雙重Stone代數(shù)的核理想

趙秀蘭， 陳麗娟

(1.黃河科技學(xué)院數(shù)理部， 鄭州450063；2.河南工程學(xué)院理學(xué)院， 鄭州451191)

雙重Stone代數(shù)的核理想

趙秀蘭1， 陳麗娟2

(1.黃河科技學(xué)院數(shù)理部， 鄭州450063；2.河南工程學(xué)院理學(xué)院， 鄭州451191)

理想是研究Ockham代數(shù)類(lèi)結(jié)構(gòu)的一個(gè)重要工具，在雙重Stone代數(shù)上引入核理想的概念，構(gòu)造了核理想同余關(guān)系表達(dá)式，獲得了雙重Stone代數(shù)核理想判別定理。根據(jù)雙重Stone代數(shù)的運(yùn)算特征及主同余表示理論，獲得了核理想同余關(guān)系的若干等價(jià)表達(dá)式并證明了雙重Stone代數(shù)核理想與其同余關(guān)系是同構(gòu)的。所得結(jié)論為其它Ockham代數(shù)類(lèi)核理想性質(zhì)的研究提供了方法，豐富了Ockham代數(shù)的發(fā)展，為進(jìn)一步研究Ockham代數(shù)類(lèi)的代數(shù)結(jié)構(gòu)提供理論支持。

Stone代數(shù)；對(duì)偶Stone代數(shù)；雙重Stone代數(shù)；核理想；同余關(guān)系

Ockham代數(shù)[1]是定義在分配格上的一類(lèi)序代數(shù)，布爾代數(shù)、de Morgan代數(shù)、Stone代數(shù)、偽補(bǔ)代數(shù)等是Ockham代數(shù)的子代數(shù)。作為Stone代數(shù)、de Morgan代數(shù)的共同概括，Blyth引入MS代數(shù)[2]的概念，給出了MS代數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，獲得了MS代數(shù)主同余表示定理。在序代數(shù)結(jié)構(gòu)的研究中，常根據(jù)理想和濾子的性質(zhì)來(lái)反映序代數(shù)結(jié)構(gòu)。文獻(xiàn)[3-13]以理想與濾子為工具刻畫(huà)代數(shù)結(jié)構(gòu)。文獻(xiàn)[5]證明了PO代數(shù)類(lèi)上具有余核濾子的最小同余和最大同余。文獻(xiàn)[9]研究了平衡半擬補(bǔ)Ockham代數(shù)的余核濾子和稠密濾子的特征，并刻畫(huà)這些濾子的某些同余一致與同余凝聚性質(zhì)。文獻(xiàn)[10]分別就雙重偽補(bǔ)代數(shù)的假值理想、假值同余和幾乎偽補(bǔ)格的核理想與W-理想[11]給出了特征表示。本文將在此基礎(chǔ)上構(gòu)造雙重Stone代數(shù)核理想同余關(guān)系表達(dá)式，論證核理想與其同余關(guān)系之間的關(guān)聯(lián)性。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[1]設(shè)(L;∧,∨,0,1)是一個(gè)有界分配格，f是L上的一元運(yùn)算，若：

(1)?x,y∈L，f(x∧y)=f(x)∨f(y),f(x∨y)=f(x)∧f(y)

(2)f(0)=f(1),f(1)=f(0)則稱(chēng)(L;∧,∨,f,0,1)是一個(gè)Ockham代數(shù)(簡(jiǎn)記為O)。

一個(gè)偽補(bǔ)代數(shù)(L;∧,∨,*,0,1)，如果運(yùn)算*滿(mǎn)足條件:?x∈L,x*∨x**=1，稱(chēng)(L;∧,∨,*,0,1)為Stone代數(shù)。

定義3[1]設(shè)(L;∧,∨,0,1)是一個(gè)有界分配格，其上賦予兩個(gè)一元運(yùn)算*,+，并且(L;∨,∧,*)是Stone代數(shù)，(L;∨,∧,+)是對(duì)偶Stone代數(shù)，稱(chēng)(L;∨,∧,*,+)是一個(gè)雙重Stone代數(shù)。

