側掃聲吶圖像統計特性研究*

霍冠英， 劉 靜， 李慶武

(1.河海大學 物聯網工程學院，江蘇 常州 213022；2.常州市傳感網與環境感知重點實驗室，江蘇 常州 213022)

側掃聲吶圖像統計特性研究*

霍冠英1,2， 劉 靜1， 李慶武1,2

(1.河海大學 物聯網工程學院，江蘇 常州 213022；2.常州市傳感網與環境感知重點實驗室，江蘇 常州 213022)

在分析側掃聲吶成像的散射模型基礎上，給出了海底混響服從瑞利分布的理論依據。分析了其它典型概率分布的合理性并給出了各概率分布參數的估計方法。通過實驗來檢驗比較幾種典型的概率分布的最佳擬合。實驗結果表明:總體來看，威布爾分布更為精確，但瑞利分布仍保持了較好的擬合特性。特別是當底質粗糙、混響較強時，使用瑞利分布和威布爾分布相當。這一研究結果可為側掃聲吶圖像的底質分割提供重要依據。

側掃聲吶； 海底混響； 瑞利分布； 威布爾分布； 底質分割

0 引 言

海底底質分析對海洋科學、海洋產業及軍事應用均具有重要意義。當前主要有兩種方法實現海底底質分析：一種是基于海底的聲學數據進行分析，另一種是基于側掃聲吶圖像及多波束數據的海底底質分析[1]。側掃聲吶在對海底掃描成像時，除了可能發現目標外，主要是得到大面積的海底混響區的圖像。海底的起伏不平整、表面的粗糙度及存在于海底附近的各種散射體對聲波的散射作用，形成了海底混響[2]。在對側掃聲吶圖像進行分析時，研究并建模海底混響區的統計特性可以為目標檢測、底質分類奠定基礎。文獻[3]對海底回波數據的分析表明，對數正態分布能夠更好地統計擬合。文獻[4]給出了K分布的物理解釋。文獻[5]提出了廣義K分布，并采用不同的分布對不同底質的側掃聲吶圖像進行擬合，得出廣義K分布最有效的結論。文獻[6]指出威布爾分布比瑞利分布更為準確。文獻[7]比較了Gamma分布、瑞利分布與威布爾分布，指出Gamma分布更為有效。

在分析聲吶成像的散射模型基礎上，首先給出海底混響服從瑞利分布的理論依據；然后分析了其它概率分布的合理性并給出了各概率分布參數的估計方法；最后通過充分的實驗來檢驗比較現有的幾種典型的概率分布的最佳擬合，以為選擇合適的概率統計分布提供充分的參考。

1 散射模型與瑞利分布

側掃聲吶成像時，其發射的聲波遇到目標、海底、海面等發生反射、散射，海洋中有大量的散射體，入射聲波照射到散射體上的時間也有先后，因而，所有的散射波不是都在同一時刻到達接收器，對于側掃聲吶，主要考慮海底散射，忽略所有二次以上的散射，根據Middleton提出的海底混響模型[3]，設聲源發射的脈沖信號為s(t)，其復數形式為|s0(t)|exp(jψ(t))，那么t時刻的混響為

exp[j(ω0(t-tn)+ψ(t-tn)+ψn)]

(1)

式中 g(rn)為位于rn處的每個散射微元ΔVn中散射體的數目，是取值為0或者1的隨機變量；|αn|為每個散射體對應的散射系數αn的幅度；ψn為散射系數αn的相位；f(rn)為散射微元ΔVn中散射體的散射回波的雙程傳播衰減因子；tn為回波到達的時刻；ω0為發射信號中心角頻率；N為對t時刻有貢獻的散射微元的總數；g(rn),|αn|,ψn相互獨立。將X(t)表示為實部、虛部之和為

X(t)=R(t)+jI(t)

(2)

從而有

cos[ω0(t-tn)+ψ(t-tn)+ψn]

(3)

sin[ω0(t-tn)+ψ(t-tn)+ψn]

(4)

假設Vn(t)表示第n個散射體的瞬時幅值，φ表示第n個散射體的瞬時相位值，即

Vn(t)=g(rn)f(rn)|αn||s0(t-tn)|

(5)

φn(t)=ω0(t-tn)+ψ(t-tn)+ψn

(6)

則可得

(7)

(8)

