Cantor四分集上的變換及其遍歷測度

王 芬， 張曉艷

(1.湖北第二師范學院 數學與經濟學院， 武漢 430205； 2.華中師范大學 數學與統計學學院， 武漢 430079)

Cantor四分集上的變換及其遍歷測度

王 芬1*， 張曉艷2

(1.湖北第二師范學院 數學與經濟學院， 武漢 430205； 2.華中師范大學 數學與統計學學院， 武漢 430079)

該文給出了Tα(x)=αx(mod 1)(α∈R+)是Cantor四分集T(4，{0，2})上的變換的充要條件：Tα為T(4，{0，2})上的變換當且僅當α=4n(n∈Z).并且研究了Tα的遍歷測度的存在性.

Cantor四分集； 不變測度； 遍歷測度

1研究背景

Cantor集是數學眾多領域的重要研究對象，尤其是在實分析、調和分析、分形幾何、動力系統等領域有著廣泛而深入的研究及應用，可參見文獻[1-6]. 本文主要研究Cantor四分集合上的變換及其遍歷測度.

1.1Cantor四分集

1.2不變測度與遍歷測度

定義1[7，8]設(X，T)是一個動力系統， (X，B，μ)是一個概率空間.如果?B∈B，有μ(B)=μ(T-1B)，則稱T:X→X是一個保測映射或μ是T不變的.

定義2[7，8]設(X，B，μ)是一個概率空間，T:X→X是一個保測映射.如果?B∈B且滿足T-1B=B，有μ(B)=0或1，則稱T是一個關于μ遍歷的映射或μ是關于T的一個遍歷測度.

本文將考慮對于哪些α∈R+，映射Tα(x)=αx(mod 1)(α∈R+)是Cantor四分集上的變換，并對相應Tα的遍歷測度的存在性進行了討論.

2主要結果

首先考慮對于哪些α∈R+，映射Tα(x)=αx(mod 1)(α∈R+)是Cantor四分集上的變換.

定理1Tα為T(4，{0，2})上的變換當且僅當α=4n(n∈Z)．

首先證明下面的引理：

證明由xk，yk∈{0，2}，知xk+yk的取值只有0，2，4三種情況.若存在k使得xk+yk=4，則記m=min{i:xi+yi=4，i≥1}，即xk+yk=0或2(k=1，2，…，m-1)，xm+ym=4. 所以

故?k≥1，xk+yk=0或2．

定理1的證明：

“?”當α=4n(n∈Z)時，下面證明?x∈T(4，{0，2})，Tα(x)∈T(4，{0，2})．

所以當α=4n(n∈Z)時，Tα為T(4，{0，2})上的變換.

2)若z≠0，則z≥1. 則z=4N·a-N+…+4·a-1+a0，a-N，…，a-1，a0∈{0，1，2，3}且N≥0，a-N≠0.下面進一步說明a-N，…，a-1，a0∈{0，2}．

這與條件矛盾，所以a-N，…，a-1，a0只能取0或2．

再由a-N≠0，知a-N=2，故

其中ai∈{0，2}，i=-(N-1)，…，-1，0，1，2，….

可以斷言：ai=0，?i∈{-(N-1)，…，-1，0，1，2，…}．

綜上所述，當Tα為T(4，{0，2})上的變換時，有α=4n(n∈Ζ).

最后討論變換Tα(α=4n，n∈Z)的遍歷測度.

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The transformations of Fourth-middle Cantor set and their ergodic measures

WANG Fen1， ZHANG Xiaoyan2

(1.School of Mathematics and Economics， Hubei University of Education， Wuhan 430205; 2.School of Mathematics and Statistics， Central China Normal University， Wuhan 430079)

In this paper， the sufficient and necessary condition is provided forTα(x)=αx(mod 1)(α∈R+) to be transformations of Fourth-Middle Cantor setT(4，{0，2})：TαisatransformationofT(4，{0，2})ifandonlyifα=4n(n∈Z). Then the existence of ergodic measures is considered．

Fourth-Middle Cantor set; invariant measure; ergodic measure

2016-11-01.

國家自然科學基金項目(11271148).

1000-1190(2017)02-0140-03

O171

A

*E-mail: 55421810@qq.com.