引理1[1,14-15]設(shè)(L;∨,∧,*,+)是一個(gè)雙重Stone代數(shù)，任意的x,y∈L，則

(1)x*≤x+；

(2)x+*=x++≤x≤x**=x*+；

(3)0*=1,1*=0,x*=x***,0+=1,1+=0,x+=x+++；

(4)(x∧y)*=x*∨y*,(x∨y)*=x*∧y*；

(5)(x∧y)+=x+∨y+,(x∨y)+=x+∧y+；

(6)x*∨x**=1,x+∨x++=1。

定義4設(shè)(L;∨,∧,*,+)是一個(gè)雙重Stone代數(shù)，θ是L的格同余關(guān)系，若(x,y)∈θ(x*,y*)∈θ,(x+,y+)∈θ，則稱(chēng)θ是L的同余關(guān)系，符號(hào)ConL表示L的全體同余關(guān)系構(gòu)成的集合。

引理2[1]設(shè)(L;∨,∧,o,+)是一個(gè)雙重MS代數(shù)，a,b∈L,a≤b，則

θ(a,b)=θlat(a,b)∨θlat(bO,aO)∨θlat(aOO,bOO)∨θlat(b+,a+)∨θlat(a++,b++)

雙重Stone代數(shù)是雙重MS代數(shù)的子代數(shù)，故雙重Stone代數(shù)(L;∨,∧,*,+,0,1)的主同余關(guān)系式為：

θ(a,b)=θlat(a,b)∨θlat(b*,a*)∨θlat(a**,b**)∨θlat(b+,a+)∨θlat(a++,b++)

定義5設(shè)(L;∧,∨)是一個(gè)格，I是格L的子格，若x,y∈L，y≤x∈I總有y∈I，稱(chēng)子格I是格L的理想。

對(duì)偶地，F(xiàn)是格L的子格，若x,y∈L，y≥x∈F總有y∈F，稱(chēng)子格F是格L的濾子。

便于闡述，假定L是雙重Stone代數(shù)，a,b∈L,F?L，符號(hào)θ(a,b)和θlat(a,b)分別表示包含a,b的最小同余與最小格同余(即由a,b所生成的主同余和格主同余)，用θ(F)和θlat(F)分別表示包含F(xiàn)的最小同余與最小格同余(即由F所生成的主同余和格主同余)。

2 核理想的性質(zhì)

給出雙重Stone代數(shù)核理想判別定理。

定理1設(shè)(L;∨,∧,*,+,0,1)是一個(gè)雙重Stone代數(shù)，I是L的理想，則I是核理想的充要條件是(a∈L)a∈Ia**∈I。

證明充分性 若I是L的核理想，則存在φ∈ConL，使得I=Kerφ。設(shè)a∈I，故a≡0(φ)，從而a**≡0(φ)，所以a**∈I。

必要性 設(shè)a∈L,a∈I蘊(yùn)涵a**∈I。在L上定義一個(gè)等價(jià)關(guān)系δI：(x,y)∈δI(?i∈I)x∨i=y∨i。易得，δI是一個(gè)格同余。

現(xiàn)證δI∈ConL。設(shè)(x,y)∈δI，則存在i∈I，使得x∨i=y∨i。從而有

x*∧i*=y*∧i*，x+∧i+=y+∧i+

i**∨(x*∧i*)=i**∨(y*∧i*),i++∨(x+∧i+)=

i++∨(y+∧i+)

由引理1知，i*∨i**=1,i+∨i++=1，根據(jù)雙重Stone代數(shù)運(yùn)算的分配性可得i**∨x*=i**∨y*,i++∨x+=i++∨y+。在雙重Stone代數(shù)中，由引理1知，任意的x∈L,x++≤x≤x**，所以可得i**∨x+=i**∨y+。由題設(shè)知，i**∈I。所以(x*,y*)∈δI，(x+,y+)∈δI，因此δI∈ConL。