對隨機相位散射體來說，Vn(t)和φn(t)為相互獨立的隨機變量，其中，φn(t)可認為在0～2π之間均勻分布[8]。因此，可得

(9)

(10)

(11)

式中 α為瑞利分布的衰減參數。考慮到接收機的增益，混響的平均值可能發生改變。基于這一點，仍保留瑞利分布，引入偏移量m，由此得到了平移瑞利分布，其概率密度函數為

(12)

2 其他概率分布模型

2.1 K分布與Gamma分布

如果單位分辨率單元中的散射體數目不夠多，那么單位時間內到達接收點的散射聲信號數目較少，使得混響向右偏離瑞利分布；另外，接收混響時，可能還會有個別強的散射分量或有規分量參與其中。如果散射元數目由隨機過程的產生、消失和變遷控制，那么散射元數目N的統計特性將服從負二項分布，這種情況下強度與幅度均服從K分布，而不是根據中心極限定理得出的指數分布(幅度為瑞利分布)[10,11]。K分布的概率密度函數如下所示

(13)

式中 v為形狀參數，b為尺度參數，Γ(·)為Gamma函數，U(·)為單位階躍函數，Kv-1(·) 為第二類v-1階修正貝塞爾函數。N個像素上的對數似然函數為

(14)

式(14)最后一項的偏導數沒有精確的解析形式，因此不能推導出最大似然估計，只能通過對v和b的數字搜索尋找似然函數的最大值，相應的v和b即是極大似然估計值。采用非線性矩估計，首先定義關系函數

(15)

式中 D為X均值的平方和X方差的比值，由樣本均值和樣本方差求解

(16)

求出D之后，反向求解g得到形狀參數v為

(17)

可由Newton-Raphson迭代通過D反向求解v，v大于1時，也可由下式近似求解

(18)

求出v之后，可由二階矩關系求解得到尺度參數b，如下式所示

(19)

盡管學者們提出了很多K分布參數的估計方法，但K分布參數的精確估計仍是研究的難點和熱點[12,13]。另外，由于聲吶圖像的海底混響區往往非常接近瑞利分布(底質散射體往往固定不動，數目較多且較少發生改變)，這導致v→∞(此時K分布趨于瑞利分布)，v值過大不僅會造成參數估計的偏差急劇增大，也會經常造成參數溢出無法求解，而雷達中的高分辨率低擦地角地雜波的v取值通常則在-0.8

Gamma分布和K分布形式相似，可作為K分布的很好的近似，但與K分布不同的是，Gamma分布又具有參數估計簡單、匹配范圍非常寬的優點。其定義如下

(20)

式中 α,β分別為形狀參數和尺度參數，Γ(·)為Gamma函數。當形狀參數較大時，Gamma分布趨于正態分布。

對于Gamma分布，采用矩估計和最大似然估計結果非常接近，由于后者求解非常復雜，采用矩估計，如下所示

(21)

式中 m1與m2分別代表一階矩和二階矩。

2.2 對數正態分布

對數正態分布是一種能夠較好地擬合海底混響區的統計特性的經驗概率密度函數，定義如下

(22)

式中 μ,σ2分別為對數正態分布的均值和方差。由于實際回波數據有可能出現為0的情況，然而，式(22)的定義域并不包含0，給其擬合數據帶來了困難，將其修改為

(23)

式中 為避免出現0值，ε為預先選定的小常數，實驗中取為10-3。對數正態分布式(23)對應的對數似然函數為

(24)

由此可得到μ,σ2的最大似然估計

(25)

2.3 威布爾分布

威布爾分布也是一種經驗分布，分為兩參數威布爾分布和三參數威布爾分布，聲吶圖像較多采用三參數威布爾分布

(26)

式中 c和b分別為形狀參數和尺度參數，m為偏移量，對于威布爾分布，形狀參數c為2時，對應瑞利分布，形狀參數c為1時，對應負指數分布；威布爾分布的自由度較高，是一種具有較好適應性的經驗概率模型。在威布爾分布參數求解上，文獻[14]給出了一種較為簡單的最大似然求解方法

(27)

(28)

(29)

