函數定義域的相關問題

許飄勇

摘 要：變量數學反映了運動變化的思想，它是近代數學的核心思想即函數的思想，那么自變量的范圍即整個函數的定義域就顯得至關重要了，因為它是研究一切函數性質的基礎。

關鍵詞：函數 自變量 定義域

函數作為高中數學的主要知識之一，連接整個高中數學的始終，。在平時的教學中，應注重函數的定義域的作用和影響，并且能夠培養學生嚴密的數學邏輯思維。

一、函數關系式與定義域

函數關系式包括定義域和對應法則，所以在求函數的關系式時必須要考慮所求函數關系式的定義域，否則所求函數關系式可能是錯誤。如：

例1：某一個近似等腰三角形的梯田周長為40，其中底邊長為y，腰長為x，試寫出該三角形的底邊長y與腰長x的函數關系式？

解：由題意得：，故函數關系式為：.

最后我們還應補上自變量的范圍：

即：函數關系式為： （）

二、函數奇偶性與定義域

判斷函數的奇偶性，應先考慮該函數的定義域區間是否關于坐標原點成中心對稱，如果定義域區間是關于坐標原點不成中心對稱，則函數就無奇偶性可談。否則要用奇偶性定義加以判斷。例2：判斷函數的奇偶性.

解：∵

∴ 定義域區間[-2，4]關于坐標原點不對稱

∴ 函數是非奇非偶函數.

整個的解答過程體現了嚴密的數學邏輯思維。但是如果學生不注意函數定義域，那么判斷函數的奇偶性得出如下錯誤結論：

∵

∴ 函數是奇函數.

三、函數單調性與定義域

函數單調性是指函數在給定的定義域區間上函數自變量增加時，函數值隨著增減的情況，所以討論函數單調性必須在給定的定義域區間上進行。如：

例3：指出函數的單調區間.

解：先求定義域：

∵

∴

∴ 函數定義域為.

令，知在上時，u為減函數，

在上時， u為增函數。

又∵.

∴函數在上是減函數，在上是增函數。

即函數的單調遞增區間，單調遞減區間是。

四、函數最值與定義域

函數的最值是指函數在給定的定義域區間上能否取到最大（小）值的問題。如果不注意定義域，將會導致最值的錯誤。如：

例4：求函數在[-2，5]上的最值.

解：∵

∴ 當時，

初看結論，本題似乎沒有最大值，只有最小值。產生這種錯誤的根源在于學生是按照求二次函數最值的思路，而沒有注意到已知條件發生變化。這是思維呆板性的一種表現，也說明學生思維缺乏靈活性。這個例子說明，在函數定義域受到限制時，若能注意定義域的取值范圍對函數最值的影響，并在解題過程中加以注意，便體現出學生思維的靈活性。

五、函數值域與定義域

函數的值域是該函數全體函數值的集合，當定義域和對應法則確定，函數值也隨之而定。因此在求函數值域時，應注意函數定義域。如：

例5：求函數的值域.

錯解：令

∴

故所求的函數值域是.

剖析：經換元后，應有，而函數在[0，+∞）上是增函數，所以當t=0時，ymin=11. 故所求的函數值域是[11， +∞）。

以上例子說明，變量的允許值范圍是何等的重要，若能發現變量隱含的取值范圍，精細地檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯誤結果的產生。也就是說，學生若能在解好題目后，檢驗已經得到的結果，善于找出和改正自己的錯誤，善于精細地檢查思維過程，便體現出良好的思維批判性。

綜上所述，在求解函數函數關系式、單調性、奇偶性、最值（值域）等問題中，若能精細地檢查思維過程，思辨函數定義域有無改變（指對定義域為R來說），對解題結果有無影響，就能提高學生質疑辨析能力，有利于培養學生的思維品質，從而不斷提高學生思維能力，進而有利于培養學生思維的創造性。