概念教學：有效源于“精致”

周云霞

數學概念是構成抽象數學知識的“細胞”，是數學邏輯的起點，也是學生認知和思維的基礎。學生對概念的理解并非單純的外部作用的結果，每個人對概念的理解都是個性化的，是學生思維過程的產物，認知心理學把這一過程稱為“精致”的過程。概念教學的“精致”過程，實際上就是追求對概念內涵和外延的深加工，追求對概念的主動習得和整體把握。在教學中，教師要充分利用學生已有的日常概念，不斷豐富概念意象，幫助學生形成概念網絡，促使學生的數學概念從模糊走向清晰，從淺顯走向深刻，從樸素走向精致。

一、利用日常概念。，讓概念從模糊走向清晰

學生不是一張白紙，他們不是一無所知地走進數學課堂，在日常生活中，他們建立了自己對客觀世界的理解，形成了許多日常概念。這些日常概念是學生的日常生活經驗在感性層次上的概括，并成為他們今后學習科學概念的出發點。我們要充分了解學生已有認知的特點，分析和改造日常概念，凸顯概念本質，讓模糊的日常概念逐步清晰、穩定。

1.突破已有認知，精心改造淺顯的日常概念

日常概念是學生的日常生活經驗在感性層次上的概括，是無意識的認知，有時學生自己也解釋不清。我們要積極利用它，發揮它的實踐性、淺顯性、通俗性等特點，充分利用日常概念的有用成分，使學生在建立科學概念時借助經驗事實，讓其變得容易理解。

如學習“角”的概念之前，很多學生會把生活中立體事物中的“角（角落）”與平面圖形的“角”混為一談，為了幫助學生建立正確的“角”的概念，教師抓住學生認識上的局限性，糾正原有理解上的不足。教學時，讓學生指認三角尺上的角，引出對角的模糊認識，及時糾正學生指角的方法，初步感知角：然后出示實物圖片，讓學生找角指角，并及時抽象角，幫助學生加深對“角”的認知：接著引導學生觀察比較，找出角的相同點，認識角的頂點和邊，至此幫助學生建立“角”的科學認知。課前，學生對“角”的認識是模糊的、膚淺的、非數學的，通過教師引導，學生在感知的基礎上進行抽象，正確認識“角”，建立了“角”的科學概念。

2.引發觀念沖突，巧妙修正錯誤的日常概念

日常概念，產生于學生的日常生活或其他無意識的活動中，我們在利用這些日常概念時應當謹慎地分析它的缺點和錯誤，設法避免、抑制或糾正，以日常概念的具體性、特殊性成分為依托，為科學概念的建構做好鋪墊。

如在教學《倒數》這一課時，學生認為“倒數”是倒過來的數，如2/7的倒數是7/2，這說明學生對倒數概念的理解（倒數的概念定義）與心中實際想的倒數（倒數的日常概念）之間存在著一定的距離。為了引導學生自覺反思日常概念中存在的問題，我適時追問：“0.3與8有倒數嗎？如果有的話，8的倒數是不是倒過來還是8呢？”通過對小數和整數倒數的追問，逼迫學生進行必要的反思，重構起正確、清晰的“倒數”概念。

二、豐富概念意象，讓概念從樸素走向精致

概念意象，是指與所說的概念直接相聯系的各種心理成分的總和，包括相應的心智圖像、對其性質及相關過程的記憶等。數學概念教學，就是對概念的認識不斷完善的過程，幫助學生建立數學概念的多元表征，不斷建立豐富的概念意象，充實對概念的理解，使學生腦中的概念意象更加精致，實現概念意象與概念定義的整合。

1.加強學生感知，強化概念意象

學生理解和掌握概念的過程實際上就是掌握同類事物的共同、關鍵屬性的過程。為了讓學生掌握同類事物的本質屬性，教師要提供大量同類事物的不同例證，讓學生充分感知，通過比較，進行分析、辨認，多角度感知同類事物的本質屬性，強化學生的概念意象。

如在三角形的概念教學中，通過呈現不同形態（銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形）、不同大小、不同位置的三角形與類似三角形的圖形進行比較，其中呈現不同形態、不同大小、不同位置的三角形是變化概念的非本質屬性，呈現類似三角形的圖形是變化概念的本質屬性。讓學生在對比辨析中突出“三條線段圍成的圖形”這一三角形的本質屬性，讓學生觀察、分析、判斷，準確理解三角形的內涵和外延，概念建立得更準確、更牢靠。

2.界定概念要素，精細概念意象

《數學教學心理學》指出：在數學學習中，概念精致的實質就是對概念的內涵與外延進行詳盡的“深加工”，對“概念要素”進行具體界定，以使學生建立更清晰的概念表象，獲得更多的概念例證。對“概念要素”進行具體界定，可以使學生對概念的細節把握更加準確，對概念的記憶產生深遠影響。

