函數(shù)定義域的相關(guān)問題

許飄勇

摘 要：變量數(shù)學(xué)反映了運動變化的思想，它是近代數(shù)學(xué)的核心思想即函數(shù)的思想，那么自變量的范圍即整個函數(shù)的定義域就顯得至關(guān)重要了，因為它是研究一切函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：函數(shù) 自變量 定義域

函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的主要知識之一，連接整個高中數(shù)學(xué)的始終，。在平時的教學(xué)中，應(yīng)注重函數(shù)的定義域的作用和影響，并且能夠培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的數(shù)學(xué)邏輯思維。

一、函數(shù)關(guān)系式與定義域

函數(shù)關(guān)系式包括定義域和對應(yīng)法則，所以在求函數(shù)的關(guān)系式時必須要考慮所求函數(shù)關(guān)系式的定義域，否則所求函數(shù)關(guān)系式可能是錯誤。如：

例1：某一個近似等腰三角形的梯田周長為40，其中底邊長為y，腰長為x，試寫出該三角形的底邊長y與腰長x的函數(shù)關(guān)系式？

解：由題意得：，故函數(shù)關(guān)系式為：.

最后我們還應(yīng)補上自變量的范圍：

即：函數(shù)關(guān)系式為： （）

二、函數(shù)奇偶性與定義域

判斷函數(shù)的奇偶性，應(yīng)先考慮該函數(shù)的定義域區(qū)間是否關(guān)于坐標(biāo)原點成中心對稱，如果定義域區(qū)間是關(guān)于坐標(biāo)原點不成中心對稱，則函數(shù)就無奇偶性可談。否則要用奇偶性定義加以判斷。例2：判斷函數(shù)的奇偶性.

解：∵

∴ 定義域區(qū)間[-2，4]關(guān)于坐標(biāo)原點不對稱

∴ 函數(shù)是非奇非偶函數(shù).

整個的解答過程體現(xiàn)了嚴(yán)密的數(shù)學(xué)邏輯思維。但是如果學(xué)生不注意函數(shù)定義域，那么判斷函數(shù)的奇偶性得出如下錯誤結(jié)論：

∵

∴ 函數(shù)是奇函數(shù).

三、函數(shù)單調(diào)性與定義域

函數(shù)單調(diào)性是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上函數(shù)自變量增加時，函數(shù)值隨著增減的情況，所以討論函數(shù)單調(diào)性必須在給定的定義域區(qū)間上進行。如：

例3：指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

解：先求定義域：

∵

∴

∴ 函數(shù)定義域為.

令，知在上時，u為減函數(shù)，

在上時， u為增函數(shù)。

又∵.

∴函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。

即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間是。

四、函數(shù)最值與定義域

函數(shù)的最值是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上能否取到最大（小）值的問題。如果不注意定義域，將會導(dǎo)致最值的錯誤。如：

例4：求函數(shù)在[-2，5]上的最值.

解：∵

∴ 當(dāng)時，

初看結(jié)論，本題似乎沒有最大值，只有最小值。產(chǎn)生這種錯誤的根源在于學(xué)生是按照求二次函數(shù)最值的思路，而沒有注意到已知條件發(fā)生變化。這是思維呆板性的一種表現(xiàn)，也說明學(xué)生思維缺乏靈活性。這個例子說明，在函數(shù)定義域受到限制時，若能注意定義域的取值范圍對函數(shù)最值的影響，并在解題過程中加以注意，便體現(xiàn)出學(xué)生思維的靈活性。

五、函數(shù)值域與定義域

函數(shù)的值域是該函數(shù)全體函數(shù)值的集合，當(dāng)定義域和對應(yīng)法則確定，函數(shù)值也隨之而定。因此在求函數(shù)值域時，應(yīng)注意函數(shù)定義域。如：

例5：求函數(shù)的值域.

錯解：令

∴

故所求的函數(shù)值域是.

剖析：經(jīng)換元后，應(yīng)有，而函數(shù)在[0，+∞）上是增函數(shù)，所以當(dāng)t=0時，ymin=11. 故所求的函數(shù)值域是[11， +∞）。

以上例子說明，變量的允許值范圍是何等的重要，若能發(fā)現(xiàn)變量隱含的取值范圍，精細(xì)地檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯誤結(jié)果的產(chǎn)生。也就是說，學(xué)生若能在解好題目后，檢驗已經(jīng)得到的結(jié)果，善于找出和改正自己的錯誤，善于精細(xì)地檢查思維過程，便體現(xiàn)出良好的思維批判性。

綜上所述，在求解函數(shù)函數(shù)關(guān)系式、單調(diào)性、奇偶性、最值（值域）等問題中，若能精細(xì)地檢查思維過程，思辨函數(shù)定義域有無改變（指對定義域為R來說），對解題結(jié)果有無影響，就能提高學(xué)生質(zhì)疑辨析能力，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，從而不斷提高學(xué)生思維能力，進而有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性。