三角形相似的解法與技巧

牟杰

一、相似三角形常見類型

對于幾何題，只要條件稍加變化，或者圖形稍作改動，就會成為一個新的題目，但若能抓住要點，進行歸納分類，就能抓準其中解答的關鍵，從而理清思路，簡化證明的步驟。

相似三角形常見基本類型有：平行型、斜交型、垂直型和旋轉型四類.針對不同類型，在解答時應掌握以下幾種常見思路：

1.平行型：條件中若有平行線，可直接得兩三角型相似，如沒有平行線，可添加平行線，構造平行型相似三角形。

例1：如圖，DE//BC，則△ABC∽△ADE

2.斜交型：條件中若有一對角相等，可考慮在找一對角相等，應用相似三角形方法1（兩角對應相等的兩個三角形相似），或找等角的夾邊對應成比例，應用相似三角形的方法3（兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似）。

例2：

如圖，若∠1=∠B，或∠2=∠ACB，則△ABC∽△ACD（或△ABC∽△ADE）

3.垂直型：若有一對直角出現在條件中，可考慮再找一對等角，使用方法1；或者證明斜邊、直角邊對應成比例.

例3：

如圖（1），AB⊥AC，AD⊥BC，則△ABD∽△CBA∽△CAD；

如圖（2），AB⊥AC，ED⊥BC，則△ABC∽△DEC

4、旋轉型：條件中若有兩邊對應成比例，可尋找夾角相等，應用相似三角形的方法3，常見于旋轉型題目中；或設法證明第三對邊與其他兩邊對應成比例，應用相似三角形方法2（三邊對應成比例的兩個三角形相似）.

例4：如圖，∠1=∠2，∠3=∠4，則△ABD∽△ACE.

解：（略）

對于上述基本圖形，在不同題目中盡管可采用不同方法，

但其中的思考方式是完全一致的.

二、相似三角形探索試題舉例

在近幾年的中考試題中，出現了很多有關相似三角形的探索試題，現整理幾例，供學習.

1.數一數

例1：如圖，銳角△ABC的高CD和BE交于點O，

圖中與△ODB相似的三角形的個數是（ ）

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

分析：圖中的∠A=∠BOD=∠COE，因此與△ODB相似的三角形有△ABE、△COE、△ACD，答案為（C）.

2.想一想

例2：將兩塊完全相同的等腰直角三角板擺放成如圖的樣子，假設圖形中的所有點、線都在同一平面內，回答下列問題：

（1）圖中共有多少個三角形？

（2）圖中有相似三角形嗎？如果有，把它們一一寫出來.

解：（1）圖中共有7個三角形

（2）圖中有相似三角形.

∵△ABC、△AFG都是等腰直角三角形，

∴∠B=∠DAE=∠C=45°，

∵∠ADC=∠EDA，∴△BAE∽△ADE，

同理可得：△BAE∽△CDA、△ADE∽△CDA.

3.截一截

例3：點P是△ABC中AB邊上的一點，過點P作直線（不與直線AB重合）截△ABC，使截得的三角形與原三角形相似，滿足這樣條件的直線最多有 條。

解：如圖所示，滿足條件的直線共有四條。

4.填一填

例4：如圖，∠1=∠2，請補充條件：

（寫出一個即可），使△ABC∽△ADE.

分析：∵∠1=∠2，∴∠EAD=∠BAC，

則當∠B=∠D或∠C=∠E或時，

都可以使△ABC∽△ADE.

5.找一找

例5：如圖，已知△ABC、△DEF均為正三角形，D、E分別在AB、AC上，請找出一個與△DBE相似的三角形并證明.

分析：△ECH與△DBE相似.理由如下：

∵△ABC、△DEF為正三角形，∴∠B=∠C=∠DEF=60°，

∴∠BDE+∠BED=120°，∠CEH+∠BED=120°，

∴∠BDE=∠CEH，∴△ECH∽△DBE.

注意：除了△ECH外，圖中△ADG、△FHG也與△DBE相似.