水下雙斜板結構輻射問題的水動力系數研究

張志強, 欒茂田, 王科

(1.大連理工大學 海岸和近海工程國家重點實驗室，遼寧 大連 116024；2.大連理工大學 工程力學系 工業裝備與結構分析國

水下雙斜板結構輻射問題的水動力系數研究

張志強1, 欒茂田1, 王科2

(1.大連理工大學 海岸和近海工程國家重點實驗室，遼寧 大連 116024；2.大連理工大學 工程力學系 工業裝備與結構分析國

家重點實驗室，遼寧 大連 116024)

本文對一種水下雙斜板結構的附加質量和阻尼系數進行了研究。研究中采用的邊界元方法可以靈活應用于任意厚度，任意傾角的水下雙斜板結構。研究發現：橫蕩方向附加質量和阻尼系數最大，垂蕩方向對傾角變化最為敏感，橫蕩和橫搖方向附加質量和阻尼系數最大值所對應的波浪頻率相同。

水下雙斜板；邊界單元法；附加質量；阻尼系數

近半個世紀以來，關于板式結構的水動力特性問題已經有許多理論和數值研究，發現了很多重要的現象，并取得了眾多顯著的成果。在目前已知的關于板式結構水動力參數的研究成果中，大部分都是針對平板或立板展開的[1-8]，有關斜板的研究并不是很多。然而在海洋工程領域，斜板是一類非常重要且普遍的模型結構，例如斜板式防波堤，船舶減搖鰭，水下航行器的翼型，搖板造波機等都可以簡化為斜板結構。因此開展斜板結構水動力參數的相關研究同樣非常重要。

關于斜板結構水動力問題的數值研究，最早是由Shaw[9]在1985年展開的。該研究假設薄板以近似接近垂直的角度插入水中，即板傾角非常小，用攝動分析法對該固定不動的微傾斜板的波浪透射系與反射系數數進行了探討。Mandal等[10]在Shaw研究的基礎上，通過格林積分定理進一步給出了透射系數與反射系數的一階修正量。Mandal等[11]將上述算法擴展到位于自由水面以下的接近垂直的微傾斜板與波浪作用問題中。Parsons等[12]以高階奇異積分方程為基礎，通過切比雪夫多項式逼近薄板兩側的不連續速度勢，研究了無限水深情況下部分伸出自由水面的傾斜薄板的透射系數與反射系數。隨后，Midya等[13]又將Parsons和 Martin的方法推廣到有限水深情況下的水下斜板與波浪相互作用問題中，研究了其透射系數，反射系數以及板上波浪力。

Kharaghani等[14]以一種迎浪端伸出自由水面的浮式斜板為研究對象，將計算區域分為3個子域，利用有限元方法求解其近場速度勢，遠場速度勢采用特征函數展開法進行匹配，研究了其透射系數和反射系數，并通過伯努利方程來計算結構表面動壓力，進一步研究了其運動幅值。該研究中只考慮了一種模型：板采用兩根彈簧固定，一根彈簧將板的一端與水底相連，板下空隙為水深的30%；另一根彈簧斜拉住該板，使板與水底呈18.43°夾角。Sobhani等[15]針對另一種采用鉸接方式固定的迎浪端伸出自由水面的斜板的波浪透射系數進行了數值研究，并通過模型試驗對其數值計算結果進行了驗證。其數值研究中近場采用有限元方法求解，遠場輻射條件采用特征函數展開法來匹配。該研究考慮了兩種模型：一種是板的一端直接鉸接于水底，通過錨鏈斜拉使之與水底成18.43°夾角；另一種模型是板的一端鉸接于水深的70%處，通過錨鏈斜拉使之與水底成18.43°夾角。Cho 等[16]將邊界元方法與特征函數展開法相結合，研究了直墻前固定不動的傾斜透空板與波浪相互作用的透射系數，反射系數以及波浪力。該方法將計算區域分成內外兩個區域，外域用特征函數展開法，內域采用多域邊界元方法，并在公共邊界匹配連續的速度和壓力條件。

在以上關于斜板的研究中，大多數學者研究的都是波浪的透射系數與反射系數，對斜板在流體中做輻射運動的水動力特性問題鮮有涉及。關于斜板的厚度處理問題，文獻 [12-13]建立了一個高階的奇異積分方程，求解的未知量為薄板兩側速度勢的差值，從而將薄板處理成無厚度的情況。該方法數學推導復雜，不適用于實際工程問題的研究。其他文獻[9-11,14-16]對于板厚的處理沒有明確說明。根據數值計算經驗，如果采用文獻[14-15]中的有限元方法求解近場問題，當板厚非常小的時候，其計算代價將會很高，并且求解遠場的特征函數展開法相對更加復雜。

