部分學生自覺地從觀察“一個數是另一個數的幾倍”過渡到“求一個數的幾倍是多少”的思維上的同化與順應。在擺△是○○○的2倍、3倍、4倍時，學生不但能快速地運用幾個△△△來擺，而且在擺△是○○○的6倍時，他們已能脫口而出就是擺6個△△△。此時，通過操作，學生已經完成了在“誰是誰的幾倍”這一已有結構上的自主建構，溝通了“誰是誰的幾倍”與“求一個數的幾倍是多少”之間的內在聯系。操作，讓他們真正從他主走向了自主。但我們也不可否認，有時操作的結果往往與預設目標的達成有所出入，甚至相去甚遠。其原因是多方面的。在運用操作讓學生基于已有的知識結構進行自主建構時，就應著重注意兩個方面，其一，由于每個學生原有的認知結構各不相同，他們的生活經驗、思維習慣也因人而異，在課堂學習中也總在進行著個性化的、有規則的自由運動。因此，充分了解學生已有的認知結構，深入剖析教材內容的相互聯系，合理選擇操作的方式與時機，是促進學生在操作中自主建構的關鍵。例如，一些始發性的知識，大部分以學生的生活經驗為基礎，這在第一學段，尤其是一年級教材中更為明顯。此時，我們應充分了解學生的已有經驗，選用他們喜聞樂見，又符合他們年齡特征的操作方式，讓他們在操作中經歷生活經驗轉化為數學知識的過程，在自主的數學化過程中主動建構。其次，在學生操作過程中，教師適時適度的暗示（如語言、動作等的暗示）、指導（如類比、推理、歸納、總結等的適時點撥）是讓學生在操作中走向自主建構的重要組成部分。

二、為發展學生的數學語言而操作

數學學習并非外部行為的簡單重復。兒童在數學上的發展也不像影子對于投影物體的追隨那樣追隨于教師的教學。數學語言的運用，將直接導致學生自身行為模式的改變，即形成由原來的“刺激——反應模式”向“感知——反思——重組——提升”的高級心理行為的改變。這一過程對學生認知結構的充實與豐滿更為重要。因此，在操作過程中基于學生自身經驗與個性發展的數學語言，更有利于他們清晰地、有條理地表述自己的猜測，表達自己的思考過程，并合乎邏輯地討論和質疑，從而進一步完善他們的數學素質。