如教學《認識平均分》時，本課概念涉及兩個要素：“每份數”和“份數”，學生理解這兩個要素時很容易混淆，為了幫助學生加深理解，教師設計了這樣的教學過程：出示8個蘋果的2種平均分，讓學生比較不同點，引起對兩個要素的關注：接著讓學生伸出小手邊圈邊說“每份（ ）個”，邊指邊數“1份、2份……有（ ）份”，比畫中感知兩個要素：然后引導學生看圖完整表述“8個蘋果，每份2個，分成4份”，“8個蘋果，每份4個，分成2份”。在對比情境中，學生通過比畫、表述清晰地建立了“每份數”和“份數”這兩個要素的表象，加深了對這兩個要素的理解，使學生對“平均分”這個概念的認識也更到位。

3.建立多元表征，活化概念意象

數學概念往往有多種表征方式，如實物表征、模型表征、圖形表征、語言表征、符號表征等，教師要幫助學生建立對數學概念的多元表征，充實對概念的理解，使學生頭腦中的概念意象更加精致。在蘇教版數學二年級《認識厘米》的教學活動中，教師也設計多種活動，讓學生在活動中感知，在經歷中體驗，在體驗中建立概念意象。

第一環節，實物表征：比較觀察1厘米與1分米、1米的小棒；拿在手中單獨觀察1厘米的小棒。

第二環節，手勢表征：游戲“變小鳥”，手指反復比畫驗證1厘米的長度。

第三環節。想象表征：閉上眼睛想象1厘米的長度。

第四環節，意象表征：聯系生活實際，找身邊的1厘米。

第五環節，符號表征：在直尺上找1厘米和幾厘米。

以上環節，學生通過觀察、比畫、想、找等一系列表征方式，由表及里，由淺入深，學生的思維活動也隨之逐步內化，多角度建立了1厘米的實際長度單位概念。

三、觸及知識本質。讓概念從淺顯走向深刻

1.適時概念抽象，促使理性感悟

學生概念的形成過程實質上是抽象出某一類對象或事物的共同本質特征的過程。抽象是人們在對客觀事物的屬性和特點進行分析、比較和綜合的基礎上，舍棄其非本質屬性而抽取其本質屬性的思維過程，是人們用來接近事物本質和形成概念的思維方法。概念教學時，教師要適時幫助學生進行概念抽象，加深學生對概念的理解。

如蘇教版數學四年級下冊《乘法分配律》的教學過程就是一個幫助學生逐步抽象的過程。教學從“商店進了一批兒童套裝，上衣每件80元，裙子每條70元，四年級舞蹈表演買了60套，一共要付多少錢”這樣的生活問題人手，讓學生說怎么算，教學從說事理開始：接著讓學生用數量關系式來表示以上解題思路，幫助學生進行事理的數學概括：然后讓學生列式計算，進行事理逐步向算理的嬗變：再讓學生找出類似這樣的等式，進行算理的推廣：最后讓學生列舉同樣的等式，引導學生觀察分析，找到相同之處，嘗試用字母代替表示此類算式，最終幫助學生把算理符號化，形成數學模型。教學從解決現實問題的事理出發，逐步簡約事理，去粗存精，提煉、突顯基本內涵，運用數學方法歸納、概括本質屬性，最后抽象生成數學模型。這樣的數學抽象符合學生的認知規律，它使學生真正理解了“乘法分配律”。

2.強化概念應用，理解概念本質

“使學生初步學會運用所學的數學知識解決一些簡單的實際問題”，是新課程標準賦予我們小學數學老師的任務。在學生理解概念的基礎上，教師要精心設計各種類型的題目，及時進行概念應用，將抽象的數學概念與現實、與實際應用聯系起來進行教學，從而提高學生對數學概念的認識和應用能力。

如教學《認識公頃》這一課時，我設計了一系列練習幫助學生內化“公頃”概念：（1）讓學生先估再計算足球場面積：（2）在具體情境中進行單位轉化；（3）解決實際生活問題，溝通相關知識的聯系：（4）各種場地與面積單位連線，將本節課內容納入原有知識體系實現認知體系的新建構：（5）讀“關于畝的介紹”，提升學生視野，激發學生研究更大面積單位的興趣。通過這一系列的概念應用，不僅加深了學生對“公頃”這個概念的感知，而且提高了學生解決實際問題的能力，

3.構建概念網絡，完善認知結構

鄭毓信說：概念教學中，關鍵是要使學生建立概念的網絡結構。學生掌握的概念并非是零散的，而應該是相互聯系的。概念教學時，要幫助學生把新概念和已有相關概念建立聯系，并把新概念納入學生已有的認知結構中，讓其成為一個整體，這樣學生掌握的概念才是有生命力的，學生才會靈活地加以運用。

如在教學《倍的認識》時，先讓學生經歷多次實物操作過程，感知“倍”與平均分的關系：再過渡到無圖讓學生直接說幾倍，感知“倍”與除法的關系：然后教師提問：為什么要用除法來直接計算？把學生的思維引向深刻，促使學生思考，幫助學生進行新舊知識的鏈接，把“倍”這個新概念納入原有知識體系中，將平均分、除法、倍等有關知識建立起了概念網絡，從而幫助學生清晰地明白了“倍”的概念原理，掌握了解決“倍”有關實際問題的方法。

總之，我們在教學數學概念時，要把握教材中呈現的概念特點，通過“精致”，充分認識并發揮學生已有日常概念的現實與作用：通過“精致”，使學生獲得對概念細節的認識與豐富的概念意象：通過“精致”，促進學生建立層次化的概念網絡。