當考慮板的輻射問題時，若板的傾斜角度較大，使用上述解析法或者區域特征函數展開等方法對其進行研究，其公式推導或數值計算將會變得非常困難，一個比較好的方法是采取邊界單元法。邊界單元法作為海洋工程領域波浪繞射和輻射問題研究中普遍使用的數值方法，其計算精度和可靠性已被廣泛驗證[17-18]。本研究小組已經成功應用帶有波動項的格林函數的邊界單元法對位于水面或水下的平板和立板結構的波浪繞射和輻射問題進行了研究[19-20]，成功解決了以下兩個關鍵性問題：一是板的任意厚度問題，在板厚為0.005 m的情況下仍然能夠得到可靠的計算結果；二是采用直接計算波浪繞射勢的方法計算結構所受波浪力，解決了板在波浪作用下的運動響應問題。本文在已有平板和立板的研究基礎之上，將上述方法推廣到一種傾角較大的，呈“/ ”形布置的水下雙斜板式結構，首先研究不同相對板長和傾角對該結構輻射運動時的附加質量和阻尼系數的影響。文章第一節簡要介紹了本研究所采用的數學模型和附加質量以及阻尼系數的計算方法，第二節為邊界積分方程的離散求解，第三節為算例驗證，第四節對附加質量和阻尼系數的計算結果進行了分析。第五節為結論，總結歸納了不同相對板長和傾斜角度對附加質量和阻尼系數的影響規律。

1 基本理論

如圖1所示，取笛卡爾坐標系oxy，其中x軸為靜水面，y軸垂直向上，S0為物面邊界，板的長度方向與y軸正半軸夾角定義為傾角α。兩塊剛性薄板位于自由水面以下，對稱分布于y軸兩側。板的長度均為B=2a=0.4 m，厚度均為TT=0.005 m。兩塊板的上邊緣距離無擾動的自由水面HS=0.05 m, 板的上邊緣之間的距離為TS=0.1 m。

圖1 計算示意圖Fig.1 Calculation sketch

對于圖1所示結構的輻射問題，通常假設流體為無粘，無旋且不可壓縮的理想流體。在頻域內計算勢流場時，存在空間復速度勢函數φ(x,y)滿足如下控制方程和邊界條件：

(1)

基于線性假定，復速度勢φ可分解為如下形式：

(2)

輻射勢φj滿足的邊界條件為：

定義2（請求者的類型（RC））用戶根據自己與消息請求訪問者的親密程度來對請求者進行分類，在社交應用中可以把請求者分成家人、朋友、陌生人等。

(3)

式中：n1,n2,n3為物面法向向量分量，n1=nx,n2=ny,n3=(y-y0)nx-(x-x0)ny,(x0,y0)為物體的旋轉中心坐標。

φj可以通過格林定理在物面邊界上建立邊界積分方程的方法獲得。應用格林公式，可以得到下述邊界積分方程：

(4)

(5)

其中：

(6)

(7)

如果定義：

(8)

式中：ajk為附加質量，bjk為阻尼系數。

2 邊界積分方程的離散求解

用邊界單元方法將方程(4)在物體積分表面上離散為一系列單元時，假定各物理量在單元間為線性分布，即采用等參單元，則任一單元邊界形狀和物理變量可表示如下：

(9)

其中,N1(ζ)、N2(ζ)為形函數，可表示為

(10)

式中：(x1,y1)、(x2,y2)為單元j節點整坐標，lN為單元長度，ζ為局部坐標。

將式(9)、(10)代入方程(4)，則方程(4)可寫成以下形式：

(11)

式中:

(12)

式(12)中含logr1項的系數計算可采用線性解析方法得到，logr2和波動項IC為正則項，其積分不含奇異性可直接用數值方法求得[19]。

3 算例驗證

由于現有文獻中沒有專門針對本文所提出的水下雙斜板結構做輻射運動的研究，因此本文通過Midya等[13]關于水下單斜板反射系數的研究成果對本文所采用的方法進行合理性與正確性驗證。選取Midya[13]其中一組反射系數結果作為參照，其模型參數如下：d/h=0.1，a/h=0.1，α=45°。其中d為潛深(板中心點距自由水面的距離)，h為水深，a為板長的一半，α為板與垂直方向的夾角, 且板的迎浪端高于背浪端。根據文獻中各參數之間的比例關系，確定本文驗證算例參數如下：半板長a=0.2 m，板厚為0.005 m，淺深d=0.2 m，板上節點總數為200個。如圖2所示，本文計算結果與文獻Midya[13]中結果吻合較好。

圖2 水下單斜板反射系數與文獻[13]等人結果對比Fig.2 Reflection coefficient of single submerged inclined plate compared with [13]

4 結果與分析

由圖3可以看出，在01.0范圍內隨著相對板長的增加附加質量趨于定值。當板的傾斜角度增大時，相同頻率下橫蕩附加質量有所減小,并且傾斜角度越大，附加質量的減小幅度越大。由圖中可以看出α=5°和α=10°兩條曲線之間的距離明顯要小于α=20°和α=25°兩條曲線之間的距離。

