常微分方程課程分階段教學研究

李新服+張廣

摘 要 針對常微分方程課程的特點及授課存在的問題，采取分階段教學，即把教學過程分為基礎知識講解、綜合題講解、實際案例講解、學生講解四個階段，并在各個階段授課中強調科學思考方法的滲透，旨在提高學生分析問題、解決問題、自主研究與創新的能力。

關鍵詞 常微分方程；分階段教學；數學建模

中圖分類號：G642.0 文獻標識碼：B

文章編號：1671-489X（2016）22-0080-03

Research on Staged Teaching of Course Ordinary Differential Equations//LI Xinfu， ZHANG Guang

Abstract In this paper， according to the features of the course Ordi-nary Differential Equations and the problems in the procedure of tea-

ching， we divide the teaching process for this course into four stages：

basic knowledge explanation， comprehensive title explanation， ac-

tual case explanation and students explain. In each stage the scientific

thinking methods are emphasized in order to improve the students ability to analyze and solve problems， and the ability of independent

research and innovation.

Key words ordinary differential equations； staged teaching； mathe-matical modeling

1 前言

常微分方程課程是數學及相關專業的一門核心課程，其先修課程為數學分析與高等代數。這門課程的特點是知識點較整、應用廣泛，學完這門課，學生應該可以試著寫科研論文，是本科畢業論文的一個非常好的選題素材。因此，通過常微分方程課程的學習，學生應具備解決問題、自主學習與研究、創新的能力。

但是就筆者講授這門課程所觀察，學生對基礎知識運用得不好，自主學習研究能力更不樂觀。因此，關于這門課程的教學改革非常重要。在這方面，國內專家已有很多實踐經驗和理論研究結果[1-4]。在借鑒上述教學方法的基礎上，結合常微分方程課程的特點及授課中存在的問題，在教學過程中進行分階段教學的嘗試，并在各個階段授課中重點培養學生的科學思考能力。

2 常微分方程課程介紹

課程定位與目標 常微分方程屬于數學分析的一支，在整個數學大廈中占據重要位置，是定性理論、穩定性理論、動力系統等后續數學研究的基礎。常微分方程的研究還與其他學科或領域結合出現各種新的分支，如控制論，種群生態學、分支理論、脈沖微分方程等。常微分方程所研究的模型來自于物理、力學、社會、生物、化學及氣象等，是數學中與應用密切相關的學科，其自身也在不斷發展中，學好常微分方程基本理論與方法，對進一步學習研究數學理論和實際應用均非常重要。因此，通過常微分方程這門課的學習，學生應具備解決問題、自主學習與研究、創新的能力。

課程教學內容 常微分方程包含的內容很多，不同教材的側重點有所不同。天津商業大學使用王高雄等編寫的教材[5]，主要包括以下內容。

1）一階微分方程的初等解法：變量分離方程與變量變換、線性微分方程與常數變易法、恰當微分方程與積分因子、一階隱式微分方程與參數表示。

2）一階微分方程的解的存在定理：解的存在唯一性定理與逐步逼近法、解的延拓、解對初值的連續性和可微性定理、數值解。

3）高階微分方程：線性微分方程的一般理論、常系數線性微分方程的解法、高階微分方程的講解和冪級數解法。

4）線性微分方程組：存在唯一性定理、線性微分方程組的一般理論、常系數線性微分方程組。

5）非線性微分方程：穩定性、V函數方法、奇點、極限環和平面圖貌、分支與混沌、哈密頓方程。

課程教學存在的問題 通過批改作業、答疑、期末考試及學生畢業論文等途徑，發現通過常微分方程課程的學習，學生對最基礎部分——方程的初等解法掌握還可以，但是對稍有難度、綜合性稍強的題目解決得并不好，自主學習研究能力更不樂觀。經分析，主要原因有：對方程的初等解法講解太多，占用太多時間；對理論知識講解太細太煩瑣，掩蓋了重點；針對培養學生解決問題與自主學習能力的教學內容設置太少；對日后學習研究較重要的數值解與非線性微分方程部分講解太少；綜合性題目布置較少，沒能督促學生及時復習總結，知識形不成系統；布置的習題難度不在學生的學習區，太簡單或太難，學生沒有成就感。因此，如何在有限的課時內將常微分方程的方法原理、思考方式以學生容易接受的方式講透徹，讓學生會利用所學知識科學地思考問題、解決問題、自主研究，是值得思考的問題。

