理想流體的法拉第波模態

趙文定,王思慧,范周游,程恩澤，周惠君,高文莉

(南京大學 物理學院，江蘇 南京 210093)

理想流體的法拉第波模態

趙文定,王思慧,范周游,程恩澤，周惠君,高文莉

(南京大學 物理學院，江蘇 南京 210093)

研究了理想流體的法拉第波模態. 由法拉第波的振幅方程給出了穩定條件下的色散關系，利用參量共振方程得到了在亞簡諧條件下本征波矢的取值范圍. 引入幾何模型，在一定實驗條件下，可以簡單而直觀地預測模態及其花紋圖案. 解釋了不同模態的競爭情況，對比分析了相圖關系的理論預測結果,幾何模型的預測與實驗及理論計算結果相符合.

法拉第波；亞諧振；色散關系；Mathieu方程；幾何模型

法拉第波是日常生活中常見的現象，如圖1所示，當裝有液體的剛性容器受到垂直振動激勵時，在其自由液面上會產生出穩定的波紋形狀，這種現象被稱為法拉第現象[1]. 至今，人們對法拉第波，尤其是在理想流體下的法拉第波進行過多方面的研究.

圖1 法拉第波實驗現象

Rayleigh[2]做了類似的實驗，發現表面波的頻率是垂直激勵頻率一半，并發現與驅動參量有關，但是沒有給出數學上的解釋. 1954年，Benjanmin和Uresell共同給出了理想流體法拉第波在小振幅下的理論解析解[3]，他們從流體Eular 方程導出振幅公式，發現理想流體在小振幅的情況下滿足Mathieu方程，并指出表面波的響應頻率可能存在亞簡諧共振、簡諧共振、超諧共振等.

關于法拉第波的非線性行為，Gollub和Meyer[4]在實驗中很清晰地觀察到2個模式競爭的情況. Ockendon[5]從理論上研究了分岔結構，并且定性地研究了線性阻尼的影響. Miles[6]則提出在單模態下利用哈密頓函數表述和線性近似來求解法拉第波. Ciliberto和Gollub[7]為了解釋觀察到的混沌行為，提出了動力系統的振幅模型方程，并通過數值積分得到了具有周期或者混沌的解. 基于前人的工作Umeki 和Kambe[8]通過數值計算給出了相平面上的周期和混沌軌道. 未查到將激勵參量等條件和實空間中的波紋形狀聯系的文獻.

本文回顧了理想流體法拉第波的理論解，提出了法拉第波的色散關系，進而在亞簡諧條件下利用參量共振給出了本征值km的范圍. 提出用于預測法拉第波表面花紋形態的幾何模型，并且解釋了實驗中出現的多模態競爭現象. 我們認為：法拉第波的表面振動是由若干個本征振動疊加而成的，而且本征振動模態對應的本征值在參量共振允許范圍之內. 我們提出的幾何模型將本征波矢km和實空間下花紋圖案聯系起來. 通過對不同驅動參量下的實驗數據的定性分析，給出了關于參量頻率f、振幅A的相圖以及理論預測和實驗值的擬合圖像，實驗結果與理論預測結果基本符合.

1 理論分析

1.1 理想流體理論回顧

通常描述理想流體法拉第波的流體力學方程為[3]

γρ?2ξ?x2+?2ξ?y2+?φ?tz=0-[g-Fcos (Ωt)]ξ=0,

(1)

其中，g為重力加速度，Fcos (Ωt)為振臺垂直振動的加速度，ρ為液體密度，γ為表面張力系數，ξ為豎直方向上位移，φ為流勢. 對于圓柱容器，根據邊界條件可知，振幅方程可由貝塞爾函數Sl,m作為基底做無窮級展開：

ξ(x,y,t)=∑∞0al,m(t)Sl,m(x,y),

(2)

其中,l和m是本征值序數，為了簡化只使用m表示，x和y為平面坐標，t為時間，al,m為含時的調幅因子(后簡化寫為am)，Sl,m(x,y)是在邊界條件下確定的特征函數. 代入方程(1) 中可以得出對系數有如下要求:

(3)

其中,h為液體深度，km為用基底(如Bessel函數)表達振幅時對應的本征值.

