大學數學微積分教學與建模應用略析

黃梅花

【摘要】大學數學中的微積分知識因為抽象而易導致學生建構上的困難.將其與實際問題聯系，讓學生在對實際問題進行抽象之后建立數學模型，可以有效地將知識植根于實踐之上，同時提升學生的數學建模能力.在微積分教學中強化數學建模，需要重新認識數學建模的價值，并結合具體問題實施.數學建模需要遵循合理分析—建立模型—分析模型—解釋驗證的基本步驟.基于建模的教學可以促進數學知識與數學建模之間的積極影響.

【關鍵詞】大學數學；微積分；數學建模

長期以來，微積分都是大學理工專業的基礎性學科之一，也是學生普遍感覺難學的內容之一.究其原因，既有微積分自身屬于抽象知識的因素，也有教學過程中方法失當的可能，因此尋找更為有效的教學思路，就成為當務之急.

數學教學中一向有建模的思路，中學教育中學生也接受過隱性的數學建模教育，因而學生進入大學之后也就有了基礎的數學建模經驗與能力.但由于很少經過系統的訓練，因而學生對數學建模及其應用又缺乏必要的理論認識，進而不能將數學建模轉換成有效的學習能力.而在微積分教學中如果能夠將數學建模運用到好處，則學生的建構過程則會順利得多.本文試對此進行論述.

一、數學建模的學習價值再述

從學生的視角縱觀學生接受的教學，可以發現現在的大學生所經歷的教學往往更多地將研究重心放在教學方式上，基礎教育階段經歷過的自主合作探究的教學方式，成為當前大學生的主流學習方式.這種重心置于教學方式的教學思路，會一定程度上掩蓋傳統且優秀的教學思想，不幸的是，數學建模就是其中之一.大學數學教學中，數學建模理應彰顯出更充分的顯性價值.現以微積分教學為例進行分析.

大學數學教學中，微積分知識具有分析、解決實際問題的作用，其知識的建構也能培養學生的應用數學并以數學眼光看待事物的意識與能力，而這些教學目標的達成，離不開數學建模.比如說作為建構微積分概念的重要基礎，導數很重要，而對于導數概念的構建而言，極值的教學又極為重要，而極值本身就與數學建模密切相關.極值在微積分教學中常常以這樣的數學形式出現：設y=f（x）在x0處有導數存在，且f′（x）=0，則x=x0稱為y=f（x）的駐點.又假如有f″（x0）存在，且有f（x）=0，f″（x）≠0，則可以得出以下兩個結論：如果f″（x）<0，則f（x0）是其極大值；若f″（x0）>0，則f（x0）是其極小值.在純粹的數學習題中，學生在解決極值問題的時候，往往可以依據以上思路來完成，但在實際問題中，這樣的簡單情形是很難出現的，這個時候就需要借助一些條件來求極值，而在此過程中，數學建模就起著重要的作用.譬如有這樣的一個實際問題：為什么看起來體積相同的移動硬盤會有不同的容量？給定一塊硬盤，又如何使其容量最大？事實證明，即使是大學生，在面對這個問題時也往往束手無策.根據筆者調查研究，發現學生在初次面對這個問題的時候，往往都是從表面現象入手的，他們真的將思維的重點放在移動硬盤的體積上.顯然，這是一種缺乏建模意識的表現.

反之，如果學生能夠洞察移動硬盤的容量形成機制（這是數學建模的基礎，是透過現象看本質的關鍵性步驟），知道硬盤的容量取決于磁道與扇區，而磁道的疏密又與磁道間的距離（簡稱磁道寬度）有關，有效的磁道及寬度是一個硬盤容量的重要決定因素.那就可以以之建立一個極限模型，來判斷出硬盤容量最大值.從這樣的例子可以看出，數學建模的意識存在與否，就決定了一個問題解決層次的高低，也反映出一名學生的真正的數學素養.因而從教學的角度來看，數學建模在于引導學生抓住事物的關鍵，并以關鍵因素及其之間的聯系來構建數學模型，從而完成問題的分析與求解.筆者以為，這就是包括數學建模在內的教學理論對學生的巨大教學價值.

