芻議將數學課堂交給學生

蔡軍軍

“把課堂還給學生”是葉瀾提出的理念.該理念主張把課堂還給學生，使課堂成為培養學生自我教育能力的最好場所，讓學生做學習的主人.然而有些教師的理解是，數學課堂上教師要敢于放手，讓學生去參與，甚至整堂課全部由學生來完成.當前，確實有幾所學校在這方面很成功，如杜郎口模式便是其一，但是很多學校做不到這一點，而且杜郎口模式重視教師在課堂上的主導作用.在課堂教學中，教師應該扮演怎樣的角色？師生關系應該是怎樣的？如何打造高效課堂？下面以“等比數列的前n項和”為例，淺談如何打造高效課堂.

某教學參考資料指出：“其一，問題都是探究數列的前n項和，給定一個等比數列，其前n項和就只與n有關（是關于n的函數），求出這個函數的關系式就是研究目標……其三，怎樣消項呢？等差數列的“倒序相加”能照搬嗎？不能（這點可以讓學生自己嘗試），又該怎樣辦呢？”事實上，等差數列與等比數列求和公式推導方法的數學本質是相同的，兩種求和方法只是一種運算技巧.不妨回顧兩種數列求和公式的推導方法進行對比分析：

等差數列求和公式的推導過程：

Sn=a1+a2+a3+…+an.①

Sn=an+an-1+an-2+…+a1.②

①+②得：2Sn=（a1+an）+（a2+an-1）+…+（an+a1）.

根據等差數列性質可得：a1+an=a2+an-1=…=an+a1.③

所以2Sn=n（a1+an）.故Sn=n（a1+an）2.

等比數列求和公式的推導過程：

Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1.④

④×q，可得qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn.⑤

由④-⑤得，（1-q）Sn=a1+0+0+…0n-1個0

-a1qn.⑥

當q≠1時，Sn=a1（1-qn）1-q.

不難發現，對Sn=a1+a2+a3+…+an求和，主要是處理帶省略號的一段，在③式中因為a1+an，a2+an-1，…an+a1，相等，即可求和，整體上處理了省略號.而在⑥式中因為出現了n-1個0，也從整體上成功地求出了和.可見，兩種推導方法從解決省略一段的方式是相同的，即都是把相同的數組成的數列求出和.這里相同的數組成的數列是如何構造的？從③、⑥式中不難看出，是數與數“配對”后通過兩個等式加、減而來，之所以能求出和，是因為通過“配對”將不同數的數列求和化歸為相同數的數列求和，即常數列求和.這樣，本質是轉化與化歸的思想方法，而“配對”只是這一數學本質的表現形式.所謂的“倒序相加法”和“錯位相減法”就有著相同的數學方法本質，即轉化與化歸的思想方法.這兩種方法本身不過是一種數列求和的運算技術而已，不必被推崇為方法，更不足稱為數學思想.這就解決了一直困擾不少教師的問題：為什么不能用類比等差數列求和公式的推導方法，啟發學生推導等比數列求和公式的難題？能否類比等差數列求和公式的推導方法（將不同數的數列求和轉化為相同數的數列求和，即常數列求和）來推證等比數列求和公式？適當引導后，“錯位相減”也將自然形成.這符合了先前所學知識為后面學習提供知識經驗的原理，貼近了學生的最近發展區.

另有教學參考資料指出：“……第二，教師應該清醒地認識到，學生的習題解答，其中大部分屬于模仿性操作.創造思維的培養是數學教學的高層次目標，但教師對學生的創造力不能估計過高，期望他們在新授課上、在短時間內做出驚人之舉是不現實的.第三，教師雖然歡迎學生提出問題，但鑒于知識和視野的局限，他們不可能提出新穎獨特、結構精巧、蘊涵深邃、功能豐富的精彩問題，而是要教師在課前精心編擬”.那么，將課堂交給學生的理念與培養學生的創造思維和提出有價值問題的能力是否相悖？實際上，在數學教學中，教師營造民主的教學氛圍，揭示數學的思維過程，并給學生認真思考和自主探索的時間，鼓勵學生主動參與，激發學生的求知欲，讓學生大膽質疑，提出問題，解決問題，能夠培養學生的創造思維和提出有價值問題的能力.

下面結合自己的教學實踐，提出推導等比數列前n項和公式的幾點想法，用以說明教師如何發揮主導作用，并尊重學生的主體地位，恰當地“將數學課堂交給學生”.

