基于泰勒展開邊界元法的近水面潛艇垂向二階波浪力(矩)計算

段文洋, 王隸加, 陳紀康, 趙彬彬

(哈爾濱工程大學 船舶工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001)

基于泰勒展開邊界元法的近水面潛艇垂向二階波浪力(矩)計算

段文洋, 王隸加, 陳紀康, 趙彬彬

(哈爾濱工程大學 船舶工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001)

針對潛艇在近水面航行難以定深控制問題，利用一階泰勒展開邊界元方法求解切向誘導速度精度高的優勢對其垂向二階波浪力(矩)研究。該方法對邊界積分方程中的偶極強度進行泰勒展開并保留至一階導數項，同時在格林第三公式中關于場點沿邊界取切向導數封閉方程組，直接求解出速度勢及其沿物面的切向速度。計算迎浪狀態下橢球體的垂向二階波浪力(矩)，與現有成果吻合度較高；進而計算迎浪狀態下潛艇模型的垂向二階波浪力(矩)。數值計算結果表明：該方法有較高的計算精度且收斂速度快。

泰勒展開邊界元法；垂向二階波浪載荷；潛艇；頻域；切向誘導速度

潛艇在近水面航行，有時需要保持定深以完成指定任務。文獻[1]表明：垂向平面內的二階波浪力(矩)會使潛艇逐漸向波面上浮，不利于定深控制和操縱。特別是在迎浪狀態下，二階波浪力表現為升力，將潛艇推向水面，甚至出現“拋甩”現象；此外還使潛艇產生縱傾，甚至艉部出水，對螺旋槳的性能造成影響。因此，有必要對近水面潛艇的垂向二階波浪力(矩)展開研究。

繆國平等[2]用切片法將二階波浪力從二維拓展到三維，計算潛體在不同潛深和浪向角時二階垂向波浪力的變化趨勢。林青山等[3]利用二階波浪力切片理論對潛艇二階縱傾力矩等進行了考察，并分析了指揮臺、艉舵等對整條潛艇的影響。馮學知等[4]利用STF流體動力切片理論和Frank源相結合的方法對近水面潛體在波浪力作用下的運動響應建模并計算，表明二階波浪力對潛體在垂向平面內的上浮起主要作用。馮學知等[5]基于細長體假設，結合三維修正系數，計算不同潛深和浪向下的運動響應和二階波浪力(矩)。雖然切片法廣泛應用于潛艇受力和運動預報，但本質上仍基于二維理論，對艇體首尾帶來的影響值得商榷；而通過三維修正系數雖然能夠滿足工程要求，但該方法對不同模型的適用性需要驗證。

Lee等[6]利用三維面元法對迎浪狀態下橢球體的一階波浪力(矩)和二階波浪力(矩)進行數值計算，并與細長體理論比較。結果表明：隨著面元數量增加，二階垂向波浪力(矩)計算收斂極慢。雖然利用三維分布源頻域方法可以求解二階波浪力，但基于低階分布源面元法求解二階波浪力收斂較差，尤其是對非光滑邊界物體，切向誘導速度誤差極大[7]。針對該困難，段文洋[8]提出了泰勒展開邊界元方法(taylor expansion boundary element method，TEBEM)的思想，即對源-偶混合分布方法中偶極強度進行一階泰勒展開。其中，偶極切向變化恰好是切向速度，該方法對尖角處誘導速度有很好的模擬。Duan等[9-11]又將該方法展開至二階，處理繞射輻射等問題，證明了泰勒展開邊界元法能夠有效地提高非光滑邊界處切向誘導速度的計算精度。

本文基于一階泰勒展開邊界元方法，對近水面潛艇二階定常波浪力(矩)進行計算，考慮該方法對潛艇計算的適應性。

1 近水面潛體二階波浪力的定解問題

通常將空間速度勢分解為入射勢和擾動勢兩部分，即φ=φ0+φP。其中，入射速度勢的表達式為

(1)

式中：A、ω、k0分別表示入射波浪的波幅、圓頻率、波數，β表示入射波的傳播方向與x軸正向之間的夾角(浪向角)，g表示重力加速度。

根據疊加原理，擾動勢可分解為7個組成部分：

(2)

