淺論求數列極限的方法

吉林師范大學 姜惠元

淺論求數列極限的方法

吉林師范大學 姜惠元

極限理論是數學分析中的核心理論，貫穿于數學分析的始末，并且在后續的相關學科中有著廣泛應用。本文對數列極限的相關問題進行研究，簡要列舉了求解不同類型的數列極限的相關方法。

數列極限；極限方法；求極限

極限概念在數學分析中是一個較為重要的數學概念，幾乎所有后續概念都是由極限概念完成相關定義的。數列極限又是極限思想的基礎，它在實際生活中的應用十分廣泛，在高等數學中有著重要的地位。

一、數列極限的基本理論

一般地，數列{xn}以a為極限的定義如下：設{xn}是一個數列，a是一個常數，如果對任意給定的正數ε，總存在某個自然數N，使得當n＞N時，都有|xn-a|＜ε，則稱數列{xn}當n趨向于無窮大時存在極限（或數列{xn}收斂），極限為a。記作或者xn→a（n→∞），這時也稱數列{xn}收斂于a。

二、求數列極限的方法

求解數列的極限是極限知識的基礎部分，也是高等數學學習的基石。本文主要列舉數列通項公式an的幾種簡單方式并進行分析，對求解數列極限提供方法。

1．數列{an}的一般項an為簡單解析式

當數列的一般項an的解析式給出時，我們可以先觀察其是否具備幾個解析式的四則運算關系，之后應用四則運算法則，從而求解。

其次，當{an}的一般式an為簡單解析式時，可以觀察解析式中是否含有已知的特殊形式的極限，應用特殊極限的相應數值進行代換，這樣的特殊極限也有很多，如

此類的特殊極限在計算過程中應用十分頻繁，應給予高度重視。

2．數列{an}的一般項具有遞推關系

當數列{an}的一般項an具有附近幾項的推理關系時，可以轉換為遞推關系的形式，應用單調有界定理或者應用數學歸納法來求解數列極限的相關問題。

解：容易看出，xn+1=應用數學歸納法。

設x=k時，xk＜xk+1（k為自然數）成立，因此2+xk＜2+xk+1，或者即xk+1＜xk+2（k為自然數）。因而，{xn}是嚴格單調遞增的數列。

下證{xn}有上界：當n=1時，有x1=＜2，

設n=k時，xk＜2成立，則有xk+1==2，由歸納法可知，對于有xn＜2，即數列{xn}有上界。

根據單調有界定理可知，數列{xn}收斂。

有a2=2+a，解此方程得a1=2，a2=-1。

但 由于xn＞0，根據極限的保號性定理可知a不能為負數。

極限概念有著深刻的思想性，它包含著事物的無限運動以及變化的過程，體現了從近似到精確、由量變到質變的辯證思維。極限方法是辯證法在數學上的應用，它解決了“曲與直”、“近似與精確”的矛盾，是客觀世界中由量變到質變的一種反映。本文介紹了數列極限的定義，對數列極限有了初步的認識，同時通過對簡單類型極限的研究，歸納了求解不同類型數列極限的相關方法。

[1]朱靜航．數學分析[M]．吉林：吉林教育出版社，1997．

[2]裴禮文．數學分析中的典型問題與方法[M]．北京：高等教育出版社，1993．

[3]徐桂芳，曹敏謙．高等數學[M]．上海：上海交通大學出版社，1987．

[4]孫彩虹．求數列極限的若干方法[J]．林區教學，2011（9）：91-92．

[5]胡輝．求解數列極限的特殊方法[J]．新校園上旬刊，2013（4）：11-14．