無鰭舵矢量推進水下機器人縱向穩定性研究

張榮敏, 陳原, 高軍

(山東大學(威海) 機電與信息工程學院，山東 威海264209)

無鰭舵矢量推進水下機器人縱向穩定性研究

張榮敏, 陳原, 高軍

(山東大學(威海) 機電與信息工程學院，山東 威海264209)

為了提高水下機器人低速航行時的機動性，提出了將一種基于球面并聯機構的矢量推進螺旋槳應用于水下機器人，建立了旋量形式的六自由度運動學模型。針對矢量推進的二維轉動角分解了矢量推力，得到了三維方向上的比例因子，基于牛頓-歐拉法建立了矢量推進水下機器人的動力學模型。同時提出了以矢量推進的比例因子作為輸入量，利用拉普拉斯變換建立縱向運動的復數域擾動模型，基于擾動模型提出了無量綱化的矢量推進穩定裕度指標。數值算例驗證了水下機器人無鰭舵矢量推進方式的有效性與穩定性。

水下機器人；矢量推進；并聯機構；動力學；擾動模型；操縱穩定性

水下機器人在海洋資源勘測和開發中具有不可或缺的作用。矢量推進方式能夠顯著提高水下機器人低速航行時的定位能力，已經成為眾多學者的研究熱點[1-3]。作者設計了一個二自由度球面并聯機構，并將其安裝于水下機器人尾部，構成了一個螺旋槳矢量推進器[4]。該并聯矢量推進器會隨著偏擺角的變化產生多維方向推進力，從而能夠實現單機構多姿態的矢量推進方式，但是同時會對水下機器人動力學模型及其操縱穩定性造成較大的影響。因而，對無鰭舵矢量推進水下機器人的操縱穩定性的研究具有重要意義。

現有的水下機器人動力學模型大多只針對螺旋槳推進器與鰭舵組合推進方式[5-12]。例如，黃海等[5]基于柱坐標系建立了欠驅動型水下機器人的動力學模型；Ba等[6]對一種噴水矢量推進水下機器人進行了矢量推進動力學建模；王樹新[7]建立了混合驅動水下滑翔機的動力學微分幾何模型。但是現有水下機器人的動力學模型大多針對鰭舵輔助導向方式而構建，本文以矢量推進偏擺角和螺旋槳轉速為控制量，建立了矢量推進水下機器人的動力學模型。

另外，對水下機器人操縱穩定性的研究大多局限于鰭舵面水動力或內部質量分布等設計參數的時域穩定性分析。例如，魏延輝[13]研究了多翼自治水下機器人在外界干擾作用下的穩定性模型；趙寶強[14]分析了一種水下滑翔機器人的動態穩定性；Zhang[15]設計了一種不確定干擾模式下水下機器人的操縱穩定性分析方法。現有的時域操縱穩定性分析方法很難運用到無鰭舵矢量推進水下機器人中，本文提出以矢量推進的比例因子作為輸入量，利用拉普拉斯變換方法建立縱向運動的復數域擾動模型，并且基于該擾動模型提出了無量綱化的矢量推進穩定裕度指標。

1 矢量推進水下機器人的運動學模型與坐標系

如圖1所示為安裝于水下機器人尾部的可控二自由度球面并聯矢量推進器。水下機器人螺旋槳軸的姿態可通過二自由度球面并聯機構進行控制。該球面并聯機構為2-RPC& 2-RPCS型并聯機構，其中R表示與靜平臺鉸接的轉動副，PC為弧形伸縮桿形式的移動副，其實質為變異轉動副，S為球副。它由定平臺、動平臺以及連接它們的四條運動支鏈構成。其中RPC運動鏈和與之相鄰的RPCS運動鏈為驅動支鏈，由伺服電機驅動并由錐齒輪傳動，另外兩條為對稱的被動分支。螺旋槳主軸通過萬向節聯軸器傳遞主推電機的扭矩，進而實現水下機器人的俯仰和偏航運動。

