機械彈性車輪有限元計算與試驗模態的相關性研究

王強，趙又群，林棻，杜現斌，付宏勛

(南京航空航天大學 能源與動力學院，江蘇 南京 210016)

機械彈性車輪有限元計算與試驗模態的相關性研究

王強，趙又群，林棻，杜現斌，付宏勛

(南京航空航天大學 能源與動力學院，江蘇 南京 210016)

為了滿足新型機械彈性車輪結構響應預測和動態優化設計的要求，采用有限元計算與試驗測試相結合的方法對其振動特性進行了研究。通過有限元分析得到車輪結構的振動模態頻率及相應的振型，結合參數靈敏度分析和試驗模態對其有限元模型進行修正。基于內積相關度理論，對修正后的有限元計算模態和試驗模態參數進行了相關性分析，根據兩者的吻合程度，驗證了有限元建模及修正分析方法的有效性；修正后的有限元模型精度得到提高，計算結果更加反映了車輪的結構特性，為機械彈性車輪結構動態優化設計研究提供了參考。

機械彈性車輪；有限元分析；模態試驗；模型修正；相關性分析

良好的動態特性是輪胎設計的關鍵因素，輪胎結構模態頻率和振型的研究可以預測輪胎與路面激勵、懸架系統等發生相互作用的可能性，從而可通過結構的優化改進避開共振頻率。車輛性能的分析及懸掛系統的設計開發也依賴于對輪胎振動特性的研究。因此，研究輪胎的振動特性對輪胎的優化設計具有重要意義。管迪華等利用錘擊和激振器激振等方法對輪胎各種頻帶下的振動特性進行了試驗研究，在此基礎上建立了輪胎振動模型，并對輪胎模態參數變化的規律進行了分析[1-4]；P. Kindt等基于彈性環模型對不同頻帶下的面內模態、動特性模態、扭轉模態等進行了研究，并對滾動狀態下的輪胎動態力學特性進行了評估分析[5-6]；趙國群等[7]采用數值計算和模態試驗相結合的方法，對充氣壓力和負荷變化對層合結構的輪胎振動模態參數的影響進行了研究；Byoung Sam Kim等[8]對不同規格輪胎的固有頻率及模態振型隨充氣壓力、負荷、輪胎結構材料分布變化的規律進行了研究；危銀濤等[9]基于有限元分析和模態試驗分析了充氣壓力、帶束層參數及簾線和橡膠模量對輪胎振動固有頻率的影響，并揭示了輪胎振動特性與使用條件及材料特性之間的相互關系。朱茂桃等[10]利用內積相關度理論對車身有限元計算模態和試驗模態進行了振型相關性分析，辨別出振型所對應的模態頻率，驗證了有限元計算模型的正確性。

為解決傳統充氣輪胎刺破受損、高速爆胎等問題，安全輪胎技術已成為輪胎工業研究的熱點。目前，國內外學者研發的非充氣安全輪胎存在自重和剛度較大、加工工藝復雜等關鍵問題，且仍處于概念階段。為解決以上問題，本課題組提出了一種新型非充氣彈性車輪，該車輪在實現充氣輪胎基本功用的同時，能夠避免刺扎、爆胎和爆損等問題，所以該彈性車輪更滿足于特種車輛(軍事車輛、越野車、搶險救災車等)的安全使用要求。

在前期研究的基礎上[11-12]，本文基于有限元計算和模態試驗相結合的分析方法對所設計的新型非充氣彈性車輪的振動特性進行研究，根據試驗模態參數和結構設計變量的靈敏度分析對車輪有限元模型進行修正，并結合內積相關度理論對其修正后的有限元計算模態和試驗模態進行相關性研究。

1 機械彈性車輪結構

新型機械彈性車輪是通過機械連接彈性復合結構代替傳統輪胎充氣彈性結構，其車輪主要由輮輪(橡膠胎圈、彈性環、卡環)、輪轂、銷軸、鉸鏈組等部件構成，如圖1所示[12]。