【案例2】軸對稱圖形（蘇教版小學數學三年級上冊）

學習軸對稱圖形的概念后。

師：我們學過的圖形有哪些？

生：長方形、正方形、三角形、平行四邊形、圓。

師：這些圖形中哪些是軸對稱圖形？分別有幾條對稱軸？可以用你們自己準備的圖形操作一下。

學生操作后交流。

生1：三角形不是軸對稱圖形，圓是軸對稱圖形，有無數條對稱軸……

生2：我有不同意見，三角形是軸對稱圖形，有1條對稱軸。

生3：不對，三角形不是軸對稱圖形。

師：有不同意見，好，關鍵是以理服人。你們用自己的方法來證明自己觀點成立的理由。

生1：出示，我從不同的方向對折，兩邊都不能重合，所以就不是軸對稱圖形。

生2：出示，我的是個等腰三角形，對折后左右能重合，所以它是軸對稱圖形，它有一條對稱軸。

師：都有道理，還有誰想說？

生3：那如果是等邊三角形的話，就應該有3條對稱軸。

師：做個折折看。

學生操作，得出有3條對稱軸。

師：那三角形到底是不是軸對稱圖形？

生4：我覺得，如果是等腰三角形和等邊三角形，就是軸對稱圖形，對稱軸分別有1條和 3條。如果是任意三角形，就不是軸對稱圖形。

師：誰再來講一講，三角形到底是不是軸對稱圖形？

生：應分情況考慮。

師：講得很好，那剛才兩位同學犯了怎樣的錯誤？

生：沒有考慮全面。

……

個體單一的內部思維后，語言的表述往往存在偏頗，很多時候甚至詞不達意。操作的介入，則可使語言的條理化、具體化更到位，指向性更明確。上述案例中，操作與語言的互為補充，既讓學生看清了知識的本質（什么樣的三角形是軸對稱圖形），更讓學生認識到了思維的誤區（以偏概全），同伴間的相互評價與補充，促進了學習個體對原有思維過程的回顧與反思。二次操作，讓學生的思維走向了理性，也使語言的組織更具邏輯性。因此，在運用操作進行數學學習時，教師應時時注意為學生創造說的機會，讓他們說做法、說想法、說思路、說結論，鼓勵相互間的質疑問難，討論求證，讓語言在操作中完善，讓思維在語言中深刻。同時，操作是學生基于已有經驗進行的，因而操作后的語言表述不能在“文字上孜孜以求”，此時更應鼓勵學生用感悟后的“兒童”語言來描述明白而不出科學錯誤的個性化理解，用自己的語言來描述領悟了的有關數學知識、數學思想、數學方法。因為，只有在學生自由的談論中，我們才能更清晰地看到學生基于操作時的思維方向、相應的活動對他們產生了怎樣的作用和影響；也只有通過學生自由的數學談論，才更便于讓學生學會根據一些線索，通過嘗試操作后保留有用的去掉不適的；也只有通過學生自由的數學談論，才有利于進一步完善學生的思維，規范學生的數學語言。

三、為生成學生的數學智慧而操作

數學不僅僅是傳授知識，更在于培養學生的數學智慧。學生的數學智慧包含著對知識理解、接受時的敏銳程度和創新意識，以數學的眼光、數學的思想方法審視和處理生活中的問題等多個方面，因此，類比、歸納、聯想、猜測、推理、驗證等能力應是其重要的組成部分，學生進行數學操作時，總是依據已有的知識、經驗和習慣在思索、探究。這一看似平淡、尋常的動作，往往充溢著學生的聰明才智，操作中的真知灼見，總能閃射學生的智慧之光。

【案例3】長方體的表面積（校本活動課）（蘇教版小學數學六年級上冊）

通過觀察討論，先得出包裝兩盒磁帶最節約包裝紙的方法。

師：如果要包裝4盒磁帶，你又能想出幾種方法？其中哪一種方法最節約包裝紙呢？

學生開始小組學習，充分討論后動手操作（磁帶的幾種拼法）。約10分鐘后進行全班交流。

小組1：我們有四種不同的包裝方法，每拼出一種就算一次所用包裝紙的面積，通過比較得出結論。

小組2：我們拼出了六種呢！也是通過計算比較得出最節約包裝紙的方法。

小組3：其實不用每種都算出表面積。要使包裝4盒磁帶所用的包裝紙最少，就要使它們減少的面積最多，只要先估計一下，計算出較節約的幾種進行比較就可以了。

師：那我們能不能把這六種包裝方法分分類呢？

思考片刻后，學生按減少面的個數把六種包裝方法分成了兩組（如圖1）：

比較得出每組中表面積最少的一種，再把兩組中表面積最少的包裝方法抽取出來，通過計算得出結論。

……

從上面的案例可以看出，學生開始用的方法是零亂的，思維是無序的，每種擺法得出后都要通過數據計算得出面積。要用多少包裝紙，按照這樣的趨勢發展，擺法上肯定會有遺漏，能否得出包裝紙最節約的方法很可能是一個疑問。但隨著操作的不斷深入，學生的操作方式有了質的變化，他們通過比較、歸納，已能悟出每次重合的面積越大則減少的面積就越多，也就越節約包裝紙。操作中理性的思考，激發了他們智慧的生成。當然，為生成學生的數學智慧而操作時，如果教師以自身的實踐經驗過早地干涉學生，則易形成掩蓋而不是揭示和溝通學生的最近發展區與現實知識之間的關系，暗示與指導則將成為創新方式與創新精神的束縛與扼制。其次，學生通過再創造獲得新經驗后，往往會驚喜于發現的激動，而在新經驗中迷失。由此，不論學生獲得怎樣的操作結果，都要引導學生進行操作后的評估，讓他們在反思中對方法進行提升，給他們批判的精神，讓操作真正為生成學生的智慧而存在。

學生是一個個鮮活的個體，在操作活動的過程中給予學生動手的機會、思考的空間、創新的余地，就給予了數學課堂一種蓬勃的生機。凸顯操作的價值，定會有效地促進學生的發展。