基于DFT及諧波群泄露能量最小的電力諧波/間諧波分析方法

慕昆+馬小雨+何國鋒

摘 要： DFT在電力系統諧波分析中得到廣泛應用，但是非整周期采樣會導致頻譜泄露、混疊及柵欄效應?；谀芰渴睾阍?，當整周期采樣時能量主要集中在主頻上，泄露很小。IEC61000?4?7對群諧波均方根值（RMS）做了定義，因此采用增加或減少采樣點數并遞歸運用DFT的方法，計算基波群諧波的泄露能量并使其最小，可達到最接近整周期采樣的效果，通過DFT可直接得到各次諧波信息。數值仿真結果表明該方法可準確計算基波及諧波頻率、幅值和相位，在信號存在白噪聲時依然有效。

關鍵詞： 諧波分析； 遞歸DFT； 泄露能量最??； 頻譜泄露

中圖分類號： TN911.6?34； TP273 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2017）01?0111?04

Abstract： The discrete Fourier transform （DFT） is widely used in the harmonic analysis of the power system， in which the non?complete?period sampling will lead to the spectrum leakage， aliasing and picket?fence effect. On the basis of energy conservation principle， when the energy of the complete period is focused on the main frequency， the leakage will be small. The RMS of group harmonic was defined by IEC61000?4?7. The method of using the variety of sampling points and recursive DFT is adop?ted to calculate the leakage energy of the fundamental?wave group harmonic and make it to the minimum， and obtain the sampling effect nearest to the complete period. The information of each harmonic is obtained by means of DFT. The numerical simulation results show that the method can calculate the fundamental wave， harmonic frequency， amplitude and phase accurately， and is still effective while the white noise exiting in the signal.

Keywords： harmonic analysis； recursive DFT； least leakage energy； spectrum leakage

0 引 言

隨著電力電子技術的發展，各種非線性負載的加入使電力系統收到諧波、間諧波污染。如何在有限長的采樣窗口長度下準確提取信號中各頻率成分，有利于對諧波和間諧波污染進行進一步評估。

諧波分析的方法有很多種，由于離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform，DFT）具有算法成熟，易于DSP工程實現，成為分析諧波和間諧波的最常用工具。但是由于采樣數據長度和采樣的非同步化，產生了頻譜泄漏和柵欄效應[1]，各頻率成分之間還會產生頻譜干擾，影響分析效果。針對上述問題，國內外學者進行了大量研究，提出了多種改進措施。

在時域，若采樣對于信號中各成分都是同步的，那么理論上DFT/FFT計算結果不存在誤差。文獻[2]通過采樣長度的自適應計算使信號各成分與采樣窗口近似同步，再用DFT計算各諧波、間諧波參數。若信號基頻已知，則可通過多項式插值對信號重采樣使采樣對諧波同步，但對間諧波而言，頻譜泄漏依然存在。在頻域，解決柵欄效應的方法有線性調頻Z變換的頻譜細化法[3]、補零法[4]和各種插值法[5?10]。前兩種方法對信號DFT值的進一步密化，并未考慮信號各成分間的頻譜干擾。插值法通過插值求得信號各成分實際頻率與對應離散頻點的偏差解決柵欄效應，其抑制頻譜干擾的手段為時域加窗。

本文在國際標準[11?12]諧波子群定義的基礎上給出了一種基于遞歸DFT的諧波分析方法，該方法通過檢測諧波子群的最小泄露能量值來獲得近似的整周期采樣，從而得到諧波信息。

1 IEC諧波檢測標準

IEC61000?4?7：2008標準[11]規定了實際供電系統中電流和電壓諧波和間諧波測量儀器的架構。測量儀器的結構由主要部分和后續處理部分組成。檢測儀器主要部分包括：帶有抗混疊濾波器的輸入回路、具有采樣/保持單元的模/數轉換器、同步和窗口單元（如需要）、DFT處理器。

新的IEC標準推薦采用加矩形窗的DFT算法。為滿足標準測量要求，窗口寬度應選為10個（50 Hz系統）或12個（60 Hz系統）周期。同時，時間窗應與電力系統50 Hz（60 Hz）頻率對應的10（12）個周期同步。

新標準定義諧波群的有效值為：某一個諧波有效值以及它鄰近頻譜分量有效值的方和根，如式（1）和圖1所示（只考慮50 Hz系統）。

當信號中為穩態的基波和諧波，且采樣為同步采樣（同步誤差在 IEC標準要求范圍內）時，通過DFT單頻譜譜線可以較精確地估計信號的基波或各次諧波分量。

當信號含幅值波動的基波和（或）諧波時，波動的基波和諧波分量會將其能量擴散到鄰近的間諧波頻率分量中去。這時可以利用IEC方法的諧波群或諧波子群參數估計基波和諧波，但該方法不能提供相位信息。

IEC 方法對間諧波測量問題做了很大的簡化，采用間諧波群和間諧波子群估計間諧波，即用兩個連續諧波頻率之間的 DFT 頻譜譜線估計頻率之間的所有間諧波，不給出間諧波的具體頻率和相位。