(a) 車輪裝配圖 (b) 輮輪內支撐體圖1 機械彈性車輪結構Fig.1 Structure of the MEW

機械彈性車輪工作過程中，車軸傳給輪轂的垂直載荷與扭矩使鉸鏈組由平衡狀態變為預緊狀態，進而拉動輮輪產生拉力，該力沿車輪外圓的切向分力克服車輪與地面的靜摩擦力，使得車輪滾動。由于輪轂以鉸鏈組懸掛于輮輪內，來自路面的激勵大部分將為輮輪所承受，并瞬時隨其彈性變形和相應鉸鏈組的瞬時彎曲所緩解，故該車輪具有不同于普通充氣輪胎的緩沖減振性能。

2 機械彈性車輪有限元模態分析

有限元模態分析可看成求解具有有限個自由度的線彈性系統運動方程。在分析過程中，若有限元模型不考慮能量的耗散，可忽略結構阻尼對其模態頻率及振型的影響，其矩陣表達式為

(1)

亦可寫為

(2)

式中：K為結構剛度矩陣，M為質量矩陣，λ=ω2為特征值，ω為結構的固有頻率，φ為對應的特征向量。

求解可得n個特征值λi及對應的特征向量φi，即為模態頻率和振型。

機械彈性車輪橡膠體結構和彈性鋼絲環的遲滯變形特性決定該車輪阻尼特性，其阻尼效果比充氣輪胎更加顯著，因此，在模態分析時要考慮復模態問題，其有阻尼振動系統的自由振動方程為

(3)

復模態分析的目的是計算有阻尼系統的模態，并用于確定所研究對象的結構穩定性。其分析實質是將線性振動微分方程組中的物理坐標變換為模態坐標，使得方程組解耦，則方程(3)可改寫為：

(4)

式中：p為特征值，φ為對應的特征向量。

在實模態分析基礎上，通過實模態投影生成的子空間上形成復特征值問題，并使用Hessenberg縮減方法提取復模態參數。將矩陣投影到由n個實模態特征向量組成的空間上，可得：

(5)

式(4)亦可寫為：

(6)

2.1 輮輪模型材料參數的確定

機械彈性車輪的輮輪主要由橡膠體、簾布、彈性鋼絲環等多種材料構成，如圖2所示。輮輪結構組份材料的不同決定車輪不同的特性，為了盡可能準確地模擬車輪性能，需要對輮輪結構的復合材料進行力學性能研究。

圖2 層合結構模型Fig.2 Laminated structure model

輮輪中的簾布復合材料屬于三維正交各向異性復合材料，具有近似體積不可壓縮性和非線性的本構關系。初始模型中，簾線的方向向量和基體的法向向量相同，為了較好的表征橡膠材料力學特性，通常采用Mooney-Rivlin超彈性本構模型進行描述，其應變能函數W是變形張量不變量(I1,I2,I3)的函數，即W=W(I1,I2,I3)，橡膠又為不可壓縮性材料，即I3=1，則應變能函數模型為

(7)

式中：I1、I2為左Cauchy-Green變形張量中的第1和2基本不變量，Cij為材料參數，則有：

(8)

(9)

I1、I2、I3為二階張量不變量，下角標1、2和3表示3個相互垂直的方向，且材料只有單方向拉伸，則有：λ1λ2λ3=1，對于輮輪的橡膠材料，?W/?I2遠遠小于?W/?I1，且近似為零，故有Yeoh模型為

(10)

式中：Yeoh模型能夠充分的描述橡膠-簾布復合材料的性能，并且僅可由單軸拉伸試驗確定其材料的系數。采用Instron公司的萬能拉伸測試儀對輮輪橡膠體材料進行單向拉伸試驗，試樣取件為胎面層、胎內層等橡膠-簾線復合材料，測試結果如圖3所示。σ-ε曲線的形狀取決于橡膠-簾線材料的分布含量，通過測試結果的分析，可得Yeoh模型的材料參數，如表1所示。機械彈性車輪不同組件的材料性能參數如表2所示。

(a) 車輪裝配圖 (b) 輮輪內支撐體圖3 橡膠-簾布復合材料應力-應變曲線Fig.3 The stress-strain curve of rubber-curtain composite

組件C10∕MPaC01∕MPaC20∕MPaC30∕MPa密度ρ∕(t·m-3)胎面層0.563670.00436——1.279胎內層0.467150.00327——1.256簾布層0.70644—4.923174.136751.217