下證I=KerδI。設(shè)x∈KerδI，即(x,0)∈δI，則存在i∈I，使得x∨i=i，從而x≤i∈I，故x∈I，因此KerδI?I。另一方面，設(shè)i∈I，由題設(shè)知i**∈I。由引理1知，i≤i**，故i∈KerδI，從而有I?KerδI。所以I=KerδI。

設(shè)(L;∨,∧,*,+,0,1)是一個(gè)雙重Stone代數(shù)，由定理1知，δI∈ConL且I=KerδI，進(jìn)一步可得δI的其它性質(zhì)。記I(L)和KI(L)分別為L(zhǎng)的所有理想與所有核理想構(gòu)成的集合。I(L),KI(L)具有下列性質(zhì)。

推論1設(shè)(L;∨,∧,*,+,0,1)是一個(gè)雙重Stone代數(shù)，I,J∈KI(L)，則

(1)(?φ∈ConL)I=KerφδI≤φ;

(2)I≤JδI≤δJ。

(2)設(shè)I,J∈KI(L)，且I≤J。由δI,δJ的定義知，δI≤δJ。另一方面，若δI≤δJ，則KerδI≤KerδJ，又由定理1的證明知，I=KerδI,J=KerδJ,所以I≤J。

定理2KI(L)是I(L)的一個(gè)子格。

證明令I(lǐng),J∈KI(L)，下證I∧J,I∨J∈KI(L)。

設(shè)x∈I∧J，則x∈I,x∈J。又因I,J∈KI(L)，由定理1知，x**∈I且x**∈J。故x**∈I∧J，又由定理1知，I∧J∈KI(L)。令x∈I∨J，由文獻(xiàn)[16]知，存在i∈I及j∈J，使得x≤i∨j，從而x**≤i**∨j**。又因I,J∈KI(L)，所以由定理1知，i**∈I且j**∈J。因此x**∈I∨J。從而由定理1得I∨J∈Ik(L)。所以Ik(L)是I(L)的一個(gè)子格。

3 核理想的同余關(guān)系

定理3設(shè)(L;∨,∧,*,+,0,1)是一個(gè)雙重Stone代數(shù)，I是L的核理想，則θ(I)=θlat(I)∨θlat(FI)。

證明設(shè)a,b∈L且a≤b，由引理2知，

θ(a,b)=θlat(a,b)∨θlat(b*,a*)∨θlat(a**,b**)∨θlat(b+,a+)∨θlat(a++,b++)

由定理1知，a**,b**∈I，又因a++≤a,a+≥a*,b++≤b,b+≥b*，故a++,b++∈I,a*,b*,a+,b+∈FI,故

θlat(a,b),θlat(a**,b**),θlat(a++,b++)≤

θlat(I)，θlat(b*,a*),θlat(b+,a+)≤θlat(FI)

另一方面，易見(jiàn)θlat(I)≤θ(I)。設(shè)a,b∈FI且a≤b，由FI的定義知，存在c∈I，使得b≥a≥c*。又因(0,c)∈θ(I)，因此(c*,1)∈θ(I)，故(a∨c*,a∨1)∈θ(I)，(b∨c*,b∨1)∈θ(I)，從而有，(a,1)∈θ(I)，(b,1)∈θ(I),故得(a,b)∈θ(I)。

進(jìn)一步地，用另一種形式刻畫(huà)θ(I)。

定理4設(shè)(L;∨,∧,*,+,0,1)是一個(gè)雙重Stone代數(shù)，I是L的核理想，則

(x,y)∈θ(I)(?a,b∈I)(x∨a)∧b*=

(y∨a)∧b*

證明定義L上一個(gè)等價(jià)關(guān)系φ：

(x,y)∈φ(?a,b∈I)(x∨a)∧b*=

(y∨a)∧b*

易見(jiàn)，φ是一個(gè)格同余關(guān)系。

下證φ∈ConL。設(shè)(x,y)∈φ，則存在a,b∈I，使得(x∨a)∧b*=(y∨a)∧b*。故

(x*∧a*)∨b**=(y*∧a*)∨b**

(x+∧a+)∨b*+=(y+∧a+)∨b*+

根據(jù)運(yùn)算的分配性有，

(x*∨b**)∧(a*∨b**)=(y*∨b**)∧

(a*∨b**)