式中：vj為潛體6個自由度的運動速度，φj表示由于物體單位運動引起的輻射勢，φ7為繞射勢。

擾動速度勢φj(j=1,2，…,7)的定解條件為

(3)

式中：D表示流域；n表示物面法向，由流體域指向潛體內部；SH表示潛體平均濕表面。

根據所求得的速度勢和速度，利用近場公式沿潛體表面進行積分，可以得到作用在潛體上的一階和二階平均波浪力(矩)：

(4)

(5)

(6)

(7)

2 一階泰勒展開邊界元方法

傳統基于源-偶混合分布的低階面元法以各網格面元中點速度勢作為整個面元速度勢。利用無限水深三維頻域無航速格林函數可以得到潛體平均濕表面上的速度勢邊界積分方程[1]，即：

(8)

(9)

為了構建封閉方程組，對一階TEBEM方法進行補充。在面元所在的局部坐標系下作垂直于法向的平面，并在該平面內取兩個相互正交方向對場點求一階導數。得到以下方程組：

(10)

將式(9)代入到式(8)、(10)中聯立，并將積分邊界SH離散為N個面元，可以得到一階TEBEM方法的離散格式。對于任意面元i可以得到如下離散方程組，i=1,2,…,N：

(11)

式中：i和j表示面元編號；k= 1, 2, 3；m=1,2, 3。詳細推導見文獻[9-11]。

3 水下橢球體的結果與比較

為了驗證TEBEM方法對于求解二階波浪力(矩)的準確性，本文與Lee等[6]利用常數元方法計算的水下橢球體數值結果進行對比。

該算例假定長軸L與短軸D之比L/D=10的零航速橢球回轉體在迎浪狀態下重心位于靜水面(0,0,-D)處，計算不同波浪頻率下受到的波浪力(矩)。

圖1～4分別表示利用一階TEBEM方法在不同頻率下計算的一階垂蕩波浪力、一階縱搖波浪力矩、二階垂向波浪力和二階縱傾波浪力矩。

圖1 橢球體一階垂蕩波浪力Fig.1 First-order heave force of submerged spheroid

圖2 橢球體一階縱搖波浪力矩Fig.2 First-order pitch moment of submerged spheroid

圖3 橢球體二階垂向波浪力Fig.3 Vertical drift force of submerged spheroid

圖4 橢球體二階縱傾波浪力矩Fig.4 Pitch drift moment of submerged spheroid

圖1和圖2分別給出了不同面元數下得到的一階波浪力(矩)的計算結果，為了便于比較，利用ρgA(D/2)2和ρgA(D/2)3作無因次化處理，將結果與Newman利用三維面元法(面元數為1 024)得到的結果對比。從圖中可以看出，一階TEBEM方法得到的計算結果具有較好的收斂性；與Newman的結果比較，兩者的主要差別集中在長波階段，但誤差均控制在3%以內。

圖3和圖4分別給出了不同面元數下的二階垂向波浪力和二階縱傾波浪力矩，并利用ρgA2(D/2)和ρgA2(D/2)2作無因次化處理。由于Newman利用三維面元法計算的二階波浪力(矩)并沒有達到收斂，故而將其所有面元數的計算結果全部比較。容易得出，利用一階TEBEM方法求得的二階波浪力(矩)具有較好的收斂性；并且除了中長波段(0.4<λ/L<1.2)以外，利用一階TEBEM方法的結果與Newman 1 024網格數的結果基本一致。

4 潛艇波浪力計算實例

由上述第3節計算結果可知，基于一階TEBEM方法能夠得到令人滿意的計算結果。本節以國外某一公開潛艇模型[12]為例，與上一節進行類似內容的計算。

由于并未查閱到有關該模型重心位置、慣性系數等潛艇模型參數，本節主要參考實際潛艇，估計相關參數。由于缺少該潛艇模型在無拘束狀態下的波浪力計算相關文獻，本節計算迎浪狀態下，不同網格數的一階波浪力(矩)和二階波浪力(矩)。表1給出了潛艇模型的主要參數，圖5給出了潛艇模型表面網格劃分示意圖。