3 各概率分布模型的擬合實驗結果比較

圖1給出了不同底質類型的原始側掃聲吶圖像，來自Klein3900等聲吶設備。

圖1 不同底質類型的側掃聲吶圖像

采用K分布進行擬合時，由于v值過大，很多情況下無法得到參數值，因此,不再給出K分布的擬合結果(采用權威文獻[13]附錄的代碼對聲吶圖像進行K分布統計擬合，可證實這一點)。此處給出了瑞利分布、Gamma分布、對數正態分布、威布爾分布的擬合結果，各種分布與歸一化直方圖的對比曲線如圖2所示。其中Gamma分布的參數估計采用式(21)，對數正態分布的參數估計采用式(25)，威布爾分布的參數估計采用式(27)～式(29)，瑞利分布的參數估計采用下式

(30)

圖2 各概率分布模型對圖1中各底質圖的擬合曲線對比

采用Kolmogorov距離準則對擬合結果進行定量評價，結果如表1所示，最佳擬合用加粗表示。Kolmogorov距離準則的評估函數定義如下

(31)

式中 h(i)為用于比較的聲吶圖像的歸一化直方圖；p(i)為各分布模型擬合得到的概率密度函數，L為側掃聲吶圖像的灰度級，值為256。

從表1和圖2可以看出，由于樣本的底質類型不同，各種分布均可能取得最佳擬合。綜合考慮，有以下結論：

表1 基于Kolmogorov距離準則的各概率分布模型的擬合誤差比較

1)威布爾分布總體最優，擬合誤差的均值和方差均為最小，同Gamma分布相比，其不僅具有形狀參數和尺度參數的自由度，還引入了平移參數，因此，具有更多的靈活性，能夠取得更好的擬合效果。

2)Gamma分布總體次優，和威布爾分布較為接近。由于Gamma分布同正態分布的內在聯系，使其在平整的細沙海底擬合時較其他分布稍具優勢(此時散射體數目較少，單個散射體的作用得以突顯，混響較小，瑞利分布向右偏向高斯分布)。

3)瑞利分布對砂礫和植被的擬合優于Gamma分布，對平整的細沙海底擬合稍差，同Gamma分布相比，擬合誤差均值和方差略大一點，雖然沒有形狀參數，但瑞利分布仍然保持了比較好的擬合特性，充分說明了海底散射模型假設的合理性。

4)對數正態分布稍差于瑞利分布，當圖像的0值點較多時，擬合誤差會稍微偏大，這也導致擬合誤差均值和方差偏大。

5)總體來看，幾種概率分布模型均能夠比較好地擬合不同底質的海底混響，差異較小。從計算角度來講，威布爾分布參數估計最為復雜，需要迭代求解；Gamma分布的Gamma函數計算稍復雜；瑞利分布和對數正態分布則均具有參數估計簡單和概率計算便捷的優勢。

4 結 論

實驗結果表明:威布爾分布最精確，但瑞利分布仍保持了較好的擬合特性，稍次于Gamma分布，總體優于對數正態分布，這就從事實上證明了海底散射模型的合理性。特別是當底質粗糙、混響較強時，使用瑞利分布和威布爾分布相當，但其具有參數求解簡單、計算代價小、計算效率高的優勢。

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Study of statistical characteristics of sidescan sonar image*

HUO Guan-ying1,2， LIU Jing1， LI Qing-wu1,2

(1.College of Internet of Things Engineering,Hohai University,Changzhou 213022,China;2.Changzhou Key Laboratory of Sensor Networks and Environmental Sensing,Changzhou 213022,China)

On the basis of analysis on scattering model of sidescan sonar imaging,theoretical basis for the Rayleigh distribution of seafloor reverberation is given.The rationality of other typical probability distributions is analyzed,and the methods for parameter estimating of the mentioned probability distributions are given.The best fitting of several typical probability distributions are tested and compared by experiments.The experimental results show that the Weibull distribution is generally more accurate, and the Rayleigh distribution still has a good fitting characteristic.The research results can provide an important basis for seabed segmentation of sidescan sonar images.

sidescan sonar; seafloor reverberation; Rayleigh distribution; Weibull distribution; seabed segmentation

10.13873/J.1000—9787(2017)03—0025—04

2017—01—16

國家自然科學基金資助項目 (41306089)；江蘇省自然科學基金資助項目(BK20130240)

TN 911

A

1000—9787(2017)03—0025—04

霍冠英(1979-)，男，通訊作者，博士，副教授，主要從事聲吶圖像處理研究工作，E—mail:huoguanying@163.com。