多周期信號(hào)的小波包方差分析方法

馬亞男，戴爾晗，陳 誠(chéng)

(南京郵電大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，江蘇 南京 210023)

多周期信號(hào)的小波包方差分析方法

馬亞男，戴爾晗，陳 誠(chéng)

(南京郵電大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，江蘇 南京 210023)

在多周期結(jié)構(gòu)分析中，最大重疊離散小波變換得到的信號(hào)周期具有明顯的局限性。在對(duì)比小波方差分析中，提出了用最大重疊離散小波包方差法分析不同尺度小波方差圖、功率譜，從而得到信號(hào)周期估計(jì)的最大值。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，對(duì)信號(hào)或時(shí)間序列周期結(jié)構(gòu)的分析是一種有效的方法，該方法可以準(zhǔn)確估計(jì)多周期信號(hào)的小波包方差。

功率譜；多周期；小波方差；小波包方差

0 引言

高分辨譜估計(jì)是信號(hào)處理中的一個(gè)熱點(diǎn)問題。一個(gè)信號(hào)的周期性結(jié)構(gòu)，在光譜分析中有兩種方法：FFT譜估計(jì)方法和現(xiàn)代譜估計(jì)方法。傳統(tǒng)的傅里葉變換方法只適用于平穩(wěn)信號(hào)分析，其分辨率是固定的。當(dāng)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度較短時(shí)，分辨率較低，且不能同時(shí)對(duì)高頻信號(hào)進(jìn)行分析。所以，在應(yīng)用程序中有很大的局限性[1]。近年來(lái)，一些研究人員提出了基于小波變換的現(xiàn)代譜估計(jì)方法，對(duì)頻率分辨率和估計(jì)精度有了較大的提高[2-3]。這些方法已逐漸被應(yīng)用于金融、氣象、水印、海洋、機(jī)械、醫(yī)療和電子信號(hào)處理領(lǐng)域[4-6]。信號(hào)周期旋轉(zhuǎn)后，功率譜的周期結(jié)構(gòu)發(fā)生變化[7-8]，因此，離散小波變換不能直接用于信號(hào)的周期結(jié)構(gòu)分析。

本文將基于MODWT小波方差有效地分析估計(jì)信號(hào)的頻譜，從而分析信號(hào)的周期結(jié)構(gòu)。DWT和MODWT有良好的低頻頻率分辨率,但有較低的高頻頻率分辨率；自然極大重疊離散小波包變換(MODWPT)被認(rèn)為具有更好的頻率分辨率，高頻率可取代MODWT。由于小波系數(shù)的突出優(yōu)勢(shì)和MODWT的縮放系數(shù)滿足平移不變性、各分解層保持相同的分辨率和無(wú)相位失真，MODWPT非常適合于非平穩(wěn)信號(hào)處理[9]。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，使用基于MODWPT的方法來(lái)仿真信號(hào)的周期性結(jié)構(gòu)具有良好的效果。

1 小波方差法

1.1 小波方差的定義

(1)

{Xt}基于尺度τj=2j-1的小波方差定義如下：

v2(τj)=var{Wj,t}

(2)

1.2 小波方差估計(jì)

(3)

(4)

其中Mj=N-Lj+1，且Lj是第j階等效小波或縮放濾波器的寬度。

2 小波包方差法

(5)

(6)

(7)

3 基于小波包方差周期結(jié)構(gòu)分析

下面有5個(gè)正弦周期模擬信號(hào)：

xt=sin(2×100πt)+sin(2×175πt)+sin(2×200πt)+sin(2×300πt)+sin(2×320πt)

(8)

頻率分別為f1=100 Hz，f2=175 Hz，f3=200 Hz，f4=300 Hz，f5=320 Hz。周期分別為T1=0.01 s，T2=0.005 7 s，T3=0.005 s，T4=0.003 3 s，T5=0.003 1 s。采樣周期為0.001 s，采樣點(diǎn)的數(shù)量是1 000。因此，該信號(hào)可以看作是一個(gè)離散時(shí)間序列。

式(8)中,xt是在MODWPT基礎(chǔ)上在τ8=28Δt=0.256 s的尺度下由db4小波分解了6層和8層進(jìn)行小波方差的估計(jì)。計(jì)算出頻率對(duì)應(yīng)于不同尺度的小波包的頻率區(qū)間。基于MODWPT的小波包方差圖如圖1(a)和(b)所示。圖1(a)表示尺度為0.064s的小波方差。圖1(b)表示尺度為0.256s的小波方差。