表2 機械彈性車輪各部件材料性能參數

2.2 機械彈性車輪有限元模型

將機械彈性車輪模型進行適當的簡化，不考慮車輪花紋對分析的影響。輮輪中的胎面、基部膠和簾布層均屬于復合材料，彈性鋼絲環層為加強筋層，為方便模型建立，基于Gough-Tangorra微觀力學理論，采用Hyper Mesh的復合材料前處理模塊Hyper Laminate進行鋪層離散。獲得輮輪模型，輪轂、鉸鏈組等部件均屬于各向同性材料，采用六面體單元進行離散。利用interfaces面板功能建立輮輪層合體之間的接觸關系，選擇Auto可通過周圍單元的剛度確定Gap單元的剛度，準確地模擬接觸條件，防止接觸節點的穿透。采用Spring單元模擬鉸鏈之間的轉動副及回位彈簧，與輪轂、輮輪關聯構成完整的車輪有限元模型。不施加任何載荷，約束軸向方向自由度，并設置計算卡片信息，最終建立的車輪結構有限元模型如圖4所示，共有314 693個節點，267 535個實體單元。

圖4 車輪結構有限元模型Fig.4 FE model of the MEW

2.3 有限元模態計算結果

運用RADIOSS模塊中的Lanczos算法和Hessenberg縮減法對有限元模型進行數值模態計算，與試驗振型結果進行對照，選出與試驗模態振型相近的計算模態振型及所對應的頻率，得出前六階帶阻尼結構的模態頻率和振型，如表3所示。

表3 機械彈性車輪有限元計算模態結果

3 機械彈性車輪試驗模態分析

3.1 試驗模態理論

機械彈性車輪進行模態試驗的基本原理是將其離散化，其彈性和阻尼特性用線性模型來描述，系統的振動微分方程為

(11)

在振動模態試驗中，對式(11)兩邊進行傅里葉變換可得

(12)

式中：F(ω)、X(ω)分別為激振力F(t)和位移響應向量x(t)的傅里葉變換。

令

(13)

式(12)可簡化為

(14)

式中H(ω)為傳遞函數矩陣。

當在第j點激振時，在i點測響應，可得傳遞函數矩陣中第j行i列元素為

(15)

式中：φir、φjr為i、j點振型元素。

式(15)表達了傳遞函數與模態參數之間的關系，該式分母與響應點、激振點無關，僅與頻率和阻尼有關，因此，無論在哪一點進行測量，獲得的傳遞函數的分母值相同。對結構上一點激振，多點測量響應，即可得到傳遞函數矩陣的某一列，進而計算出模態參數。

3.2 模態測試系統

機械彈性車輪自由懸置，采用移動力錘法進行徑向激振試驗，并利用模態試驗分析軟件LMS Test. Lab進行識別分析，試驗設備如表4所示。

表4 試驗儀器設備

采用單點激振多點拾振的方法對機械彈性車輪進行模態分析，利用棕繩將車輪自由懸置，由于自由懸置的自振頻率(小于1 Hz)遠低于車輪一階固有頻率(約為30 Hz)，因此可忽略支撐對模態參數提取的影響。設置頻帶為512 Hz和頻率分辨率為0.83 Hz，進行自由模態試驗，如圖5所示。

圖5 機械彈性車輪模態試驗Fig.5 Modal experiment of the MEW

考慮機械彈性車輪結構的特點，針對車輪面內振動模態，在胎面徑向中心圓處均勻布置12個測點，形成的車輪模態試驗測點布置如圖6所示。

圖6 車輪測點布置圖Fig.6 Test points distribution

3.3 試驗模態結果

測試前多次試測，以避免激振點處于節點上，可減少模態的丟失。采用PolyMAX識別技術，在模態重疊、大阻尼系統及噪聲干擾等情況下都可得出清晰的穩態圖，不僅能夠很好地識別出低頻范圍的模態參數，而且還可以較好地識別高頻范圍的模態參數，同時還可以識別出高度密集的模態和重根模態。利用PolyMAX模態分析方法得到車輪測試結果的穩態圖，如圖7所示。