本文重點研究亞簡諧下法拉第波的穩定性以及激勵參量與模態和波紋形狀的關系.

1.2 色散關系和本征模態

方程(2)中的Sl,m給出了法拉第波的本征模態，當實驗參量滿足該模態被激發的條件時，該模態被激發.

法拉第波出現穩定模態的色散關系應該不含時間項，由方程(3)可知對應的色散關系為

(4)

法拉第波中穩定模態與連續流體介質中的表面波具有相同的色散關系，因此波速為

(5)

波長為

λm=2πcω=2πkm.

(6)

式(4)～(6)給出了一定頻率的法拉第波對應的波長和波速，km具有波矢的意義.

當頻率和外激勵滿足一定條件時，本征模態會被激發，由此可以導出相應的花紋，以下從參量共振方程的穩定性出發，導出亞簡諧條件下法拉第波模態被激發的條件.

1.3 法拉第波的亞簡諧參量共振

為了描述法拉第波在外激勵下的響應，尤其是發生共振的條件，考慮時間響應，把方程(3) 改寫為

(7)

方程(7)具有Mathieu方程的形式，以下分析它描述的參量共振的條件[9].

從Mathieu方程的穩定性相圖分析中可知，該方程的解應該存在于不同的參量共振區域，即亞簡諧、簡諧或超簡諧共振. 在實驗中觀察到出現最多的是亞諧振情況，也就是說Ω=2ω0，同樣從理論預測中可以得到亞諧振的穩定區域將會大于諧振或超諧振區域，因此僅在亞諧振情況下求解該問題.

設Ω=2ω0+Δω(Δω?ω0)，代入式(7)， 得：

(8)

觀察式(8)，可以期望方程有如下形式的解:

am(t)=a(t)cosω0+12Δωt+

b(t)sinω0+12Δωt,

(9)

將式(9)代入式(8)中并利用和差化積公式得

cosω0+12Δωt+d2bdt2-bω0Δω-b12Δω2+

(10)

由于主要考慮亞諧振的情況，那么忽略3ω0+12Δω的部分以及二階小量，同時方程要求對于任意時刻t都成立，所以可以得到如下方程組：

12qω0-Δωa+2dbdt=0,

2dadt+12qω0-Δωb=0.

再將a=a0elt,b=b0elt代入方程組得到：

12qω0-Δωa0+2lb0=0,

2la0+12qω0-Δωb0=0.

若要a0和b0有非零解，要求

l2=1412qω02-(Δω)2,

(11)

l為實數，可知在亞簡諧下發生參量共振所要求的條件是

2ω0-12qω0<Ω<2ω0+12qω0.

(12)

f1(F,Ω)

(13)

由于式(13)沒有解析解，其數值解見圖2,2條曲線分別為km上下限隨頻率變化圖像，圓點分別為(3,10)(4,8)模態.

圖2 (13)式數值解

1個波矢km對應于1個本征模態的基底Sm,n. 由不等式(13)及圖2可得知在激勵參量F和Ω一定的條件下，波矢km的取值存在一定的范圍，所以一定條件下可能出現多模態共存現象. 例如，圓柱容器直徑D=10 cm，水深h=1 cm，激勵頻率f=34.8 Hz，振幅A=0.01 m，觀察到(m,n)=(3,10),(4,8)2種振動模態，如圖2所示，其本征函數Sm的本征值km分別為22.0和24.2. 由不等式(13) 解出的km范圍為22.4～24.8，實驗結果與理論預測范圍基本吻合.

實空間中觀察到的花紋是單個或多個本征振動模態疊加的結果，以下引入幾何模型以便直觀地表達法拉第波花紋和激勵條件等實驗參量之間的聯系.

1.4 法拉第波的幾何模型

根據式(2)，液體豎直方向位移包含2部分：隨時間變化調幅因子是am(t)，其空間分布由基底函數Sm,n(x,y)決定. 對于圓柱容器單模態，它的解是Bessel 方程相應的花紋圖案隨時間的振蕩調制. 因此可以通過模態的函數圖像得出實空間對稱軸和波峰個數等.