表1 潛艇模型主要參數

圖6和圖7給出了不同面元數下一階垂蕩力和一階縱搖力矩關于波浪頻率的計算結果，并分別利用ρgA(D/2)2和ρgA(D/2)3作無因次化處理。

圖5 潛艇模型表面網格劃分Fig.5 The mesh on the submarine model surface

圖6 Fr=0時，潛艇一階垂蕩波浪力Fig.6 First-order heave force of submarine as Fr=0

圖7 Fr=0時，潛艇一階縱搖波浪力矩Fig.7 First-order pitch moment of submarine as Fr=0

從圖6和圖7可以看出，一階垂蕩波浪力和一階縱搖波浪力矩利用1 000左右網格數就能得到收斂結果。

圖8 Fr=0時，潛艇二階垂向波浪力Fig.8 Vertical drift force of submarine as Fr=0

圖9 Fr=0時，潛艇二階縱傾波浪力矩Fig.9 Pitch drift moment of submarine as Fr=0

圖8和圖9給出了在相同工況下，二階垂向波浪力和二階縱傾波浪力矩的計算結果。從圖中可以看出，二階垂向波浪力的計算結果很快得到收斂，而二階縱傾波浪力矩的計算結果收斂較慢。同時，二階垂向波浪力和二階縱傾波浪力矩在長波段的數值結果也能在一定程度上反映潛艇在垂直面內的上浮甚至“拋甩”的現象。

5 結論

本文在頻域范疇內利用泰勒展開邊界元方法計算潛艇一階和二階垂向波浪力和波浪力矩。以無限水深下近水面的橢球體和潛艇模型來驗證一階TEBEM方法的計算精度和收斂性。結論如下：

1)通過與橢球體的計算結果對比，證明一階TEBEM方法具有較高的計算精度和收斂性。

2)采用一階TEBEM方法對潛艇的波浪力(矩)計算：面元數1 000左右可以得到一階垂蕩波浪力和一階縱搖波浪力的收斂結果，面元數2 000左右可以得到二階垂向波浪力的收斂結果，二階縱傾波浪力矩則需要3 000左右的面元數。

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[8]DUAN Wenyang. Taylor expansion boundary element method for floating body hydrodynamics[C]//Proceedings of the 27th International Workshop on Water Waves and Floating Bodies. Copenhagen, Denmark, 2012.

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Calculation of vertical second-order drift loads on a submarine floating near the free water surface based on Taylor expansion boundary element method

DUAN Wenyang，WANG Lijia，CHEN Jikang，ZHAO Binbin

(College of Shipbuilding Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

A submarine traveling near the free water surface experiences difficulty in depth control. Thus, the vertical second-order mean force and moment acting on the submarine were studied. One-order Taylor expansion boundary element method (TEBEM) is used to improve the solution accuracy of the tangential induced velocity.This method keeps the first-order derivative for the dipole strength of the border integral equation and then takes the two tangential derivatives with respect to the field points on the boundary to form the closed equations in the third formula of the Green function. The velocity potential and the tangential induced velocity along object surface can be solved directly. This method was applied to calculate the vertical second-order drift loads of a submerged spheroid in head seas. The results show good agreement with previous numerical solutions. The vertical second-order drift loads of a submarine model were also calculated. TEBEM was found to achieve higher accuracy and quick convergence.

Taylor expansion boundary element method; second-order vertical drift force; second-order pitch drift moment; submarine; frequency-domain; tangential induced velocity

2016-06-11.

時間：2016-12-12.

國家自然科學基金資助項目(11272097).

段文洋(1967-),男,教授,博士生導師； 陳紀康(1986-),男,博士后.

陳紀康,E-mail: cjkhrb@sina.com.

10.11990/jheu.201606032

O352

A

1006-7043(2017)01-0008-05

段文洋, 王隸加, 陳紀康,等. 基于泰勒展開邊界元法的近水面潛艇垂向二階波浪力(矩)計算[J]. 哈爾濱工程大學學報， 2017, 38(1): 8-12. DUAN Wenyang，WANG Lijia，CHEN Jikang，et al. Calculation of vertical second-order drift loads on a submarine floating near the free water surface based on Taylor expansion boundary element method[J]. Journal of Harbin Engineering University, 2017, 38(1): 8-12.

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