核級設備結構中基體夾雜界面應力計算分析

羅家成, 羅娟, 孫磊

(中國核動力研究設計院， 成都610213)

核級設備結構中基體夾雜界面應力計算分析

羅家成, 羅娟, 孫磊

(中國核動力研究設計院， 成都610213)

基于復變函數方法，研究了在反平面載荷下核級設備結構中基體夾雜界面應力分布。利用基體和夾雜在界面處的位移和應力連續邊界條件，推導得到含復應力函數系數的線性方程組，求解該方程組獲得基體和夾雜的界面應力。通過數值計算結果表明：夾雜形狀、基體與夾雜剪切模量比值對界面環向應力和界面徑向應力均有影響，為核級設備結構設計及工程應用提供理論參考。

彈性基體與夾雜；反平面問題；界面應力；復變函數方法

引言

在核級設備結構中，基體夾雜兩相結構如纖維增強、顆粒增強等彌散強化材料是一種應用廣泛的材料體系，例如燃料顆粒的單質碳化硅包覆層結構、內外層均為碳化硅纖維增強復合材料而中間為金屬層的包殼結構，以及金屬基體微封裝燃料和全陶瓷微封裝燃料等。由于引入了增強相，極大地提高了核級設備結構的性能，由包覆燃料顆粒彌散在陶瓷基體中構成的全陶瓷微封裝燃料，其碳化硅基體可提供超常的輻照穩定性、高熱導率以及熱力學穩定性。因此，對于這些基體夾雜結構的力學性能研究在核工程領域具有重要的理論及工程意義，其基體與夾雜兩相界面處的應力隨夾雜的形狀及材料性能的變化規律對于核級設備結構的設計及工程應用可提供參考。

事實上，基體夾雜問題一直是固體力學關注的熱點，自從Muskhelishvili[1]和Eshebly[2]關于橢圓夾雜和橢球夾雜的研究工作以來，關于基體夾雜的應力應變場研究已有許多成果。Gong和Meguid[3-4]研究了彈性橢圓夾雜在無限遠處受到反平面和平面載荷問題，給出了彈性場的解；Shen[5]等研究了具有非完全接觸界面橢圓夾雜的反平面問題；Gao和Noda[6]給出了壓電介質內任意形狀夾雜二維電彈性場的分析結果；利用邊界積分方程，Dong和Lo[7]分析了反平面載荷下夾雜和裂紋之間的相互作用，計算了單個及多個橢圓夾雜和裂紋作用下的應力強度因子；Karoui等[8]研究了不可壓縮超彈性兩相材料的反平面剪切問題，給出了兩相材料楔形頂點處彈性場的解；Chen[9-10]采用復變函數方法研究了橢圓夾雜以及共焦多層橢圓夾雜的Eshebly問題，推導出了本征應變的解。

以上研究一般采用級數展開法，給出基體和夾雜彈性體內的復應力函數，而對于界面應力分布并未給出詳細的計算分析。本文采用復變函數方法，引入Faber級數研究了在反平面載荷下的基體夾雜界面應力問題，利用界面應力和位移邊界條件獲得含基體和夾雜復應力函數系數的線性方程組，通過數值計算得到具有不同形狀夾雜的界面環向應力和界面徑向應力分布，分析了夾雜形狀和材料性能對界面應力的影響。

1 基本方程

圖1 基體含任意形狀夾雜示意圖

(1)

τ13-iτ23=φ′(z)

(2)

(3)

利用在邊界Γ上的應力和位移邊界條件可以求解得到φ(z)，進而可以獲得基體和夾雜邊界上的界面應力。

2 問題求解

對于圖1 所示問題，由于在邊界Γ上基體S1和夾雜S2完全接觸，由應力和位移連續可得：

(4)

(5)

其中，μ=G2/G1，φ1(z)和φ2(z)分別為S1和S2內的未知復應力函數。

引入保角映射函數[1]：

(6)

式(6)將邊界Γ外部S1區域保角映射到ζ平面上單位圓L1的外部，將ζ平面上的區域分別記為Ω1和Ω2，如圖2 所示，其中R和mn為不同形狀夾雜的系數。

圖2 保角映射示意圖

在ζ平面上，將z=ω(ζ)代入式(4)和式(5)，則可以得到：

(7)

(8)

在區域Ω1和Ω2內的復應力函數分別可以表示為：

φ1(ω(ζ))=Bω(ζ)+φ10(ζ)

(9)

(10)

其中，

(11)

(12)

Pk(ω(ζ))為Faber級數[11]：

(13)

式中βk,n可由以下遞推公式求得[11]：

β1,n=mn

(14)

(15)

將φ1(ω(ζ))和φ2(ω(ζ))代入式(7)和式(8)，并令ζ=eiθ=σ，可得：

(16)

(17)

將φ10(σ),φ2(σ),ω(σ)代入(17)式，并比較等式兩邊σ±k(k≥1)的系數，整理可得：

(18)

(19)

(20)

(21)

3 數值計算與分析

對于基體中含一圓形夾雜，保角映射函數可以表示為[12]：

z=ω(ζ)=Rζ

(22)