圖1 矢量推進器Fig.1 The vectored thruster

在水下機器人尾部安裝圖1所示的矢量推進器，就構成了如圖2所示的矢量推進水下機器人。為描述水下機器人的運動，建立了如圖2所示的固

定坐標系E-XYZ和船體坐標系B-xyz。固定坐標系的原點選在大地的某一點E處，EX軸在水平面內，以水下機器人初始航行方向為正，EY軸在垂直面內，垂直向上為正，EZ軸垂直于EXY平面，其正方向與EX、EY軸構成右手坐標系。在固定坐標系下，水下機器人的位置向量定義為R=(XYZ)T，姿態角向量設計為Λ=(φψθ)T，其中φ為橫滾角，ψ為偏航角，θ為俯仰角，將其位姿向量寫成如下旋量形式

(1)

船體坐標系的原點選在水下機器人的浮心B處，Bx軸沿機器人縱軸，指向前為正，By軸垂直于Bx軸，當機器人水平放置時指向上為正，Bz軸垂直于Bxy平面，其正向與Bx、By軸構成右手坐標系。在船體坐標系下，水下機器人的線速度向量設計為U=(uvw)T，角速度向量定義為Ω=(pqr)T，其中u、v、w和p、q、r分別為沿x、y、z軸的線速度和角速度，將其廣義速度向量寫成如下旋量形式

(2)

圖2 矢量推進水下機器人的三維模型及其坐標系Fig.2 The 3D model and coordinate frame of vectored thrust underwater vehicle

船體坐標系下和固定坐標系下的線速度以及角速度間的關系表示為：

(3)

式中：S為船體坐標系到固定坐標系的旋轉變換矩陣，C為姿態變換矩陣，分別如下

(4)

(5)

2 矢量推進水下機器人的動力學建模

2.1 矢量推進力分解計算

矢量推進器具有二維轉動自由度，所以在船體坐標系中螺旋槳主軸可以實現水平方向和豎直方向的偏轉。螺旋槳推力FT沿主軸方向，可以將推力按照推進器兩個方向的偏轉角度進行如圖3所示的三維分解。其中A點為推力作用點；B點為水下機器人的浮心；δh為螺旋槳軸在水平方向的偏擺角，從機器人的尾部看去，以左偏為正；δv為豎直方向的偏擺角，從機器人的尾部看去，以下偏為正。兩個角度正負的規定以確保推力正方向與船體坐標軸正方向一致。

利用空間幾何學把矢量推力FT分解到船體坐標系B-xyz的三個坐標軸上，可以得到三個推力分量Fx，Fy，Fz。因此，可將FT寫成如下的向量式

(6)

圖3 矢量推進力的三維分解圖Fig.3 The 3D decomposition of vectored thrust

(7)

(8)式中：MT為螺旋槳反作用轉矩的大小，Kq為扭轉力矩系數，ρ為水的密度，D為螺旋槳葉直徑，n為螺旋槳轉速。

另外，推力分量會使水下機器人產生繞y軸和z軸方向的轉矩，設推力作用點A到浮心B點的距離為rAB，則兩個轉矩分別My=FzrAB和Mz=FyrAB。綜上可以將矢量推進器產生的力和力矩表示為

(9)

2.2 流體力和回復力計算

水下機器人在運動過程中主要受到流體動力和其他外力的作用。流體動力包括慣性類流體動力fA和粘性類流體動力fV，慣性類流體動力與運動的加速度和角加速度有關，而粘性類流體動力與水下機器人的沖角、漂角、速度和角速度有關。慣性類和粘性類流體動力可分別由式(10)和(11)計算

(10)

式中：λij為附加質量系數，由于水下機器人關于坐標平面x-B-y和x-B-z對稱，具有左右、上下對稱的特點，因此附加質量系數可以簡化，只取λ11、λ22、λ26、λ33、λ35、λ44、λ53、λ55、λ62、λ66這10項。

(11)

式中：CX(0)為零縱向力系數，即直航阻力系數；系數CYα表示垂向力CY對沖角α的線性導數；其他系數如CYr、CZβ、CMp含義同理，即CX、CY、CZ、CR、CM和CN分別表示橫向力系數、垂向力系數、縱向力系數、橫滾力矩系數、偏航力矩系數和俯仰力矩系數，上標α、β、p、q、r分別表示對沖角、漂角、橫滾角速度、偏航角速度和俯仰角速度的線性導數。由于該水下機器人為單機構矢量推進方式，沒有方向舵或尾翼等輔助導向裝置，因此與舵角或者翼角相關的水動力系數均為零。

