改進的變誤差寬度變階數LMS算法

馬令坤+吳波+毛紅艷

摘 要： 針對自適應濾波器階數失配問題，提出一種改進的變誤差寬度分數階變階數LMS算法。該算法中誤差寬度函數參數選擇不受噪聲先驗知識的限制，并給出參數選擇的依據。對提出的算法分別在高噪聲、低噪聲以及變化的噪聲環境下進行仿真分析，仿真結果表明，該算法在未知系統噪聲大小或大小變化的噪聲環境能夠應用，并且具有良好的性能，尤其在高噪聲環境下能夠獲得較快的階數收斂速度和較小的穩態誤差，因此該算法的應用場合更加廣泛。

關鍵詞： 自適應濾波器； 模型失配； 分數階變階數； 變誤差寬度

中圖分類號： TN911?34 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2017）01?0041?04

Abstract： In order to solve the order mismatch problem of the adaptive filter， an improved variable error width variable fractional tap?length LMS algorithm is proposed. The parameter selection of the error width function isn′t limited by the noise prior knowledge in the algorithm， and its foundation is given. The simulation analysis are performed for the algorithm under the environments of low noise， high noise and changing noise. The simulation results show that the algorithm can be applied to the environments of the unknown system noise or changing noise， has good performance， can obtain fast order convergence rate and small steady?state error in high noise environment， and its applications are extensive.

Keywords： adaptive filter； model mismatch； variable fractional tap?length； variable error width

0 引 言

在自適應濾波應用中，大多數算法一般假設濾波器階數（或抽頭長度）是適配的；但如果濾波器階數小于實際階數，將會增大均方誤差值；相反，濾波器階數過大，不僅會帶來很大計算量，同時會增大穩態誤差。由此可見，濾波器階數是一個重要參數。

在實際應用中為了能夠確定濾波器的最佳階數，變階數算法是一類有效的方法，典型算法主要有：分割濾波器LMS算法[1]，梯度下降LMS算法[2]，分數階變階數LMS算法[3?4]（Fractional Tap?length Least Mean Square，FTLMS），凸組合變階數LMS算法[5?6]，變迭代參數的變階數LMS算法[7?8]和變誤差寬度變階數LMS算法[9?10]（Variable Error Width Variable Fractional Tap?length LMS Algorithm，VW?FTLMS）等。其中文獻[3]FTLMS中濾波器階數迭代的代價函數采用片段穩態均方誤差，濾波器階數更新依賴于分數階數變化量的積累，保持了文獻[1?2]中算法的優點，該算法簡單靈活，是分數階變階數類算法的基礎。文獻[5?6]算法利用凸優化理論將兩個FT算法組合，重在提高均方誤差的收斂速度和降低穩態誤差。為了平衡濾波器階數的收斂速度和穩態振蕩之間的矛盾，文獻[7?8]算法采用變迭代參數，但無法避免產生次優解。文獻[9]中VW?FTLMS算法采用變誤差寬度，保證濾波器階數能夠有較快的收斂速度和較小的穩態振蕩的同時避免次優解的產生，但其誤差寬度函數的參數選擇依賴于噪聲的方差，使得算法在未知噪聲先驗知識或者噪聲變化的環境下應用受到限制。

本文在VW?FTLMS的基礎上，提出一種改進的變誤差寬度變階數LMS算法（Improved Variable Error Width Variable Fractional Tap?length LMS Algorithm，IVW?FTLMS）。消除誤差寬度函數的參數選擇對噪聲方差的依賴，使其能夠在未知噪聲先驗知識或者噪聲環境變化的條件下依然能夠獲得較快的階數收斂速度和較小的穩態振蕩。

1 IVW?FTLMS算法原理

本節用系統辨識模型來設計IVW?FTLMS算法，系統結構如圖1所示。

VW?FTLMS算法中正比于，其比例系數的選取依賴于噪聲的方差，在實際應用中，在未知噪聲先驗知識或噪聲不斷變化的情況下使得該算法性能惡化甚至無法應用；即使噪聲可以測量，也因其繁瑣而不便應用。而且在文獻[9]高噪聲實驗中值保證了取得最小值，卻由于線性函數擴展能力差使得最大值受到限制，降低了階數的收斂速度。