其中，R=a為圓形夾雜的半徑。

圖3 和圖4 分別為圓形夾雜的界面徑向應力和界面環向應力曲線，與文獻[3]結果一致。圓形夾雜界面徑向應力隨著夾雜和基體剪切模量之比K的逐漸增大而遞增，而界面環向應力隨著剪切模量之比K的逐漸增大而減小。硬夾雜的界面徑向應力大于軟夾雜的界面徑向應力，而硬夾雜的界面環向應力小于軟夾雜的界面環向應力。

圖3 圓形夾雜界面徑向應力曲線

圖4 圓形夾雜界面環向應力曲線

對于基體中含一橢圓形夾雜，保角映射函數可以表示為[12]：

z=ω(ζ)=R(ζ+mζ-1)

(23)

橢圓形夾雜的界面徑向應力和界面環向應力曲線如圖5 和圖6 所示。硬夾雜的界面徑向應力大于軟夾雜的界面徑向應力，并隨著剪切模量之比K的逐漸增大而遞增。界面環向應力與界面徑向應力變化趨勢相反，即硬夾雜的界面環向應力小于軟夾雜的界面環向應力，且隨著K增大而減小。

圖5 橢圓夾雜界面徑向應力曲線

圖6 橢圓夾雜界面環向應力曲線

對于無限基體中含一正方形夾雜，保角映射函數可以表示為[12]：

(24)

其中，R=3a/5，a為正方形的邊長。

圖7 和圖8 分別為正方形夾雜的界面徑向應力和界面環向應力曲線。與圓形夾雜類似，硬夾雜界面徑向應力大于軟夾雜的界面徑向應力并隨著K遞增，而硬夾雜的界面環向應力小于軟夾雜的界面環向應力并隨著K遞減。界面徑向應力和界面環向應力在正方形夾雜四個尖角處具有明顯的應力集中。

圖7 正方形夾雜界面徑向應力曲線

圖8 正方形夾雜界面環向應力曲線

對于無限基體中含一等邊三角形夾雜，保角映射函數可以表示為[12]：

(25)

其中，R=3a/5，a為三角形的邊長。

圖9 和圖10 分別為三角形夾雜的界面徑向應力和界面環向應力曲線。界面應力隨K的變化與圓形夾雜類似，同樣硬夾雜界面徑向應力大于軟夾雜，而硬夾雜的界面環向應力小于軟夾雜的界面環向應力。三角形夾雜界面徑向應力和界面環向應力在三個尖角處具有明顯的應力集中，其中界面徑向應力在0度角上應力最大，大于其他兩個角；而界面環向應力在0度角上應力為零，應力集中在120度和240度角上。

對于具有其他任意形狀的夾雜，只要給出公式(6)表征夾雜形狀的保角映射函數，均可通過數值方法計算得到基體和夾雜的界面應力。

圖9 三角形夾雜界面徑向應力曲線

圖10 三角形夾雜界面環向應力曲線

4 結束語

采用復變函數方法對基體含任意形狀夾雜的界面應力進行了分析，通過數值計算表明：界面徑向應力隨著剪切模量之比的增大而遞增，界面環向應力隨著剪切模量之比的增大而遞減；硬夾雜的界面徑向應力大于軟夾雜的界面徑向應力，而硬夾雜的界面環向應力小于軟夾雜的界面環向應力；正方形和三角形夾雜的界面應力在夾雜尖角上具有應力集中。本文的數值計算方法可為核級設備結構設計及工程應用中的界面應力分析提供一定的參考。

[1]MUSKHELISHVILI N I.Some basic problems of the mathematical theory of elasticity.Groningen:Noordhoff Ltd,1975.

[2]ESHELBY J D.The elastic field outside an ellipsoidal inclusion.Proc R Soc Lond A,1959,252:561-569.

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[12]SAVIN G N.Stress concentration around holes.London:Pergamon Press,1961.

Numerical Analysis of Interface Stresses Between Matrix and Inclusion in the Structure of Nuclear Equipment

LUOJiacheng,LUOJuan,SUNLei

(Nuclear Power Institute of China, Chengdu 610213, China)

Based on the complex method, the interface stresses between matrix and inclusion in nuclear equipment under antiplane loadings are analyzed. By using the displacement and stress continuous conditions on the interface, the linear equations containing all the unknown coefficients of the complex potential are derived. Through numerical solving, the complex potentials and interface stresses of matrix and inclusion are finally obtained. It is found by the numerical calculation that the geometry and the shear modulus ratio of the matrix and inclusion both have influences on the interface radial and hoop stress, which can be a reference for the design and engineering application of the structure of nuclear equipment.

elastic matrix and inclusion; antiplane problem; interfacial stress; complex potential method

2016-03-31

羅家成(1984-),男,四川彭州人,助理研究員,博士,主要從事反應堆結構力學方面的研究,(E-mail)ljcnuaa@126.com

1673-1549(2017)01-0055-05

10.11863/j.suse.2017.01.10

O343

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