3 分階段教學法實施過程

分階段教學法簡介 認知心理學理論認為完整的認知過程是一個“定向—抽取特征—與記憶中的知識相比較”的一系列循環過程，它依賴于來自環境和知覺者自身的知識，而且在人的認知過程中，前后關系很重要，特別是原有知識之間、原有知識和當前認知對象之間的關系[6]。基于這一理論、常微分方程課程的特點及授課存在的問題，將該課程的教學過程劃分為4個階段：

基礎知識講解階段→綜合題講解階段→實際案例講解階段→學生講解階段

分階段教學法具體實施過程

第一階段：基礎知識講解。該階段旨在使學生掌握基本理論與方法，會做簡單習題。由教師系統講授知識點，并針對所講知識點布置相應習題。

1）對一階微分方程、高階微分方程、線性微分方程組的精確解求解部分，針對每種類型講解方法原理，講解一個例題，布置一個習題。該部分重點是方法原理。

2）對數值解部分，講解原理及數學軟件求解命令，演示求解操作過程，布置兩個習題。同時給學生預留拓展資源供學生自學。該部分重點是會用軟件求解。

3）對一階微分方程解的存在唯一性定理及逐步逼近法一節，重點提煉出證明存在性的逐步逼近法與證明唯一性的方法，避免過多證明細節把學生弄糊涂。同時布置自學任務，如查找其他的存在性定理、唯一性定理并比較，鍛煉學生查閱文獻的能力。

4）對非線性微分方程一章，重點講授理論方法，布置相應習題。該部分重點是理解基本理論。

在此階段，每講完一章，布置1～2個綜合性、一題多種解法或稍有難度的題目，以此來促使學生查閱并總結所學內容，把知識點聯系起來。如可布置習題：

②求解方程xy″-2（1+x）y′+（2+x）y=0（x≠0）

第一階段科學思考方法滲透舉例如下。

1）把問題特殊化的思考方法。舉例告訴學生在解決問題時，首先考慮是否能從特殊情況中得到啟示。

【例1】求解高階常系數齊次線性微分方程：

對一階常系數方程有解x=eat，故猜測高階微分方程有eλt（λ待定）形式的解。

【例2】求一階常系數齊次線性微分方程組的基解矩陣。

其中，A=（aij）n×n為n階常數矩陣，x=（x1，x2，...，xn）僅含一個方程（n=1）時，基解矩陣為eat，故猜測方程組的基解矩陣為eAt。

2）利用聯系，改造區別的思考方法。舉例告訴學生想問題時既要利用事物的聯系，遇到區別時又不要放棄，適當修正可能會有意外發現。

【例】已經學過n階常系數齊次線性微分方程的解法，知道若α為特征方程λn+an-1λn-1+...a1λ+a0=0的單特征根，eαt是微分方程的解；若β為特征方程的k重特征根，eβt，teβt，t2eβt，...，

tk-1eβt是微分方程的k個線性無關解。在求解一階常系數齊次線性微分方程組的線性無關解時，利用兩個方程的聯系，是否有類似結論呢？

經驗證，若α為系數矩陣A的單特征根，微分方程組有eαtη形式的解，其中η為對應α的特征向量；若β為系數矩陣A的k重特征根，eβtη0，teβtη1，t2eβtη2，...，tk-1eβtηk-1并不是微分方程組的k個線性無關解。