例如，在圓柱容器直徑D=4.6 cm，水深h=0.5 cm，頻率f=20 Hz條件下，對應解的本征函數是貝塞爾函數S1,3，其二維圖像如圖3所示，有3個對稱的波峰和波谷.

在圖3中液體的豎直方向上的位移高度是通過顏色來表示的，紅色說明高于水平面的波峰，而藍色則是低于水平面的波谷，深淺說明振幅大小. 在相同的條件下得到的實驗結果見圖3(c)，與理論預測結果一致.

(a)模擬波峰

(b)俯視圖

(c)實驗結果圖3 計算機模擬3個波峰及實驗結果

下面引入幾何模型，描述波峰的數量以及對稱性，同時推測一定條件下法拉第波呈現何種模態. 將km對應的波長為直徑的圓形作為波峰圓，Bessel函數在徑向上有m個零點，其間隔是波長，而在圓周方向上會以2π/n作周期重復，即在圓周方向上有n個波峰(n次旋轉軸). 因此可以假設波峰排布滿足以下規則：

1)排布方式圍繞中心有n次對稱軸.

2)每層的波峰個數相同.

3)在選取不同模態時盡可能滿足面積利用率較大，即波峰圓占據容器大部分面積.

根據容器直徑和波峰圓的面積可以計算出密排時的波峰個數N，N是實際波峰個數的上限. 按照軸向對稱性和徑向排布規則的要求，可以將N因數分解為滿足N≈m×n的若干組(m,n)，對應于可能出現的模態.

以圓柱容器中單層排布為例，如圖4所示，不同排布模式下排成1層所需要的最小容器直徑D是不同的，其滿排直徑分別為D3=43+63R,D4=4R,D5=4Rsin 3π10+2R,D6=6R，等等. 波峰圓半徑R為波長一半. 當排布直徑和容器直徑接近時，該模態將可能被觀察到.

(a)(1,3)模態 (b)(1,4)模態 (c)(1,5)模態圖4 單層情況下對于不同n值的排布直徑

對于多層排列，以S(2,6)為例，同樣符合上述規則，如圖5所示.

圖5 (2,6)模態的示意圖

當一定實驗條件下只存在1個模態時，該振動模態是穩定的. 如果同時存在多種模態，會出現模態之間競爭，甚至出現混沌.

2 實驗驗證

圖6是實驗裝置圖，包括振動平臺、連接PASCO 波形驅動器、盛放液體的圓柱容器. 在振臺上鑲嵌有鋼針，用于限位和測量振幅. 圖像由Casio 高速攝相機(EXZR 200)記錄.

(a)實驗裝置

(b)振臺與容器圖6 實驗儀器

2.1 單層下波峰個數

表1是根據幾何模型計算的波峰個數和實驗結果的對照. 考慮到不同對稱軸的情況下面積占用率是不同的，在計算時引入等效密排面積對容器面積做了修正:

S′=αS,

(14)

其修正系數α是多邊形與外接圓面積的比值. 表1表明:幾何模型預測的波峰數和實驗結果吻合.

表1 理論預測波峰個數N和實驗結果對比表

2.2 模態競爭與共存

在法拉第波的實驗中，經常有不同模態交替出現的情況，稱之為模態競爭現象，例如表1 中在激勵頻率為23 Hz 時，(1,6)和(1,8)模態共存. 接下來以實例對模態競爭情況進行分析.

(a)(3,10) (b)(4,8)圖7 f=34.8 Hz, A=1 cm時，交替出現(3,10)和 (4,8)模態的實驗圖像

實驗中，在振臺頻率f=34.8 Hz、振幅A=1 cm時,觀察到2個模態(3,10)和(4,8)交替出現(圖7). 由背景照射光反射規律，可以大致推斷出各個亮紋(亮度大約一致)所包圍的連通閉合區域構成1個波峰圓. (因為拍攝和入射光角度等原因，波峰圓的形狀有變形且明暗不一致.)

在實驗參量下，利用式(2)和(3)計算，同樣可以得到2個模態(3,10)和(4,8)的理論圖像(圖8)，與實驗圖像相符合.