由圖4，當K=0時，橫蕩方向的阻尼系數為0，不產生向外傳播的波浪。隨著相對板長的增加，橫蕩阻尼系數首先急劇增加，在KB/2=0.5時達到最大值0.09，之后又迅速減小。在KB/2<0.3范圍內，不同傾角所對應的阻尼系數曲線基本重合，說明在該范圍內改變板的傾角對附加質量影響較小。當KB/2>0.3時，增加板的傾斜角度，會令阻尼系數有所減小，且傾角越大，阻尼系數減小的幅度越大。

圖3 橫蕩附加質量Fig.3 Added mass for sway

圖4 橫蕩阻尼系數Fig.4 Damping for sway

圖5和圖6為垂蕩方向的附加質量和阻尼系數計算結果。由圖可以看出，垂蕩方向的附加質量和阻尼系數都很小，這是因為該結構在垂蕩方向的投影面積較小。但是垂蕩方向附加質量和阻尼系數對傾角的變化最為敏感。在整個頻率范圍內，增加板的傾斜角度，會令垂蕩附加質量的量值有大幅度增加，并且傾斜角度越大，附加質量增加幅度越大。同時，傾斜角度的增大還會令附加質量結果曲線波動幅度變大。由圖5可以明顯看出，當板的傾斜角度α=5°時，附加質量曲線近似為一條直線，且值都接近于0。當板傾斜角度為α=25°時，垂蕩附加質量最大值約為0.06，且在整個頻率范圍內出現了相對較大的波動。由圖6可見，在KB/2<0.7范圍內垂蕩阻尼系數呈拋物線型變化，峰值約為0.001 5，對應相對板長KB/2=0.3。當KB/2>0.7，阻尼系數隨相對板長的增加而增加，并且板的傾斜角度越大，阻尼系數增加幅度越大。當α=5°時，阻尼系數保持在0.000 5以下，而當α=10°時，阻尼系數最大約為0.001 5，近似為α=5°時的3倍。當α=25°時，阻尼系數最大可達0.006 5，近似為α=5°時的13倍。另外一個值得注意的現象是當KB/2=0.75時，垂蕩方向的阻尼系數為0，此時達到結構的共振頻率。

圖5 垂蕩附加質量Fig.5 Added mass for heave

圖6 垂蕩阻尼系數Fig.6 Damping for heave

圖7 橫搖附加質量Fig.7 Added mass for roll

圖7和圖8為橫搖方向的附加質量與阻尼系數結果。由圖可見，橫搖方向的附加質量和阻尼系數變化規律同橫蕩方向類似。橫蕩和橫搖方向的附加質量和阻尼系數出現極值所對應的波浪頻率相同。橫搖附加質量在KB/2=0.2達到峰值0.049，阻尼系數在KB/2=0.5達到峰值0.017。在整個頻率范圍內，增加板的傾角會令橫搖附加質量有所增加；但傾角的改變只會對0.2

圖8 橫搖阻尼系數Fig.8 Damping for roll

對比圖3～8的結果可知，橫蕩方向附加質量和阻尼系數最大，是控制性方向。

5 結論

本文利用邊界單元法，研究了水下雙斜板結構輻射運動時的附加質量和阻尼系數，討論了相對板長和傾斜角度對其的影響，研究發現：

1) 橫蕩方向的附加質量和阻尼系數最大，是控制性方向。

2) 垂蕩方向對板傾斜角度的變化最為敏感，改變傾斜角度，垂蕩方向的附加質量和阻尼系數變化最大。

3) 橫蕩和橫搖方向的附加質量和阻尼系數出現極值所對應的波浪頻率相同。

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Hydrodynamic coefficients of the radiation problem of double submerged inclined plates

ZHANG Zhiqiang1, LUAN Maotian1, WANG Ke2

(1. State Key Laboratory of Coastal and Offshore Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China; 2. State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment, Department of Engineering Mechanics, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China)

In this paper, the added mass and damping coefficients of a submerged structure that consists of two inclined rigid thick plates were studied. The adopted boundary element method in the research can be flexibly applied to submerged double inclined plates with any thickness and any inclined angle. Results indicate that the added mass and damping of sway are the largest, heave is the most sensitive to the change of inclined angle, and the wave frequencies of the maximal value of added mass and damping for sway and roll are the same.

submerged double inclined plates; boundary element method; added mass; damping coefficient

2015-06-08.

時間：2016-12-12.

國家重點基礎研究發展計劃項目(2013CB036101).

張志強(1984-), 男, 博士研究生; 王科(1970-), 男, 副教授,博士; 欒茂田(1962-), 男，教授，博士生導師.

王科，E-mail:kwang@dlut.edu.cn.

10.11990/jheu.201506024

U661.1

A

1006-7043(2017)01-0048-06

張志強，欒茂田，王科水下雙斜板結構輻射問題的水動力系數研究 [J]. 哈爾濱工程大學學報， 2017, 38(1): 48-52，94. ZHANG Zhiqiang, LUAN Maotian, WANG Ke. Hydrodynamic coefficients of the radiation problem of double submerged inclined plates[J]. Journal of Harbin Engineering University, 2017, 38(1): 48-52，94.

網絡出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20161212.1631.024.html