初中數學幾何推理與圖形證明教學探討

溫澤萍

摘要：數學是中考的必考科目，幾何推理與圖形證明是中考的必考內容，主要考查學生分析問題和解決問題的能力，因此要引起師生的高度重視.科學有效的學習方法，對于幾何推理和圖形證明題至關重要.它含有很多技巧和規律.本文簡要介紹幾種常見的幾何推理和圖形證明方法，并提出優化教學的策略，希望能夠起到教學相長的作用.

關鍵詞：初中數學幾何推理圖形證明

作為九年義務教育中的基礎學科，數學強調學生的邏輯思維能力和應變能力，其成績的高低對于初中生來說尤為關鍵，甚至成為躋身重點高中的瓶頸，因此學習靈活有效的解題思路對于提高數學成績來說十分必要.幾何推理和圖形證明在中考中出現的頻率極高，因此要得到學生的高度重視.兩者將空間感和體積感相結合，不僅需要清晰的解題思路，還需要具備一定的想象能力.如果教師按照傳統的教學模式照本宣科，學生很難理解題目的深意，教學效率自然大打折扣.因此，幾何推理與圖形證明題，需要教師總結有效的解題思路和方法，并著重對學生的學習能力和邏輯能力進行培養，使學生做到舉一反三，巧妙應答.

一、初中數學幾何推理與圖形證明的常見方法

1.反證法

反證法，是初中數學幾何推理與圖形證明的基本論證方法.指的是，題目若順向思維解答困難時，不妨用逆向思維解答，有時候從反面入手，反而更加容易.簡單來說，就是當我們想證明一個命題為真時，先假設它的矛盾命題成立，然后進行演繹和推理，得出矛盾命題為假命題，從而證明命題為真.

例如，求證三角形中至少有一個角不大于60°，那么我們不妨假設△ABC的內角都大于60°，那么∠A+∠B+∠C>180°，因此假設不成立，因此三角形中必須至少有一個角小于等于60°.

由此可見，從命題的反面出發，有時候更容易解題.值得注意的是，教師既要注重對學生假設能力的培養，又要加強邏輯訓練，尤其是當題目中出現“至多”、“不多于”、“任何”、“無限多”等量詞時，應該格外注意真假命題之間的矛盾關系，以及學生對這種邏輯否定的正確表述.

2.面積法

面積法能夠有效解決很多類型的幾何推理和圖形證明題.最典型的例題，就是勾股定理中采用的面積割補法，還有的題在表面上看并不直接與面積有關，但等積變換后用面積法解答，可能更加簡易.

例如，點D和點E分別在△ABC的AC、AB邊上，BD、CE相交于O，△BOE、△BOC和△COD的面積分別是15、30和24，求AE∶BE的值.該題的已知條件是三角形的面積，那么我們可以利用平行線的關系來推導線段的比值.我們可以作一條與CE平行的輔助線DQ，與AB相交，因此OB∶OD=S△BOC∶S△COD=30∶24=5∶4.假設OE=m，OD=4m，因此OC=2m，OB=5m.因為DQ與CE平行，那么△BOE∽△BDF，△ADF∽△ACE.因此AF∶AE=DF∶CE，AE=52EF.故AE∶BE=2∶1.

由此可見，面積法可以使用面積關系代替題目中的幾何量，使問題更加直觀、具體.

3.綜合分析法

學生在進行幾何推理時往往有兩種固定模式，一是根據原因推結果，二是根據結果推原因.有的時候，幾何問題相對復雜 ，僅用一種推理難以解決問題，因此需要將這兩者結合起來.這就是綜合分析法.有時候，綜合分析會和幾何變換相結合，當已知條件中的幾何關系比較分散和隱晦時，就要求學生巧妙地對圖形進行變換，使分散的條件變得集中，從而使思路更加清晰.

二、初中數學幾何推理和圖形證明的教學策略

首先，巧用基本圖形.有的時候，學生會混淆幾何和代數之間的區別，這時只要巧妙地使用基本的幾何圖形就能找到解題辦法.有時，題目中出現的圖形較為復雜，可以將其分解為多個簡單圖形，如等邊三角形、平行四邊形、正方形等.這樣，幾何證明就變得簡單.

其次，正確使用輔助線.輔助線能夠幫助我們理清圖形之間的空間關系.在畫輔助線時，三角形一般從某個頂點出發，而立方體從空間出發.畫好輔助線后，要表明每一個新的線與面的名稱，為后續的推理作好準備.

綜上所述，幾何推理與圖形證明空間感較強的題目，解題過程充滿趣味和挑戰，以上方法能夠為幾何推理和圖形證明提供思路.熟練掌握各種方法與技巧，并活學活用，能夠理清題目間的隱含關系，以便準確解答，提高數學成績.