根據頻響函數矩陣的多行與多列數據參數識別及模態試驗PolyMAX識別方法，得出的機械彈性車

輪徑向激振模態試驗結果，如表5所示。

注：o表示未找到極點；f表示頻率穩定(在給定精度內)；v表示頻率和模態參與因子穩定；d表示頻率和阻尼穩定；s表示3種參數全部穩定(在給定精度內)圖7 PolyMAX識別的穩態圖Fig.7 Stabilization chart of PolyMAX recognition

階次123456模態頻率∕Hz33.39881.82687.659141.674156.513205.875模態振型錯動橢圓三瓣四瓣五瓣六瓣

由上述試驗結果分析可得，在所加激振力范圍內，力的大小對車輪的固有頻率影響較小，說明輪胎在此加力范圍內是線性的。從振型圖可以看出，對于低階模態，車輪表現為實模態，振型形狀相對規整，但到第四階模態開始顯現復模態的特性，形狀不再規整，振型圖由幅值所得，各點之間的相位差不再為0°或180°。

4 機械彈性車輪有限元模型修正

在車輪有限元建模過程中，對輮輪層合結構、鉸鏈組的連接等進行的簡化，導致了有限元模型質量矩陣存在一定的誤差。對于車輪簡化模型，為提高有限元模型的精度，可通過改進材料屬性有效地補償幾何模型的誤差。鑒于有限元和試驗模態頻率之間的誤差，結合結構設計變量的靈敏度分析，對其車輪結構有限元模型進行修正。

考慮多自由度系統的無阻尼振動特征方程為

(16)

式中：λi、φi分別為系統特征方程的第i階特征值和特征向量。

由Rayleigh法可得第i階固有頻率與振型的關系為

(17)

假設系統的振型已進行了模態質量歸一化，則有：

(18)

將式(17)和(19)分別對結構參數Sj求微分可得：

(19)

(20)

根據正交性條件整理式(19)和(20)可得第i階特征值對參數Sj的導數，即第i階模態頻率對第Sj個設計參數的靈敏度為

(21)

由式(21)可以看出，結構參數Sj的改變直接影響質量矩陣M和剛度矩陣K，進而改變固有模態頻率ωi。在輮輪建模過程中，忽略了彈性鋼絲環內的孔隙率對計算結果的影響，而車輪結構其余部件的幾何和材料參數都是根據設計和試驗測試進行設定的，故假定其余結構部件的建模誤差不計，取對質量矩陣和剛度矩陣影響較大的彈性鋼絲環的等效彈性模量和等效密度作為修正參數。

結合試驗模態參數和OptiStruct優化分析方法對車輪結構的有限元模型進行修正[13-14]。對彈性鋼絲環的待修正參數進行一定范圍的隨機攝動，可直接或間接地調整有限元模型的質量矩陣M和剛度矩陣K，使有限元計算的模態頻率和振型盡可能接近試驗模態分析的結果。以車輪結構前6階模態頻率作為修正目標，取車輪自重為主要性能約束條件，設目標函數為：

(22)

依據迭代收斂準則，對初始有限元模型進行逐步修正，經過迭代后計算與實測頻率收斂到允許誤差范圍內，迭代后的結構參數的修正值見表6所示。

表6 修正前、后的參數值及其變化

Table 6 Structure parameters comparison of initial value and updated value

參數值彈性鋼絲環彈性模量/MPa等效密度/(kg·m-3)初始值1.960′1057.810′103修正值2.016′1057.712′103變化率/%-2.861.25

分析表明，通過調整彈性鋼絲環的等效彈性模量和等效密度，可顯著改善車輪的模態和振型，修正后的模態頻率如表7第Ⅳ列所示。

表7 車輪結構模態頻率的試驗值、有限元計算與模型修正值對比

由表7數據可知，經過模型修正，各階計算模態頻率與試驗模態頻率的誤差得到明顯縮小，車輪結構的模態頻率最大誤差由修正前的11.88%降到修正后的2.91%，說明經過修正后的有限元分析模型的精度得到大幅度提高。

5 有限元模態與試驗模態的相關性分析

為了進一步驗證有限元模型，為機械彈性車輪振動特性的研究提供支撐，需進行有限元計算模態和試驗模態兩則分析結果的相關性研究，求出兩者相關度，若相關度越高，說明兩種模型的吻合程度就越好。

