《空間向量與立體幾何》教材教學的建議

楊玉明

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）35-0110-01

《空間向量與立體幾何》是高中數學選修2-1的第三章內容，本章內容既是必修四《平面向量》在空間的推廣與引申，一些結論和定理在空間仍然成立，也是必修二《立體幾何》的初步延伸，空間向量為立體幾何在證明線線、線面、面面平行與垂直的證明，以及求解線線所成的角、線面所成的角、面面所成的角提供了一種運用向量或者坐標解決問題的方法和途徑。在《新課程標準》對本章內容明確提出：“通過本章的學習使學生在對已由平面向量的基礎上進一步學習空間向量并運用空間向量研究立體幾何中的問題，進一步體會向量方法在解決幾何問題中的作用。”

在江蘇高考中本模塊知識是江蘇高考理科學生選考的一個知識點。在江蘇高考中空間向量與立體幾何的知識是作為附件分40分中的一題，在試題中僅僅是以解答題的形式出現、主要考查是通過建系求線線所成的角、線面所成的角、面面所成的角等相關知識。高考大綱中要求如下：

本章教材在編寫方面在內容的章節安排上采取了與空間向量對應的方式、在例題的處理上也大同小異，在內容的安排、例題的選取與方法有一些不盡人意的得分，在對本章的教學中，教師要合理的運用教材、開發教材，在教材的使用上要注意以下兩點：

一、調整課時、合并內容、適當調整

《高中數學課程標準》上安排《平面向量與立體幾何》部分在課時上安排了12課時（其中包括小結與復習1課時），如下表，由于本教材在內容上是空間向量的延續。在課堂教學中針對江蘇高考的特點以及《高中數學新課程標準》并且再參考學生已由的知識的基礎上，我們對教材在內容安排上進行如下調整：如下表。其中前面的內容由于是在平面向量的基礎上的推廣與延伸，所以課時進行適當的壓縮，由于本章的重點與難點是空間向量的運用，重點是解決線線所成的角、線面所成的角、面面所成的角，所以在在內容安排上盡量多安排，安排了4課時比較合適。因此，對課時進行了如下調整：空間向量的特點、空間向量共線、共面的充要條件（1課時）空間向量的特點、空間向量共線、共面的充要條件（1課時）。空間向量的加法、減法及數乘運算、空間向量的坐標運算（1課時），空間向量的數量積（1課時），空間向量的共線與垂直（1課時），直線的方向向量與平面的法向量（1課時），空間向量的應用（4課時）。

二、瞄準高考、活用例題、注意通法

高考在本章的考查重點就是運用向量坐標的知識，解決立體幾何問題，因此，在本章的教學重點就是建系，轉化成點坐標的形式。因此，課堂教學中要圍繞這一中心。如2015年江蘇高考試題：如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四邊形ABCD為直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1.（1）求平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值。

解：以{，，}為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz，則各點的坐標為B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）。

（1）因為AD⊥平面PAB，所以是平面PAB的一個法向量，=（0，2，0）。

因為=（1，1，-2），=（0，2，-2），.設平面PCD的法向量為=（x，y，z），則·=0，·=0，即x+y-2z=02y-2z=0，令y=1，解得z=1，x=1，所以=（1，1，1）是平面PCD的一個法向量，從而cos<，>==，所以平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值為。

試題分析：本題主要考查運用建立空間坐標系的思想方法，運行坐標的知識解決平面與平面所成的角與異面直線所成的角等相關知識，這就是本章內容所考查的重點所在。

因此，在課堂的例題教學中，要把握住建系、表示點的基本思路。如在《空間的角的計算》一節中例1，在教材中例1給予了兩種解法。

例1 ：如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E1，F1分別在A1B1，C1D1上，且E1B1=A1B1，D1F1=D1C1，求BE1與DF1所成角的大小。

課本中給出了兩種解法，而解法1與解法2運用向量的數量積等知識，在本章中這種方法顯然是不恰當的，教師不妨運用建系的方法，這樣就更具有針對性。

解題過程：不妨設正方體的棱長為4.以{，，}為正交基底，建立空間直角坐標系，則各點的坐標為D（0，0，0），B（4，4，0），E1（4，3，4），F1（0，1，4），

所以=（0，-1，4），=（0，1，4），因此·=0×0+（-1）×1+4×4=15.

由cos<，>===.

可得異面直線BE1與DF1所成的角約為28.07度。