微積分在概率論中的應用

趙麗姝

摘 要：微積分和概率論同是高等數學中的重要學科，也都屬于理工類課程中的必修課程。微積分作為理論基礎，能夠為高等數學專業的學生打下良好基礎，同時也是數學課程的重要工具。概率論是微積分學習的一項延續，通常大學課程都是先開設微積分課程，在此基礎上再開設概率論，因此，在微積分和概率論這兩門課程的學習上始終是被關注的重點，該文將從幾個方面闡述微積分在概率論中的應用，并舉例說明，以供參考。

關鍵詞：微積分 概率論 應用

中圖分類號：O1 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2016）10（b）-0176-02

在實際應用過程中，微積分是和實際應用聯合起來的，不僅在天文、力學、化學、生物、工程學、經濟學等自然學科中，在社會學和科學等各個分支的學科中都廣泛的應用，特別是在計算機中的使用更能夠不斷發展和拓展微積分的發展空間，使得微積分有著更加廣闊的發展空間，這些都將有助于微積分的發展。作為客觀世界的事物，小到粒子、大到宇宙，無時無刻不在變化著，在這變化的過程中引入變量概念，就可以用現象來描述數學了，在對于函數的概念和運用上也能夠再次加深，同時科技的發展也需要數學分支來進行幾何生產，這也就是微積分對這門課程的認識。

1 集合在概率論中的應用

集合和測度論兩者的關系直接形成概率論，在源和流的關系上又加速了概率論的形成。可以說概率論是由微積分加速形成的。概率論主要研究的東西是隨機的，在隨機試驗過后的結果可能不一樣，但是，將一樣的結果組合在一起就成為了集合，那也就是樣本空間，隨著關注的隨機事件越來越多，數學家就設計了集合，集合就能夠計算時間和使得集合的滲透速度也得到快速發展。

2 微積分在概率論中的應用

2.1 函數在概率論中的應用

（1）函數中的隨機事件。函數中的隨機事件是一個函數集合，在事件的整體發生上可以利用函數集合來展示。（2）從整體空間集合上來說，函數和實數在處理過程中是一個過渡過程，在整體的概率論中也是概率時代的典型，在這種概率上需要進行一個新的高度提升。（3）函數中的隨機變量實數通常是指分布函數，在函數的概率論中體現的是一個重要的函數概念，在取值整體規律中能夠具有很好的函數性質，可以在有界、單調的函數上進行連續，這幾種連續也有存在異常情況，在微積分中，大多數函數的性質都可以順利地進入概率論領域，在連續的隨機變量上概率的密度也能夠從概率論中取得另外一項重要的函數關系。從而能夠在概率和隨機的變量過程中將概率的密度和函數的分布歸納為一種，在這種函數的對應關系下，概率論的研究會越來越暢通，這對隨機變量的研究也會起到重要的指導作用。

2.2 微分和積分在概率論中的作用

函數隨機變量中最大的特點是連續性的概率密度，在與概率建立良好的關系后，函數的分布就能夠用統一的方法來表示，在連續點上能夠對上述的表達方式進行求導，即在概率論中的隨機變量問題能夠通過概率論來解決，這在微積分上屬于問題的傳輸，通過連續性的隨機變量能夠求得數學期望和方差。

2.3 微積分中計算方法在概率論中的應用

概率論的大部分問題都能夠通過微積分來進行處理和解決，在概率論中得到結果后應用在微積分的計算方法中，例如：

例1：設服從參數為的poisson分布，求其數學期望。

解法：利用微積分中特殊函數的展開式。

2.4 微積分在概率論中的其他應用

（1）函數的分布。在簡單的結論中，能夠嚴格證明函數用到微積分中的極限問題，但是在概率論中的大部分定律都會與中心極限定理產生作用，這也就是在微積分匯總出現的極限。（2）概率論分布點。通常在概率論中存在許多連續性的隨機變量函數，這在概率論的分布中是一個難點，如果能夠運用恰當可行的方式進行處理，那么就會讓復雜的問題簡單化。（3）特殊函數應用。通過微積分中的特殊函數來在概率論中體現，也能夠得到廣泛的應用，在函數的借用過程中都能夠通過概率論來得到分布。

3 微積分在概率論統計中應用舉例

例如：可以以N個朋友隨機圍繞圓桌就做，其中的兩個人是一定要坐在一起的概率是多少？或者將每個人都進行編號，例如：編號1，2，3，這3個人隨意地將書排列在書架上，那么只好有一本書從左到右進行排列，這樣排列的概率是多少？從5個人中任意的取數，可以將數字有序的抽取3個，那么在下列的事件概率中3個完全不同的數字和3個不含1和5的數字中抽取，剛好出現兩次3的概率和至少出現5的概率是多少。又如，利用獨立分布的中心極限定理求極限

例2：求證：當n→∞時，

證明：考慮隨機變量列{ξn}，ξn的分布是χ2（1），

則Eξn=1，Eξn2=3，Dξn=2，

所以，ξn服從中心極限定理，分布是χ2（n）。

注：數學分析中的復雜極限問題的證明和計算有的比較繁瑣，若用概率論的方法解決，可達到事半功倍的功效。

4 微積分在概率統計上的應用說明

假設在問題的說明上進行舉例，那么在教學舉例過程中就可以將講解的內容適當地進行引進，例如：引進一些小模型，這就能夠引導學生進行一個較為深入的分析，例如：在進行閉區間的講解上，就能夠容易連續地將3個定理函數進行討論，這就會相應的介紹一個數學模型，讓看似抽象和復雜的問題更加容易被學生理解，通過問題的講解，能夠使學生更好地體會到運用數學來解決實際問題，并且在解決問題的過程中發揮重要作用。然后根據所學教材中的相應理論知識，結合現實生活中的現象來進行問題討論，建立數學教學模型，能夠讓學生對新的數學教學概念更加容易理解。

隨著社會的進步和時代的發展，在素質教育備受關注的今天，作為高校數學教師，應有責任和義務對現行的數學教學模式進行探討和研究。例如：我們會經常運用到的評價模型，這對教師來說能夠舉例說明，這也是我們通過運用專家的隱性知識對系統進行重要性判斷，在不同的評審人員中，會對不同的影響因素進行分析，求同存異，這樣就能夠給不同的評審人員進行不同影響因素的判斷，從而為評審人員中給出結論的相似性和關聯性進行探討，也需要相似的程度進行矩陣計算，從而得出相似系統之間的結論。

5 結語

綜上所述，從微積分的發展來看，我國目前的數學微積分理論已經趨近于完善，我國數學研究者也是通過微積分來解決概率問題，利用微積分來解決問題能夠有效地推動數學學科發展，在概率論中的微積分能夠應用更加鮮明的理論來解決復雜問題，這就需要更多的數學工作者來發現解決辦法，從而讓兩者更好的發展。對于微積分函數和關聯上，數學分支和微積分建立的實數都應建立在函數和極限函數的基礎上，在極限概念微積分上能夠追溯到17世紀，并且將數學模型思想更好地引入了試點階段，采取比較常用的方式就是教師先進的建模任務，在之后進行相應的點評和示范，這樣才能夠讓微積分更好地在概率論中進行應用。

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