水下機器人的重力G沿固定坐標系中Y軸的負向，浮力B沿Y軸的正向，重力和浮力可以稱為回復力FR。重力矩為重心的位置矢量RG與重力矢量的叉積，轉換到固定坐標系中的回復力和力矩可通過式(12)計算

(12)

計算回復力和力矩得到其整體矢量式為

(13)

2.3 矢量推進動力學模型的構建

(14)

(15)

式中：m為水下機器人的質量，UG為水下機器人重心的速度，U為船體坐標系中原點的速度，Ω為水下機器人的角速度，RG為重心在船體坐標系的位置向量，J為水下機器人對原點的總慣量矩陣。

(16)

(17)

分別將式(14)和式(15)代入式(16)和式(17)，再結合前文對于矢量推進水下機器人的受力分析，可推出矢量推進水下機器人的空間平移運動方程和旋轉運動方程為

(18)

(19)

式中：FA為慣性類流體動力，FV為粘性類流體動力，FR為回復力，FT為矢量推進器的推力，TA為慣性類流體動力矩，TV為粘性類流體動力矩，TR為回復力矩，MT為矢量推進器的推力矩。

將平移運動方程(18)和旋轉運動方程(19)進行聯立求解，并將前述各力和力矩的表達式代入可得動力學方程

(20)

式中：M為系數矩陣，f為水下機器人的廣義外力(力和力矩)矩陣，它們分別表達為

(21)

(22)

由方程(20)可知，矢量推進水下機器人的動力學方程是以推進器的偏擺角和螺旋槳轉速為控制量的。如果結合位姿運動學方程(3)，即可對該矢量推進水下機器人運動學及動力學進行求解。

3 縱向運動的操縱穩定性研究

3.1 操縱穩定性模型

縱向運動方向上的穩定性包括靜穩定性和動穩定性，動穩定性是指水下機器人在運動過程中受到干擾后，能否恢復到原來運動狀態的能力。其物理意義表達了水下機器人受到擾動后產生的傾覆力矩和阻尼力矩能否達到新的平衡狀態[16]。

構建矢量推進水下機器人的縱向擾動方程是建立其操縱穩定性模型的基礎。水下機器人在航行過程中，不可避免的會受到各種擾動。假設未擾動時的運動為定常直線運動，即浮心速度VT為常數，同時沖角近似為零。將上述條件代入動力學方程(20)，且略去二階小量，可以得到時域內縱向擾動方程：

(23)

令a21=mxG+λ26，a22=0.5ρSLVT(μ->CYr)，a23=-> (m+λ22)，a24=->0.5ρVT2SCYα，a25=FT，a31=JZ+λ66，a32=0.5ρSL2VT(μxG/L->CNr)，a33=->(mxG+λ66)VT，a34=->0.5ρVT2SLCNα，a35=->rABFT，同時將縱向比例因子作為輸入量，對方程(23)兩邊進行拉普拉斯變換，變換后得到如下矢量推進縱向擾動方程：

(24)

方程(24)是以比例因子Ky(s)為輸入量，以r(s)，α(s)為輸出量的二階系統，它的齊次方程即為水下機器人的自由擾動方程。根據方程(24)可得俯仰角速度的復數域解為

(25)

利用輸出的拉普拉斯變換與輸入的拉普拉斯變換的比值得到俯仰角速度的傳遞函數Wr(s)為kr(s+s3)/(s+s1)(s+s2)，沖角的傳遞函數Wα(s)為kα(s+s4)/(s+s1)(s+s2)，當縱向比例因子為階躍函數輸入時，由拉普拉斯逆變換可分別得到俯仰角速度和沖角的過渡函數r(t)和α(t)：

(26)

式中：s1=[D1->(D12->4D0D2)0.5]/2D2，s2=[D1+(D12->4D0D2)0.5]/2D2，s3=r0/r1，s4=α0/α1，Kr=r0/D0，Kα=α0/D0，

其中，

D0=a22a34->a24a32，D1=a21a34+a22a33->a23a32->a24a31，D2=a21a33->a23a31，r0=a25a34->a35a24，r1=a25a33->a35a23，α0=a22a35->a25a32，α1=a21a35->a25a31，kr=r1/D2，kα=α1/D2。