2 諧波群有效值最小方法

式中：離散頻率的諧波幅值為。由于頻譜泄露，頻率的能量會泄露到周圍的頻域內，因此周圍總的諧波能量構成了“群能量”[12]，每一個群能量包含頻段內的能量這里為整數，表示群的寬度。這樣每次諧波幅值可表示為。由DFT可知，主要的頻譜泄露集中在主諧波周圍，這樣間諧波（子諧波）可以識別出來。

以采樣頻率對電力信號（電壓和電流）進行點采樣，對這點采樣值進行DFT運算，DFT運算后，主頻頻譜密度幅值最大，幅值在主頻的左右兩側逐漸衰減，次大的頻譜出現在緊鄰主頻左右兩側位置?；诮涷炗^察，當信號過采樣時，主頻右側幅值大于左側幅值，即；相反的信號欠采樣時，主頻右側幅值小于左側幅值即。這樣，根據分散能量的情形適當調整采樣窗的寬度使之滿足接近整周期采樣，則可消除得到接近整周期采樣的采樣數據，然后進行DFT即可得到很少泄露的頻譜分析。

該能量僅是擴散到基波周圍的能量，不包括基波能量。根據能量守恒定理，時域能量等于頻域能量，又由采樣定理可知當信號被整周期采樣時，頻譜不會發生泄露，全部集中在主頻上，泄露能量基本為零。因此根據頻譜幅值的大小調整采樣窗寬度，使之接近滿足整周期采樣，則可得到極小的能量泄露。當時過采樣，可減少一個采樣點；當時欠采樣，可增加一個采樣點，該過程重復進行直到泄露能量最小時停止。

該過程如下：

（1） 設定采樣頻率，對信號進行10周期采樣；

（2） 對采樣信號進行DFT，找出幅值最大點處的頻率

（3） 如果，。反之，進行下一步；

（4） 如果，。反之，進行下一步；

（5） 判斷分散能量是否滿足如果滿足停止迭代，確定此時值；反之返回第（2）步，重復該過程直到

（6） 由點采樣值可確定基波頻率、幅值及相角以及諧波頻率、幅值及相角

（7） 如果有間諧波，則采用頻域插值方法獲得間諧波信息。

當進行DFT時，由于頻譜泄露，第次諧波能量可擴展到周圍很寬的頻帶內，但是每一組群諧波能量必須在和范圍內進行計算。如果頻帶越寬，泄露能量越接近真實值。但是頻帶寬度增加后可能會包含臨近諧波引起的泄露，另外，由于臨近諧波成分的影響，較寬的帶寬會引起計算頻率偏離實際頻率，因此為了獲得準確的幅值希望選取較大的而為了避免混疊希望較小的寬度。基于IEC標準頻帶寬度可選取5個。

另外，最小能量是該算法停止迭代的一個關鍵因素，理論上為了獲得準確結果，最小能量越小越好，但是迭代次數增加，為了降低運算時間，最小能量可選為1‰倍的基波幅值。

該算法的流程圖如圖2所示，當基波群諧波RMS最小時，對應泄露能量最小，表明基本沒有出現能量泄露，采樣基本達到整周期采樣。此時DFT分析結果為整周期采樣結果，基波及各次諧波頻率、幅值及相位都可以由DFT輸出直接得到，且基本接近真實值。如果檢測到間諧波，由于間諧波不可能是整周期采樣，肯定發生頻譜泄露，因此可以采用頻域插值的方法得到間諧波的幅值、頻率及相位信息。

3 數值仿真

為驗證該方法的有效性，分別選取含諧波正弦信號及間諧波信號進行仿真。

（1） 諧波信號

假設輸入信號為：

式中：為相對于基波40 dB的白噪聲；基波頻率?；谏鲜龅姆治龇椒▽υ撔盘栠M行仿真，經過6次迭代，得到的結果如表1所示，從表1中的數據可以看出，采用這種遞歸的方法可以很準確地測量出各次諧波信息。

該例中，基波頻率為相比上例，添加了93.5 Hz的間諧波信號。諧波分析按照泄露能量最小的方法進行仿真，由于間諧波無法采用該方法計算，可以利用Hanning窗插值函數[7]對間諧波進行計算，仿真結果如表2所示。

從表2中的數據可以看出，由于間諧波的原因，臨近的三次諧波的仿真結果相比表1結果誤差更大，但是誤差還是在合理的范圍內。

從兩種仿真結果可以看出，基于諧波群泄露能量最小的方法能夠準確檢測出各次諧波的頻率、幅值和相位信息，對于間諧波則采用頻域插值的方法也可得到較為滿意的結果。

4 結 論

整周期采樣時DFT不會發生頻譜泄露，可準確測量基波及諧波參數。基于IEC標準定義的諧波均方根值，通過增加或減少采樣點數，遞歸使用FFT算法，使其達到最小，則可以得到接近于整周期的采樣效果。仿真實驗驗證了該方法能夠準確地計量各次諧波頻率、幅值及相位。該方法只需遞歸調用DFT，便于植入基于微處理器的電力系統監控設備中。

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