高中數學解題教學模式的實踐

張福明

在高中數學教學中，教師對解題模式有自己的經驗，其中喻平教授根據不同的教學目標確定了四種解題教學模式：認知建構模式、自動化技能形成模式、模型建構模式、問題開放模式.下面結合自己的教學實踐談點體會.

一、認知建構模式

建構主義學習理論注重學生的主體地位，教師起促進作用.認知建構模式就是，在教學過程中，教師以提問題的形式，引導學生思考解題的方法，最后解答問題，從而使學生在已有的知識架構的基礎上主動建立新的認知架構.在認知建構中，學生要做的是主動收集和分析相關的信息資料，對所學的問題提出各種假設，并加以驗證.

例如，探討函數單調性與導數的關系.根據學生以往所學的函數的單調性知識，在學習導數的時候，引導學生將導數進行變形轉化成函數的等式，便可知道函數的單調性與導數之間的關系.

例1f（x）=x3+3x ，求該函數的單調性和單調區間.

解：因為f（x）=x3+3x，所以求導得 f′（x）=3x2+3.整理導數 f′（x）=3（x2+1）>0.因此f（x）=x3+3x在xeR上單調遞增.單調區間為（-∞，+∞）.

二、自動化技能形成模式

自動化技能形成模式是指學生經過“題海戰術”或大量練習后，對運算法則運用自如并將解題的技能內化，針對不同類型的題目有一個自覺自動的解題模式.

例如，利用等差數列的通項公式.在學習等差數列時，首先要進行公式的推導，再進行求和公式的推導an=a1+（n-1）d ，Sn=na1+n（n-1）d/2或Sn=n（a1+an）/2.得出通項公式后，將公式運用到題目中.

例2在等差數列{an}中，a1=21，a7=18，求公差d.

解：因為a7=a1+（7-1）d=21+6d=18，所以d=-12.

教師進一步舉例：在等差數列{an}中，已知a5=10，a12=31，求它的通項公式.

解：由an=a1+（n-1）d，得10=a1+4d31=a1+11d，解得a1=-2d=3.所以等差數列的通項公式為an=3n-5.

三、模型建構模式

模型建構是指，在解題時，學生通過建立數學模型，從模型中選取相應的知識點和策略解題.在應用模型建構模式時，教師可以通過生活中的現象對學生發問，引導學生以數學的思維方式解決數學題目，并呈現數學模型的建構圖樣，給出解題的答案和分析.

例如，在解有關幾何的體積或表面積的應用題時，可以將題目進行簡化理解，直接將實際應用問題轉化成空間幾何的圖形解決問題.

例3有一根長5cm，底面半徑為1cm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞4圈，并使鐵絲的兩個端點落在圓柱的同一母線的兩端，則鐵絲最短的長度為多少厘米？

分析：此時學生明顯可以確定數學模型的構建，直接畫出圖樣，將實際問題轉為幾何問題進行解決.

四、問題開放模式

問題開放模式是指，在教學中，教師以開放式的問題為背景.開放式的問題包括條件、結論等的開放，條件、結論等在一定的情況下可以是多樣的.問題開放式模式的教學，能夠使學生的思維更加發散、活躍，提高學生思考問題的角度.在應用這種教學模式時，教師可以根據所學知識創設問題情境，并提出多種假設.這些假設要與解題思維、解題思路有密切的聯系.

例如，反函數的應用.在講反函數時，教師往往應用問題開放式模式，尤其是條件的假設問題，從而提高學生的解題能力.

例4若函數f-1（x）為函數f（x）=lg（x+1）的反函數，求f-1（x）的值域.

分析：常規方法是先求出f（x）的反函數f-1（x）=10x-1，再求得f-1（x）的值域為（-1，+∞）.如利用性質1，f-1（x）的值域即f（x）的定義域，可得f-1（x）的值域為（-1，+∞）.然而從反函數的性質來分析，則可以換個角度思考.若是y=f-1（x）函數y=f（x）的反函數，則有f（a）=bf-1（b）=a.從整個函數圖象來考慮，是指y=f（x）與其反函數y=f-1（x）的圖象關于直線y=x對稱；從圖象上的點來說，是指若原函數過點（a，b），則其反函數必過點（b，a）.