(x+∨b*+)∧(a+∨b*+)=(y+∨b*+)∧(a+∨b*+)

根據(jù)Stone代數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)有，a*=a***，a*∨b**=(a∧b*)*，且a∧b*≤a∈I，則a∧b*∈I。又因a+≥a*，故(a+∨b*+)∧a*=a*，因此(x+∨b*+)∧(a**)*=(y+∨b*+)∧(a**)*。又因I是L的核理想，由定理1知，a**,b**=b*+∈I，所以(x*,y*),(x+,y+)∈φ。因此φ∈ConL。

現(xiàn)證φ=θ(I)。設(shè)(x,y)∈φ，則存在a,b∈I，使得(x∨a)∧b*=(y∨a)∧b*。因?yàn)?a,0)∈θlat(I),(b*,1)∈θlat(FI)，所以(x,x∨a)∈θlat(I)，((x∨a)∧b*,x∨a)∈θlat(FI)，因此(x,(x∨a)∧b*)∈θlat(I)∨θlat(FI)。

同理可得，(y,(y∨a)∧b*)∈θlat(I)∨θlat(FI)。所以(x,y)∈θlat(I)∨θlat(FI)，即φ≤θlat(I)∨θlat(FI)，由定理3知，φ≤θ(I)。

另一方面，設(shè)(x,y)∈θ(I)=θlat(I)∨θlat(FI)，則存在x=x0,x1,...,xn-1=y且(xi,xi+1)∈θlat(I)或者(xi,xi+1)∈θlat(FI)(i=0,1,2,...,n-2)。

因此(x,y)∈φ，故θ(I)≤φ。定理得證。

推論2設(shè)(L;∨,∧,*,+,0,1)是一個(gè)雙重Stone代數(shù)，I是L的核理想，x,y∈L，則下列命題等價(jià)：

(1)(x,y)∈θ(I)；

(2)(?a∈I)x∨a=y∨a；

(3)(?a,b∈I)(x∨a)∧b*=(y∨a)∧b*。

證明易得，(2)(3)。由定理5得，(1)(3)。

下證(3)(2)。設(shè)存在a,b∈I，使得(x∨a)∧b*=(y∨a)∧b*。因此((x∨i)∧b*)∨b**=((y∨a)∧b*)∨b**。

根據(jù)Stone代數(shù)運(yùn)算的分配性及運(yùn)算性質(zhì)b*∨b**=1。所以x∨(a∨b**)=y∨(a∨b**)。又由定理1知，a,b**∈I，故a∨b**∈I，所以(2)成立。

定理5Ck(L)?KI(L)。

證明由δI的定義得，R{0}=ω(相等關(guān)系)及RL=ι(泛同余關(guān)系)。先證對(duì)任意的I,J∈KI(L)，有δI∧δJ=δI∧J。由定理2知，I∧J∈KI(L)。因?yàn)镮∧J≤I,I∧J≤J，故由推論1知，δI∧J≤δI,δI∧J≤δJ，所以δI∧J≤δI∧δJ。

設(shè)(x,y)∈δI∧δJ，由文獻(xiàn)[16]知，(x,y)∈δI且(x,y)∈δJ。因此存在i∈I,j∈J，使得x∨i=y∨i,x∨j=y∨j，于是有x∨(i∧j)=y∨(i∧j)，又因i∧j∈I∧J，所以(x,y)∈δI∧J。故δI∧δJ≤δI∧J。所以δI∧δJ=δI∧J。

下證若I,J∈KI(L)，有δI∨δJ=δI∨J。由定理2知，I∨J∈KI(L)。由于I∨J≥I,I∨J≥J，由推論1知，δI∨J≥δI,δI∨J≥δJ，所以δI∨J≥δI∨δJ。