1.創設問題情境，激活學生的思維

數學課程標準指出，教師應注意創設情境，從具體實例出發，展現數學知識的發生、發展過程，使學生從中發現問題、提出問題，經歷數學的發現和創造過程，了解知識的來龍去脈.在“等比數列的前n項和”教學中，筆者創設問題情境：國際象棋起源于古代印度.關于國際象棋有這樣一個傳說：國王要獎賞國際象棋的發明者，問他想要什么.發明者說：“請您在這張棋盤的第1個小格內給1粒麥子，在第2個小格內給2粒，第3格內給4粒，依次類推，每個格子里放的麥粒數都是前一個格子里放的麥粒數的2倍，直到第64個格子為止.把這樣擺滿棋盤上所有64格的麥粒，都賞給您的仆人吧.”國王覺得這不是難辦的事，就欣然同意了他的要求.國王應該給發明者多少粒麥粒？國王有能力滿足發明者的要求嗎？通過數學史料，擴展學生的數學視野，提高學生對數學的科學價值、應用價值、文化價值的認識.

2.加強師生互動，引導學生自主探究

數學課程標準指出，教師是數學活動的合作者，是學生自主學習的引導者；教師要創造自由、輕松的課堂氣氛，引導學生主動參與數學活動.結合學生掌握知識的情況和本課特點，筆者設計如下推導公式的方案.

類比等差數列通項公式的推導.

對于等差數列，我們是這樣推導出通項公式的：

當n≥2時，有a2-a1=d，a3-a2=d，…，an-an-1=d.

將上面的n-1個等式的兩邊分別相加，得an-a1=（n-1）d（疊加法）.

而對于等比數列，根據定義有，a2a1=q，a3a2=q，a4a3=q，…，anan-1=q，即.a2=a1q，a3=a2q，a4=a3q，…，an=an-1q.

將上面的n-1個等式的兩邊分別相加，得a2+a3+…+an=（a1+a2+…+an-1）q.

觀察上式左右兩邊的特點發現，等式左邊加上a1等于Sn，等式右邊括號內加上an也等于Sn.于是有Sn=a1=（Sn-an）q，整理得（1-q）Sn=a1-anq.所以，當q≠1時，Sn=a1-anq1-q=a1-a1qn-1q1-q=a1（1-qn）1-q，當q=1時，Sn=na1.

3.加強學生的交流合作

每個學生都有發展的潛能，也都有各自的思維方式和解決問題的策略.要想把課堂交給學生，教師就應賦予學生更多的思考、動手、交流的空間和機會，使學生在合作交流和獨立思考的氛圍中學會傾聽、質疑、說服、推廣.在教學中，筆者嘗試讓學生分成小組就等比數列求和公式進行合作探究，提高了教學效果.

課堂簡錄：通過前面學習，我們理解了等比數列的定義，即an+1an=q（q≠0），掌握了等比數列的通項公式，即an=anqn-1.那么，如何探究等比數列前n項和，即Sn=a1+a2+a3+…+an=？（將全班學生分成4個小組進行交流合作）經過一段時間，第一個小組匯報，由Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1①，在①式左右兩邊同乘q，得qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn②，再由①-②得，（1-q）Sn=a1-a1qn.所以當q≠1時，Sn=a1（1-qn）1-q.第一小組是運用了錯位相減法.筆者給予肯定，指出課前預習是非常好的學習習慣.這時，第二個小組主動要求給出他們的推導方法：Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=a1+q（a1+a1q1+…+a1qn-2）=a1+qSn-1=a1+q（Sn-an）….筆者表揚了他們小組的成果，并指出這種方法實際上是構造了子母式.第三小組也不甘示弱，勇敢地站出來指出：Sn=a1+a2+a3+…+an=a2q+a3q+a4q+…+an+1q=（a1+a2+a3+…+an）-a1+anqq=Sn-a1+anqq….第三小組的方法與第二小組的方法本質一樣，殊途同歸.緊接著，第四小組介紹他們的方法：由a2a1=a3a2=a4a3=…=anan-1=q，結合比例關系中的等比性質得，a2+a3+a4+…+ana1+a2+a3+…+an-1=q，即Sn-a1Sn-an=q……第四小組的方法是回歸到等比數列的定義，新穎別致.

總之，將數學課堂交給學生，沒有絕對標準.只要符合學生的認知心理，就有積極意義.

參考文獻

渠東劍.啟發思維重于誘導結果[J].中學數學教學參考：上旬，2013（10）.

水菊芳，黃安成.我們不是課堂“神話”的締造者----“將課堂交給學生之我見” .中學數學教學參考：上旬，2013（12）.