由式(26)可以得到矢量推進水下機器人在受到擾動后，運動參數r(t)和α(t)的時間歷程變化。如果各運動參數收斂，則說明水下機器人的運動狀態是穩定的。

3.2 操縱穩定性指標

工程上常用縱向穩定裕度作為船舶等航行器的縱向穩定性指標。對于矢量推進水下機器人，其動力學模型與傳統鰭舵式有所差別，無量綱旋轉力臂不能只由傳統水動力系數得到，還要包含矢量推進的比例因子項。因此提出了矢量推進的縱向穩定裕度來衡量其操縱穩定性。

由矢量推進的動力學方程(20)可以分別求得俯仰力矩N(r)和垂向力Y(r)。令d=rAB/L，將推力作用點與浮心之間的距離無量綱化，稱其為無量綱推距。令FT′=2FT/ρVTSLr，稱其為無量綱推力，同時無量綱質量為μ=2m/ρSL，將以上無量綱系數代入俯仰力矩N(r)和垂向力Y(r)中，可得到如下表達式：

(27)

縱向運動的旋轉力臂是指俯仰力矩與垂向力的比值，由式(27)可求得矢量推進的旋轉力臂Lr。按照式(28)將其無量綱化，然后按照穩定裕度的計算方法，可得到如式(29)所示矢量推進方式的縱向穩定裕度指標Gv。

(28)

(29)

由式(29)可知，與傳統鰭舵式水下航行器相比，矢量推進的穩定裕度不僅與水動力系數有關，而且與無量綱推距和比例因子Ky有關。利用式(29)可以計算出矢量推進水下機器人的穩定裕度，然后采用以下準則進行穩定性判斷，當Gv>1時，運動是靜穩定的；當0≤Gv≤1時，運動是動穩定的；當Gv<0時，運動是動不穩定的[16]。

4 動力學行為及操縱性仿真算例

和

和

和

和圖4 水動力特性仿真Fig.4 Hydrodynamics simulation

為驗證該矢量推進方式的運動效果，采用四階龍格-庫塔方法對動力學方程組進行求解。水下機器人的質量m為53 kg，長度L為1.08 m，最大橫截面面積S為0.05 m2，螺旋槳直徑D為0.2 m，重心在船體坐標系中的坐標為(0 m,0.05 m, 0 m)。利用Matlab對其水平面回轉、豎直面升潛和空間螺旋運動進行了運動仿真，仿真結果如圖5～7所示。

圖5 水平面回轉運動Fig.5 Rotational motion in horizontal plane

圖6 豎直面升潛運動Fig.6 Ascending and descending motion in vertical plane

如圖5所示為水平面回轉運動軌跡，控制量為螺旋槳轉速n為600 r/min，推進器的水平偏擺角δh為15°，豎直偏擺角δv為0°，初始航行速度為0.01 m/s。由圖可知，該矢量推進水下機器人從原點位置先做短暫的直線運動，然后很快的過渡到回轉運動，回轉半徑約為25.5 m，其運動軌跡與傳統鰭舵式相吻合。圖6所示為水下機器人豎直面內的升潛運動仿真，其中控制量為螺旋槳轉速600 r/min，水平偏擺角δh為0°，豎直偏擺角先為-10°，再為10°。圖7所示為水下機器人空間螺旋運動的仿真，其中控制量為螺旋槳轉速600 r/min，豎直偏擺角δv為15°，水平偏擺角δh為10°，其螺旋運動的升距約為4 m。對水下機器人空間運動軌跡的仿真結果與理論相吻合，表明了水下機器人動力學模型的正確性。

圖7 空間螺旋運動Fig.7 Spiral motion

圖8 比例因子Fig.8 The scaling factor

圖8為比例因子的三維圖，從圖中能夠看到隨著矢量推進器水平偏擺角δh和豎直偏擺角δv的變化(->0.52≤δh≤0.52，->0.52≤δv≤0.52)，三個方向推力分量的變化趨勢。在整個工作空間內，Fx能夠達到不低于75%的推力，當δh=0、δv=±0.52時，和δv=0、δh=±0.52時，Fy和Fz能夠達到最高50%的推力。

