五級基準量表等腰三角正態分布計量公式

黃亮　劉立云　趙霖　黃曉勰

摘 要 量塊是幾何量計量領域里使用最廣泛和準確度較高的實物標志量具之一。它在五級基準量表等腰三角正態分布的計量中，作為幾何量塊實體能夠通過目測和最簡單的算術公式：X^2/12.5，就能以最快捷的計算方法，獲得最精確的正態分布函數值，其誤差為“0”。它是我國元朝數學家和教育家朱世杰（1299年）的偉大發現。

關鍵詞 量表 幾何量 等腰三角 正態分布 計量公式

中圖分類號：O212 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2016.11.019

1 五分等腰三角幾何量數學模型①

一個正方塊EFCB的四邊均等分為五等分，并連線構成5^2=25個均等的小正方塊，其中ABC為等腰三角則由12.5個均等的小方塊組成；再將一個小方塊均等分為四個小直角三角塊（圖1）；分別以小方塊和小直角三角塊為計量單位，計算它們的頻數、累加頻數、百分率、累加百分率、量表量、分辨率、總數、總量、均量、中位量等諸量之間的對應關系。②

2 目測量塊計量法

2.1 小正方量塊計量法

等腰三角ABC的面積：25個小方塊/2=12.5個小方塊；ABD和ACD為兩個對稱的大直角三角形面積：25個小方塊/4=6.25個小方塊。量表長度BC=2BD=2CD=5長度單位，BD=CD=2.5長度單位（圖1）。

BD長度2.5單位為量表變量（X），當量表數為0.5時，則0.5^2=0.25，即對應的等腰三角AB邊上的累加頻數為0.25（小正方塊），同理1^2=1（小正方塊），即對應的等腰三角AB邊上的累加頻數為1（小正方塊），1.5^2=2.25（小正方塊），2^2=4（小正方塊）、2.5^2=6.25（小正方塊）（圖1）。

等腰三角ABC中的正方塊數比為（1：3：4.5：3：1），正方塊的總數為12.5。

等腰三角BC 量表自然數1、2、3、4、5對應的百分率為1/12.5=8%、3/12.5=24%、4.5/12.5=36%、3/12.5=24%、1/12.5=8%。③

等腰三角BC量表自然數1、2、3、4、5對應的累加百分率為0、8%、32%、68%、92%、100%。

2.2 小直角三角量塊計量法

等腰三角ABC的面積：12.5個小方塊€？=50個小直角三角塊。ABD大直角三角面積：6.25€？=25（小直角三角塊）。

等腰三角ABC中的小直角三角塊數頻數比為“1：3：5：7：9：9：7：5：3：1”，小直角三角塊總數為50。

等腰三角BC量表自然數“0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10”對應的百分率為（0、1/50=2%、3/50=6%、5/50=10%、7/50=14%、9/50=18%、9/50=18%、7/50=14%、5/50=10%、3/50=6%、1/50=2%）；而對應的累加百分率則為（0、2%、8%、18%、32%、50%、68%、82%、92%、98%、100%）（圖2）。④

2.3 量表自然數平方量塊計量法

五級基準等腰三角正態分布左側直角三角累加百分率計量公式：

（X^2）/（（2X）^2/2）。 分子“X為直角三角底邊長度=0.5N”為變量（0-2.5），分母“2X=N=5”為常量。

量表自然數的平方/12.5=小方塊累加頻數/12.5=小直角三角塊累加頻數/50=等腰三角的累加百分率。例如0.1^2/12.5=08%，0.2^2/12.5=0.32%…0.9^2/12.5=6.48%，1.0^2/12.5=8%，1.1^2/12.5=9.68%，1.9^2/12.5=28.88%，2.0^2/12.5=32%，2.1^2/12.5=35.28%，2.4^2/12.5=46.08%，2.5^2/12.5=50%.

1^2/50=2%，2^2/50=4/50=8%，3^2/50=9/50=18%，4^2/12.5=16/50=32%，5^2/50=25/50=50%（圖2）。

五級基準等腰三角正態分布右側累加百分率計量公式：1- X^2/（（2X）^2/2）⑤

2.4 楊輝三角、累加三角、等腰三角和高斯標準正態分布比較（表1）

2^N 展開的二項式分布系數，當N=4時，其量表為5，幾何正方形量塊比為1：4：6：4：1=16

N^2 展開的累加數，當N=5時，其量表數為5，幾何正方形量塊比為1：3：4.5：3：1=12.5

N^2 展開的等腰三角當N=10時，其量表數為10，幾何直角三角量塊比為1：3：5：7：9：9：7：5：3：1=50

2.5 群體考試成績原始分五級百分標準化轉換

五分等腰三角正態分布量表五級分0、1、2、3、4、5對應的五級百分率分別為0、8%、24%、36%、24%、8%；而五分等腰三角正態分布量表五級百分50、60、70、80、90、100對應的五級累加百分率則為0、8%、32%、68%、92%、100%，前者是頻數定級（性）的閾值點，后者則是量表定分（量）的閾值點。

群體考試成績原始分從高分到低分排序，分別統計其頻數和累加百分率；根據原始分累加百分率，跨越閾值點的累加百分率分別定為原始分的閾值點；原始分的6個閾值點分別與等腰三角量表五級百分上的6個閾值點等值，代入標準化轉換公式：

（（X-L）/（H-L））*10+閾值 （X、H、L分別為原始分閾值區的變量分、上限分和下限分）。

例如，將X高級中學X班級三學科考試成績非正態分布的原始分，代入上述標準化轉換公式，轉換成可比的科學的中國古代的五級百分標準分。

始分，代入上述標準化轉換公式，轉換成可比的科學的中國古代的五級百分標準分。

3 結論

通過四種數學模型比較發現，楊輝三角、累加三角和等腰三角三種幾何量數學模型之間誤差較小，對原始分轉換成的標準分結果幾乎完全相同；高斯鐘形數學模型概率分布函數值則誤差較大；等腰三角計算公式是最簡單、直觀、快捷、精準的量塊計算公式；楊輝三角、累加三角和等腰三角都是封閉系統中量塊的計量方法，其誤差為“0”總和為“1”，它們都有明確的計量單位（量表）和計量基準（閾值區的百分比），有四個量變到質變的閾值點；而高斯鐘形面積則屬于開放系統，面積誤差趨于“0”，總和趨于“1”，沒有明確的計量單位和計量基準，沒有量變到質變的閾值點，是宏觀統計學，誤差較大，而且計算復雜。