(a)(3,10) (b)(4,8)圖8 (3,10)和(4,8)模態對應的計算模擬圖像

接下來驗證幾何模型，根據圖2給出的范圍推算出的可能波長，再按照幾何模型的規則預測模態，同樣可以得到2個模態(3,10)和(4,8)在該條件下存在. 在水深遠小于波長且激勵振幅較小時，同時忽略表面張力項，式(4)退化為淺水波公式，可以簡化對于法拉第波的描述方式.

圖9是改變激勵頻率和振幅得到的相圖，其中數據點是實驗結果，實線是理論計算結果，混沌和競爭沒有明確的分界，圖中的虛線是示意. 表明了2個模態各自單獨存在和共存的條件以及形式. 在頻率較小時出現穩定的(3,10)單模態，當頻率較大時(4,8)單模態穩定存在，在中間頻率段存在2個模態的競爭，且激勵振幅增大時會出現混沌現象.

圖9 (3,10)(4,8)模態對應的相圖

3 結束語

由法拉第波的振幅方程給出了穩定條件下的色散關系，利用參量共振方程得到了在亞簡諧條件下本征波矢km的取值范圍. 提出了幾何模型，在一定實驗條件下，可以簡單而直觀地預測模態及其花紋圖案，幾何模型的預測與實驗及理論計算結果相符合.

[1] Faraday M. On a peculiar class of acoustical figures; and on certain forms assumed by groups of particles upon vibrating elastic surfaces [J]. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 1831,121:299-340.

[2] Rayleigh L. XXXIII. on maintained vibrations [J]. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 1883,15(94):229-235.

[3] Benjamin T B, Ursell F. The stability of the plane free surface of a liquid in vertical periodic motion [J]. Proceedings of the Royal Society of London A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 1954,225(1163):505-515.

[4] Gollub J P, Meyer C W. Symmetry-breaking instabilities on a fluid surface [J]. Physica D: Nonlinear Phenomena, 1983,6(3):337-346.

[5] Ockendon J R, Ockendon H. Resonant surface waves [J]. Journal of Fluid Mechanics, 1973,59(2):397-413.

[6] Miles J W. Nonlinear faraday resonance [J]. Journal of Fluid Mechanics, 1984,146:285-302.

[7] Ciliberto S, Gollub J P. Chaotic mode competition in parametrically forced surface waves [J]. Journal of Fluid Mechanics, 1985,158:381-398.

[8] Umeki M, Kambe T. Nonlinear dynamics and chaos in parametrically excited surface waves [J]. Journal of the Physical Society of Japan, 1989,58(1):140-154.

[9] 梁昆淼. 理論力學(下冊)[M]. 3版. 北京：高等教育出版社,1992:176-178.

[責任編輯：任德香]

Vibrating modes of Faraday waves in ideal fluid

ZHAO Wen-ding, WANG Si-hui, FAN Zhou-you, CHEN En-ze, ZHOU Hui-jun, GAO Wen-li

(School of Physics, Nanjing University, Nanjing 210093, China)

The Faraday wave patterns and corresponding vibrating modes in ideal fluid were studied theoretically and experimentally. The dispersion relation had been got by deriving the amplitude equations of Faraday waves. The range of eigenvalue was also calculated based on the parametric resonance theory. To predict possible patterns in real space, a geometric model on the basis of experimental parameters was proposed, which could intuitively predict the different wave patterns and the conditions of mode competitions. The experimental phase diagram was also analyzed. A good agreement between the measured and theoretical results was obtained.

Faraday waves; sub-harmonic resonance; dispersion relation; Mathieu equations; geometric model

2016-05-29；修改日期：2016-09-01

南京大學國家級創新計劃(No.G201510284029)

趙文定(1995-)，男，上海人，南京大學物理學院2013級本科生.

指導教師：王思慧(1964-)，女，北京人，南京大學物理學院教授，博士，主要從事基礎物理理論與實驗教學研究.

O353

A

1005-4642(2017)01-0013-06

“第9屆全國高等學校物理實驗教學研討會” 論文