5.1 內積相關度

5.2 模態相關度分析

有限元計算和試驗模態所得的車輪前六階振型，并不能夠直觀的表達兩者之間的一致性，需將獲得的模態振型抽象為Hilbert空間中的點，并設各點對應一個向量，利用向量之間的夾角來描述有限元計算模態與試驗模態的相關性。試驗模態分析所得到的結果為復模態，模態振型的每一個分量包含兩部分，分別為反應振動幅度的幅值和相位，為此需要進行實模態的提取，在整體結構振動偏移量最大時，取各個節點的偏移值作為試驗模態振型的各個分量。

設某階試驗模態振型為

(23)

式中：rk和Tk分別為振型第k個分量的幅值和相位，k=1,2,…,n。

(24)

式中：X為提取的某階模態振型矩陣，risin(Tmax+Ti)為提取后的某階模態振型的第i個分量，i=1,2,…,n。

取試驗的某階振型，將其提取為實模態振型X，取修正后的有限元計算模態中某階與試驗自由度一致的振型Yk，計算內積相關度PC(X,Yk)(k=1,2,…)，確定其可信度。

利用Mtalab軟件編寫相關的程序，對其修正后的有限元模態和試驗模態進行內積相關度計算，計算結果如表8和9所示。

表8 模態頻率內積相關度Table 8 Inner product correlation matrix for modal frequency

表9 模態振型內積相關度

通過上述計算結果表明，修正后的有限元計算模態與試驗模態的振型及所對應的模態頻率吻合性較好，說明基于內積相關度分析具有較高的可靠性，同時也驗證了有限元建模及修正分析方法的有效性。

6 結論

1)針對新型機械彈性車輪的振動特性，利用有限元計算和模態試驗相結合的分析方法對其進行研究，并識別出與試驗模態振型相對應的有限元模態振型及所對應的模態頻率。

2)基于結構設計變量的靈敏度分析和試驗模態參數對車輪結構的有限元模型進行了修正，修正后的有限元分析模型的精度得到大幅度提高，為機械彈性車輪的進一步研究，如響應分析、譜分析以及結構動態優化設計等奠定了基礎。

3)修正后的有限元模態參數和試驗模態參數具有較高的相關度，表明了車輪結構有限元建模及修正分析方法的正確性，同時也說明了基于內積相關度的分析方法能夠為車輪優化設計提供指導。

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Correlation between the finite element calculation and experimental mode of a mechanical elastic wheel

WANG Qiang, ZHAO Youqun, LIN Fen, DU Xianbin, FU Hongxun

(College of Energy and Power Engineering, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 210016, China)

To meet the requirements of response prediction and dynamic optimization design, the vibration characteristics of a new mechanical elastic wheel (MEW) were studied by combining the finite element calculation and testing experiments.The frequency of the vibration modes and the corresponding vibration modes were obtained through the finite element analysis. In combination with the analysis results of parameter sensitivity and the test modes, the finite element model of MEW was updated. On the basis of the theory of inner product correlation, correlative analysis of the modal parameters that were obtained from the updated finite element calculation and experiments was conducted. Results from the correlative analysis proved the validity of the finite element modeling and updated method. The precision of the updated finite element model was improved to the point where the calculation result could accurately reflect the structure characteristics of the MEW, providing a reference for further study on dynamic optimization design of wheel structures.

mechanical elastic wheel; finite element analysis; modal experiment; model updating; correlation analysis

2015-12-18.

時間：2016-12-12.

總裝備部探索研究重大資助項目(NHA13002)；江蘇省普通高校研究生科研創新計劃(KYLX_0241)；中央高校基本科研業務費專項資金(NP2016412).

王強(1985-)，男，博士研究生； 趙又群(1968-)，男，教授，博士生導師.

趙又群，E-mail: yqzhao@nuaa.edu.cn.

10.11990/jheu.201512067

U463.3

A

1006-7043(2017)01-0086-08

王強，趙又群，林棻，等. 機械彈性車輪有限元計算與試驗模態的相關性研究[J]. 哈爾濱工程大學學報， 2017, 38(1): 87-94. WANG Qiang, ZHAO Youqun, LIN Fen，et al. Correlation between the finite element calculation and experimental mode of a mechanical elastic wheel[J]. Journal of Harbin Engineering University, 2017, 38(1): 87-94.

網絡出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20161212.0920.014.html