本文提出IVW?FTLMS算法，式（5）中在區間內是一個指數函數，通常的取值在之間。底數的取值依據是能夠保證穩態時即為了兼顧不同大小的噪聲，通常取值在之間。相比于VW?FTLMS，本文算法不依賴于噪聲先驗知識，因此可以在未知噪聲先驗知識的環境下應用；同時由于指數函數較線性函數擴展能力強，能充分保證可以獲得較大初始值和較小的穩態值，因此可以在噪聲變化的環境下應用。

3 仿真分析

3.1 低噪聲，的仿真結果

低噪聲環境仿真設置如下：未知系統沖擊響應是一個高斯白噪聲序列，其均值為0、方差為0.01，長度設為200。輸入信號為隨機高斯信號，其均值為0，方差為1。噪聲信號為隨機高斯信號，其均值為0，并乘以一定的比例系數使得SNR達到20 dB。將本文算法與VW?FTLMS進行仿真比較。根據文獻[4]中穩態分析，兩種算法中的參數選為2，選為0.5，泄露因子為0.005，平滑因子，取為50。本文算法取為5，取為8。VW?FTLMS算法中取為5，根據式（11）計算得到為375。仿真結果如圖2，圖3所示。

從圖2可以看出，低噪聲環境下兩種算法的誤差寬度都具有初始值大，并逐漸減小的特點。由于指數函數較線性函數擴展能力強，使得本文算法在初始階段變化極快。在圖3中，本文算法和VW?FTLMS算法都有相同較快的階數收斂速度和較小的穩態誤差，兩者的階數變化大致相同。因此，在低噪聲環境下，本文算法的階數能夠獲得較快的收斂速度和較小的穩態誤差。

3.2 高噪聲，SNR=0 dB的仿真結果

高噪聲與低噪聲環境仿真設置類似。區別在于噪聲信號為隨機高斯信號，其均值為0，并乘以一定的比例系數使得SNR達到0 dB。將本文算法與VW?FTLMS進行仿真比較。根據文獻[4]中的穩態分析，兩種算法中的參數選為2，選為0.05，泄露因子為0.005，平滑因子取為40。本文算法取為5，取為6。VW?FTLMS算法中取為10，根據式（11）計算得到為9.75。仿真結果如圖4，圖5所示。

從圖4可以看出，高噪聲環境下兩種算法的誤差寬度都具有初始值大，并逐漸減小的變化趨勢，由于VW?FTLMS算法中線性函數擴展區間的能力弱，使得其在最大值受到限制。本文算法能達到設定的最大值，其優勢體現在圖5中，使得本文算法階數的收斂速度更快。兩種算法的穩態誤差都很小，因此，在高噪聲環境下，本文算法的階數能夠獲得更快的收斂速度和較小的穩態誤差，性能優于VW?FTLMS算法。

3.3 變化的噪聲環境仿真結果

變化的噪聲環境下仿真設置與高噪聲環境類似。區別是當的模擬低噪聲環境，噪聲信號為隨機高斯信號，均值為0，并乘以一定的比例系數使得SNR達到20 dB。當時模擬高噪聲環境，噪聲信號為隨機高斯信號，均值為0，并乘以一定的比例系數使得SNR達到0 dB。在噪聲大小變化的環境下，根據文獻[4]中的穩態分析，參數選為2，選為0.2，泄露因子為0.005，平滑因子取為40，取為10，為6。仿真結果如圖6，圖7所示。

由于VW?FTLMS算法的誤差寬度函數中參數在噪聲大小變化的環境下取值不同而無法應用。而本文算法的誤差寬度函數參數不受噪聲先驗知識的限制且能迅速地追蹤輸出誤差的變化，從圖6中可以看出，在高噪聲和低噪聲環境下誤差寬度函數都能保持初始值大，穩態值小的特點；從圖7可以看出，濾波器階數的收斂速度快，穩態誤差小。因此本文算法在變化的噪聲環境下具有很好的適應性。

4 結 語

本文提出一種改進的變誤差寬度變階數LMS算法，并進行仿真，結果表明：本文算法在低噪聲、高噪聲環境下能夠獲得較快的階數收斂速度和較小的穩態誤差，尤其在高噪聲環境下，相比于VW?FTLMS算法，本文算法階數收斂速度更快，性能更好；在變化的噪聲環境或噪聲大小未知的條件下，VW?FTLMS算法無法應用，但本文算法誤差寬度參數選擇簡單，不依賴于噪聲的先驗知識，能夠獲得較快的收斂速度和較小的穩態誤差。總之，本文算法提高了階數的收斂性能，擴大了應用范圍，具有明顯優勢。

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