試析高中數學中橢圓與雙曲線交點的問題

劉欽澤

摘 要：橢圓與雙曲線問題是高中數學中非常重要的兩個知識點并且在考試的時候也是重要的考點，所以在學習的過程中學生對于橢圓與雙曲線交點的問題一定要做到心中有數，對于每一種交點的情況應該非常熟悉，能夠結合實際問題情境，采用橢圓與雙曲線交點的知識解決問題，因為很多題目都是圍繞橢圓與雙曲線相交或者相切的問題再延伸。在讀題的過程中要善于識別并且找準解題突破點，本文就高中數學中橢圓與雙曲線交點問題的種種情況進行了細致的探究，并且就如何解決相關的應用題提出了幾點建立。

關鍵詞：高中數學；橢圓；雙曲線；交點；相切；相交

一、高中數學中橢圓與雙曲線交點的問題

高中數學中橢圓與雙曲線的交點問題主要涉及到四種情形，分別是當橢圓和雙曲線的長軸都在x軸上時；橢圓與雙曲線的長軸都在y軸上時；橢圓的長軸在x軸上，雙曲線的交點在y軸上時；橢圓的長軸在y軸上，雙曲線的長軸在x軸上；這四種情況的解題思路是類似的，前提都是建立在對橢圓和雙曲線性質熟練掌握的基礎上的，設四種情況下橢圓的長軸長均為a，短軸長均為b，雙曲線的長軸長均為d，虛短軸長均為e。設它們在有交點的情況下的交點為M。下面對于這四種交點問題進行細致的探究。

（一）橢圓和雙曲線的長軸都在x軸上

當橢圓與雙曲線的長軸都在x軸上時又分為以下三種情況：當ad時，橢圓與雙曲線有四個交點，根據橢圓與雙曲線關于x軸、y軸對稱的性質，四個交點關于x軸、y軸對稱。所以可設在第一象限的交點為M1（x0，y0），第二象限內交點M2（-x0，y0），第三象限內交點M3（-x0，-y0），第四象限內交點M4（x0，-y0）。首先，聯立橢圓與雙曲線的方程解出橢圓和雙曲線的四個交點分別為M1（ad，be），M2（-ad，be），M3（-ad，- be），M4（ad，- be）。

（二）橢圓與雙曲線的長軸都在y軸上

當橢圓與雙曲線的長軸都在y軸上時又分為以下三種情況：當ad時，橢圓與雙曲線的圖像存在四個交點，交點存在對稱性，所以可設在第一象限的交點為M1（x0，y0），第二象限內交點M2（-x0，y0），第三象限內交點M3（-x0，-y0），第四象限內交點M4（x0，-y0）。根據交點情況，結合橢圓與雙曲線的方程得出橢圓和雙曲線的四個交點，分別為M1（be，ad），M2（-be，ad），M3（-be，- ad），M4（be，-ad）。

（三）橢圓的長軸在x軸上，雙曲線的交點在y軸上

橢圓的長軸在x軸上，雙曲線的交點在y軸上，兩者的位置關系同樣根據兩者的長短軸的關系分為三種情況：當bd時，橢圓與雙曲線的圖像存在四個交點，四個交點分別存在于第一、二、三、四象限內，設在第一象限的交點為M1（x0，y0），第二象限內交點M2（-x0，y0），第三象限內交點M3（-x0，-y0），第四象限內交點M4（x0，-y0）根據兩者的交點情況，結合橢圓與雙曲線的方程，聯立得出橢圓和雙曲線的四個交點為M1（ae，bd），M2（-ae，bd），M3（-ae，-bd）， M4（ae，-bd）。

（四）橢圓的長軸在y軸上，雙曲線的長軸在x軸

當橢圓的長軸在y軸上，雙曲線的長軸在x軸上時，兩者的位置關系同樣根據兩者的長短軸的關系分為三種情況：當bd時，橢圓與雙曲線的圖像有四個交點，我們仍然可以設在第一象限的交點為M1（x0，y0），第二象限內交點M2（-x0，y0），第三象限內交點M3（-x0，-y0），第四象限內交點M4（x0，-y0）（根據兩者的交點情況，結合橢圓與雙曲線的方程，聯立得出橢圓和雙曲線的四個交點為M1（bd，ae），M2（- bd，ae），M3（-bd，-ae）， M4（bd，- ae）。

二、結語

綜上所述，對于橢圓與雙曲線的交點問題是高中數學經常考察的內容，所以在遇到此類問題的時候一定要善于辨析，找出兩者的位置關系充分結合橢圓與雙曲線的圖形，對于不同情況下圖像的表示情況，結合兩者的方程，接觸問題，對于橢圓與雙曲線的交點問題，什么情況下有幾個交點，怎么根據具體的方程式解出答案都是值得仔細思考的，對于兩者的交點問題能夠在理解的基礎上，結合圖像，加強記憶，這樣對于很多涉及到橢圓與雙曲線交點的問題就能迎刃而解。

參考文獻：

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