當水下機器人的矢量推進器在縱平面內受到單位階躍偏擺的擾動時，俯仰角速度和沖角的過渡曲線如圖9所示。從圖中可以直觀的看到過渡時間和穩態值。當t趨向于無窮大時，r(t)和α(t)是收斂的，這表明了當矢量推進水下機器人受到單位階躍擾動時，它具有動穩定性。同時利用式(29)計算得到縱向穩定裕度Gv的值為0.703 6，這進一步證明了其運動是動穩定的。如圖10所示為在單位階躍擾動下矢量推進水下機器人縱向運動俯仰角和深度的過渡曲線，由圖可看出，當t趨向于無窮大時，θ(t)趨向于一條直線，Y(t)趨向于二次曲線。圖11所示為矢量推進水下機器人的縱向偏擺角為正弦輸入時，俯仰角速度r的頻率特性曲線，從圖中可以看到幅頻值Lr和相位差φr隨偏擺角頻率ω的變化趨勢。當角頻率ω趨向于0時，幅頻值約為2.04 dB，相位差約為-1.03°，該頻率特性表現出矢量推進水下機器人系統的穩定性。

圖9 r(t)和α(t)過渡曲線Fig.9 Transition curve of r(t) and α(t)

圖10 θ(t)和Y(t)過渡曲線Fig.10 Transition curve of θ(t) and Y(t)

圖11 俯仰角速度r的頻率特性Fig.11 frequency characteristic of r

5 結論

1)安裝有二自由度螺旋槳矢量推進器的水下機器人能夠完成俯仰和偏航及其組合運動，實現了單機構多姿態的矢量推進方式。

2)對矢量推進水下機器人動力學方程的求解及其仿真分析實現了空間運動軌跡的可視化。其回轉運動和螺旋運動表現出矢量推進方式的可行性和靈活性。

3)對水下機器人的縱向擾動模型仿真計算，得到了各運動參數的響應曲線，結果證明了各運動參數的收斂性，同時計算了矢量推進縱向穩定裕度的值為0.703 6，這些表明了矢量推進水下機器人的動態穩定性。

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Longitudinal handling stability of vectored thrust underwater vehicle without fin and rudder

ZHANG Rongmin，CHEN Yuan，GAO Jun

(School of Mechanical, Electrical & Information Engineering, Shandong University, Weihai 264209, China)

A single-mechanism vectored thrust approach without fin and rudder was proposed to improve the maneuverability of an underwater vehicle running at low speed. A new vectored thruster based on spherical parallel mechanism was applied to an underwater vehicle, and a six degrees-of-freedom kinematic model in the form of spinor was established. With the two-dimensional rotation angle of the thrust vectoring as the target, the vector thrust was decomposed, and the three-dimensional scaling factor was derived. A dynamic model of the vectored thruster was established on the basis of Newton-Euler method. In addition, with the scaling factor of thrust vectoring as an input, Laplace transformation was employed to establish the disturbance model along the vertical direction in a complex domain, and the dimensionless stability margin of vectored thrust based on the disturbance model was proposed. Numerical simulations were performed to verify the effectiveness and stability of the vectored thrust mode without fin and rudder.Keywords：underwater vehicle; vectored thrust; parallel mechanism; dynamics; disturbance model; handling stability

2015-09-30.

時間：2016-12-12.

國家自然科學基金項目(51375264)；山東省科技重大專項(2015JMRH0218)；山東省優秀中青年獎勵基金項目(BS2013ZZ008)；中國博士后特別資助項目(2014T70632).

張榮敏(1986-)，男，博士； 高軍(1968-), 男, 教授, 博士生導師; 陳原(1976-), 男, 副教授,博士.

陳原, E-mail:cyzghysy@sdu.edu.cn.

10.11990/jheu.201509089

U664.8

A

1006-7043(2017)01-0133-08

張榮敏, 陳原, 高軍. 無鰭舵矢量推進水下機器人縱向穩定性研究[J]. 哈爾濱工程大學學報， 2017, 38(1): 133-139，152. ZHANG Rongmin，CHEN Yuan，GAO Jun. Longitudinal handling stability of vectored thrust underwater vehicle without fin and rudder[J]. Journal of Harbin Engineering University,2017, 38(1): 133-139,152.

網絡出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20161212.0920.002.html