那么能否改造一下呢？可以驗證其組合eβtη0+teβtη1+

t2eβtη2+...+tk-1eβtηk-1（ηi滿足一定條件）為微分方程組的解[7]。

第二階段：綜合題講解。該階段講解第一階段布置的題目，旨在幫助學生梳理所學知識，教會學生如何思考問題。并布置幾個題目作為練習。

該階段科學思考方法滲透舉例如下。

1）復雜簡單化的思考方法。通過舉例告訴學生，遇到解法比較復雜的時候，要試著想想是否有簡單或是簡潔的解法。

【例】求解方程

這是可轉化為分離變量方程的典型類型，大多數學生（幾乎全部）利用標準做法。

首先求交點 ，解得：

作變換，原方程轉化為齊次方程

。作變換Z=Y/X，則齊次方程轉化為分離變量方程。

解分離變量方程得：Z2-Z+1=cX-2。代回原來變量，得原方程通解：y2+x2-xy-y+x=c。

可見上述解法較麻煩，要適時引導學生找簡單的解法。下面利用恰當微分方程解法：原方程變形為（x-2y+1）dy-（2x-y+1）dx=0，整理得xdy+ydx-2ydy+dy-2xdx-dx=0，分組湊微分得通解xy-y2+y-x2-x=c。可見關于此題，第二種解法非常簡單。

2）問題層層剪剝、各個擊破的思考方法。通過舉例，告訴學生遇到問題不知如何下手時，不要慌張，靜下心來查找資料，把問題分解，分別解決每個小問題。

【例】求解方程xy″-2（1+x）y′+（2+x）y=0（x≠0）

這是一個二階變系數齊次線性微分方程，學生一般會想到廣義冪級數解法，經求解發現很麻煩。引導學生換種解法，查閱課本發現關于這類方程的降階法，但是需要事先找到方程的一個非零解，如何求？引導學生通過查閱文獻、網上搜索等途徑查找答案，發現課本課后題有要找的答案，從而問題得到解決。

第三階段：實際案例講解。該階段詳細講解兩個案例，一個是常微分方程數學建模案例，一個是常微分方程科研論文案例，旨在讓學生觀摩科學分析與自主研究的過程。選取一個建模案例，詳細講解分析問題、建立模型、利用理論知識分析并用數學軟件求解、對所得結果進行分析、對模型進行合理評價及進一步優化的一系列過程。根據自己寫科研論文的過程，講解發現問題、查文獻、解決問題、撰寫科研論文的整個過程。

第四階段：學生講解。該階段旨在提高學生分析問題解決問題、自主研究的能力。該階段是第三階段的一個實訓，主要由學生自己來完成。學生根據興趣自由分組，從題庫中選題或自由選題，利用幾周的時間完成題目。學生講解，教師點評。題庫由教師查閱資料分類整理完成。

4 結語

以上是針對常微分方程這門課程的特點及授課中存在的問題而采取的以培養學生能力為目的的分階段教學的授課方式。在講完常微分方程這門課后，把上述想法與班級里幾個學習中上等的學生進行探討，學生一致認為很好，因此下學期準備嘗試此授課方式，以期達到良好的教學效果。參考文獻

[1]韓祥臨，歐陽成.《常微分方程》精品課程的教學改革與教學實踐[J].湖州職業技術學院學報，2012（1）：8-11.

[2]劉會民，那文忠，陶鳳梅.“常微分方程”課程教學模式的改革與探索[J].數學教育學報，2006（1）：72-74.

[3]何春花，鄭群珍，姬利娜.常微分方程課程教學改革的探索與實踐[J].河南教育學院學報：自然科學版，2014（2）：

68-69.

[4]萬亮.常微分方程的解法與教學改革[J].科技創新與應用，2013（4）：277.

[5]王高雄，周之銘，朱思銘，等.常微分方程[M].3版.北京：高等教育出版社，2006.

[6]王尊亮，卞佳麗.網絡編程技術課程分階段教學策略[J].計算機教育，2013（24）：41-44.

[7]丁同仁，李承治.常微分方程[M].2版.北京：高等教育出版社，2004.