從圖1可以看到，小波方差圖可以分為5大峰，其頻率大致為100Hz、175Hz、200Hz、300Hz和320Hz。下一個(gè)峰值發(fā)生在最大峰值處。從圖1可以得出結(jié)論：分解層數(shù)增加，泄漏更嚴(yán)重。

圖1 小波包方差圖

圖2 小波包方差估計(jì)

有一個(gè)高頻信號(hào)如下：

xt=sin(2×20 000πt)+sin(2×20 500πt)

(9)

根據(jù)MODWPT采樣周期是0.000 01s和采樣點(diǎn)的數(shù)量為10 000，信號(hào)被分解為10個(gè)等級(jí)，小波包方差如圖3所示，實(shí)際尺度為τj=210Δt=0.010 24 s。對(duì)應(yīng)的兩大峰值的頻率分別為f1≈20 000 Hz,f2≈20 500 Hz。因此，小波包方差的方法可以有效地識(shí)別高頻信號(hào)周期結(jié)構(gòu)。

圖3 高頻信號(hào)的小波包方差圖

當(dāng)尺度較大時(shí)，觀測(cè)范圍內(nèi)的時(shí)間軸也較大。例如，一個(gè)低頻信號(hào)如下：

xt=sin(2×0.4πt)+sin(2×0.5πt)+sin(2×0.6πt)

(10)

采樣周期為0.5s，采樣點(diǎn)的數(shù)量是2 000。在MODWPT基礎(chǔ)上信號(hào)可以分解為5層，其中實(shí)際尺度τj=16 s，小波包方差圖如圖4所示。三大峰對(duì)應(yīng)的頻率分別為f1≈0.4 Hz,f2≈0.5 Hz,f3≈0.6 Hz。它表明，小波包方差的方法可以有效地識(shí)別低頻信號(hào)周期結(jié)構(gòu)。

圖4 低頻信號(hào)的小波包方差圖

基于MODWPT分析信號(hào)的小波包的變異時(shí)，理論上可以在低頻或高頻獲得高分辨率。但是由于小波變換的特殊性，當(dāng)尺度因子減小時(shí)，小波包的時(shí)域波形變小，這相當(dāng)于頻率域的波形變寬，意味著帶通濾波器更寬。如果減少了步長(zhǎng)因子，小波包方差圖不理想，原因是衰減很慢，并伴隨著泄漏。

4 結(jié)論

使用基于MODWT或MODWPT時(shí)間信號(hào)的多尺度分

析可以避免初始點(diǎn)和信號(hào)長(zhǎng)度的影響，而且還可以以不同的頻率有效地分解方差的序列。基于MODWT方法僅在低頻分析小波方差時(shí)有效，所以準(zhǔn)確性估計(jì)的程度是有限的。信號(hào)的低頻和高頻域可以分別基于MODWPT被分解，因此可以得到比MODWT更高的分辨率。這表明，小波包方差法能更準(zhǔn)確地估計(jì)多周期結(jié)構(gòu)。此外，也可以在噪聲信號(hào)的多周期結(jié)構(gòu)分析中使用基于小波包方差的方法。仿真結(jié)果表明，通過MODWPT分析小波包方差和功率譜，信號(hào)周期的頻率可以有效地估計(jì)。它提供了一種信號(hào)或序列的周期性結(jié)構(gòu)分析的有效方法。

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Wavelet packet variance analysis methods for multi-period signal

Ma Yanan,Dai Erhan,Chen Cheng

(School of Automation, Nanjing University of Posts and Telecommunications,Nanjing 210023, China)

In the multi-period structure analysis, the period of signal obtained by the maximal overlap discrete wavelet variance has significant limitations. In this paper, in contrast to the wavelet variance analysis, we present a method of maximal overlap discrete wavelet packet variance to analyze the variance diagram or power spectrum at different scales, and then obtain the period of signal by estimating the maximum value. Experimental results show that the method of wavelet packet variance can estimate the multi-period structure of the signal accurately. It is an effective method for signal or time series periodic structure analysis.

power spectrum; multi-period; wavelet variance; wavelet packet variance

TP216+.1

A

10.19358/j.issn.1674- 7720.2017.03.024

馬亞男，戴爾晗，陳誠(chéng).多周期信號(hào)的小波包方差分析方法[J].微型機(jī)與應(yīng)用，2017,36(3)：82-84.

2016-08-09)

馬亞男(1994-)，女，碩士研究生，主要研究方向：信號(hào)周期檢測(cè)。

戴爾晗(1973-)，男，碩士，副教授，主要研究方向：計(jì)算機(jī)，測(cè)控系統(tǒng)，電力電子。

陳誠(chéng)(1991-)，男，碩士研究生，主要研究方向：信號(hào)周期檢測(cè)。