設(shè)(x,y)∈δI∨J，則存在i∈I及i∈J，使得x∨i∨j=y∨i∨j，故

于是(x,y)∈δI∨δJ，因此δI∨J≤δI∨δJ，所以δI∨δJ=δI∨J。

由定理1的證明知，若δI=δJ當(dāng)且僅當(dāng)I=KerδI=KerδJ=J，從而映射I→δI建立起Ck(L)→KI(L)的對(duì)應(yīng)，所以Ck(L)?KI(L)。

3 結(jié)束語(yǔ)

理想是研究Ockham代數(shù)類(lèi)的結(jié)構(gòu)及同余關(guān)系的一個(gè)重要工具，特別是核理想，根據(jù)核理想的性質(zhì)特征，使人們對(duì)抽象的相關(guān)Ockham代數(shù)類(lèi)的結(jié)構(gòu)及同余關(guān)系有一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)，有助于了解雙重Stone代數(shù)的結(jié)構(gòu)，同時(shí)豐富了序代數(shù)結(jié)構(gòu)的研究。

[1]BLYTH T S,VARLET J C.Ockham algebras.Oxford:Oxford University Press,1994.

[2]BLYTH T S,VARLET J C.On a common abstraction of de Morgan algebras and Stone algebras.Proc.Roy.Soc.Edinburgh,1983,94A:301-308.

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[4]黎愛(ài)平,章書(shū)文.雙重stone代數(shù)的素理想與同余關(guān)系.上饒師范學(xué)院學(xué)報(bào),1999,19(6):12-15.

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[6]趙秀蘭,劉潔.偽補(bǔ)MS-代數(shù)的核理想與同余關(guān)系.江西師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2014,38(6):565-568.

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[11]王雷波,方捷.幾乎偽補(bǔ)格的核理想與W-理想.模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué),2012,26(1):61-66.

[12]牛超群,吳洪博.BRo代數(shù)中的*理想及其誘導(dǎo)的商代數(shù).江西師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2013,37(3):221-224.

[13]趙秀蘭,馬紅娟,初元紅,等.雙重半偽補(bǔ)de Morgan代數(shù)的濾子同余關(guān)系.模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué),2015,29(4):19-26.

[14]朱怡權(quán).雙重stone代數(shù)的主同余關(guān)系.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2006,22(4):520-525.

[15]陳杰.格論初步.呼和浩特:內(nèi)蒙古大學(xué)出版社,1990.

[16]GRATZER G.Lattice Theory.New York:W.H.Freeman and Company,1971.

The Kernel Ideal on Double Stone Algebras

ZHAOXiulan1,CHENLijuan2

(1.Department of Mathematics and Physics,Huanghe Science and Technology College, Zhengzhou 450063,China;2.College of Science，Henan Institute of Engineering,Zhengzhou 451191,China)

The concept of kernel ideal on double Stone algebras is introduced. The expression of ideal congruence is constructed and the discrimination theorem of the kernel ideal is obtained. According to the operational characteristics and the principal congruence representation theory of double Stone algebras, some equivalent expressions of the double Stone algebras are obtained. It is proved that the set of kernel ideal is isomorphic to the set of the congruences with the kernel ideal. Based on the conclusion, a method for the study of the properties of the other Ockham algebras is provided, and the theory of ordered algebraic structures is enriched.

Stone algebras; dual Stone algebras; double Stone algebras; kernel ideal; congruence

2016-12-20

國(guó)家自然科學(xué)基金(11302072)；河南省基礎(chǔ)與前沿技術(shù)研究(152300410129)

趙秀蘭(1982-)，女，河南商水人，副教授，碩士，主要從事格論與序代數(shù)結(jié)構(gòu)方面的研究，(E-mail)xiulanz@126.com

1673-1549(2017)01-0088-04

10.11863/j.suse.2017.01.17

O153.1

A