事實上，數學建模原本就是大學數學教育的傳統思路，全國性的大學生數學建模競賽近年來也有快速發展，李大潛院士更是提出了“把數學建模的思想和方法融入大學主干數學課程教學中去”的口號，這說明從教學的層面，數學建模的價值是得到認可與執行的.作為一線數學教師，更多的是通過自身的有效實踐，總結出行之有效的實踐辦法，以讓數學建模不僅僅是一個美麗的概念，還是一條能夠促進大學數學教學健康發展的光明大道.

二、微積分教學建模應用例析

大學數學中，微積分這一部分的內容非常廣泛，從最基本的極限概念，到復雜的定積分與不定積分，再到多元函數微積分、二重積分、微分方程與差分方程等，每一個內容都極為復雜抽象.從學生完整建構的角度來看，沒有一個或多個堅實的模型支撐，學生是很難完成這么多內容的學習的.而根據筆者的實踐，基于數學建模來促進相關知識的有效教學，是可行的.

先分析上面的極限例子.這是學生學習微積分的基礎，也是數學建模初次的顯性應用，在筆者看來該例子的分析具有重要的奠基性作用，也是一次重要的關于數學建模的啟蒙.在實際教學過程中，筆者引導學生先建立這樣的認識：

首先，全面梳理計算機硬盤的容量機制，建立實際認識.通過資料查詢與梳理，學生得出的有效信息是：磁盤是一個繞軸轉動的金屬盤；磁道是以轉軸為圓心的同心圓軌道；扇區是以圓心角為單位的扇形區域.磁道間的距離決定了磁盤容量的大小，但由于分辨率的限制，磁道之間的距離又不是越小越好.同時，一個磁道上的比特數也與磁盤容量密切相關，比特數就是一個磁道上被確定為1 B的數目.由于計算的需要，一個扇區內每一個磁道的比特數必須是相同的（這意味著離圓心越遠的磁道，浪費越多）.最終，決定磁盤容量的就是磁道寬度與每個磁道上的比特數.

其次，將實物轉換為數學模型.顯然，這個數學模型應當是一個圓，而磁盤容量與磁道及一個磁道的容量關系為：磁盤容量=磁道容量×磁道數.如果磁盤上可以有效磁化的半徑范圍為r至R，磁道密度為a，則可磁化磁道數目則為R-ra.由于越靠近圓心，磁道越短，因此最內一條磁道的容量決定了整體容量，設每1 B所占的弧長不小于b，于是就可以得到一個關于磁盤容量的公式：

B（r）=R-ra·2πrb.

于是，磁盤容量問題就變成了求B（r）的極大值問題.這里可以對B（r）進行求導，最終可以發現當從半徑為R2處開始讀寫時，磁盤有最大容量.

而在其后的反思中學生會提出問題：為什么不是把整個磁盤寫滿而獲得最大容量的？這個問題的提出實際上既反映了這部分學生沒有完全理解剛才的建模過程，反過來又是一個深化理解本題數學模型的過程.反思第一步中的分析可以發現，如果選擇靠近圓心的磁道作為第一道磁道，那么由于該磁道太短，而使得一個圓周無法寫出太多的1 B弧長（比特數），進而影響了同一扇區內較長磁道的利用；反之，如果第一磁道距離圓心太遠，又不利于更多磁道的利用.而本題極值的意義恰恰就在于磁道數與每磁道比特數的積的最大值.通過這種數學模型的建立與反思，學生往往可以有效地生成模型意識，而通過求導來求極值的數學能力，也會在此過程中悄然形成.

又如，在當前比較熱門的房貸問題中，也運用到微積分的相關知識，更用到數學建模的思想.眾所周知，房貸還息有兩種方式：一是等額本金，一是等額本息.依據這兩種還款方式的不同，設某人貸款額為A，利息為m，還款月數為n，月還款額為x.根據還款要求，兩種方式可以分別生成這樣的數學模型：

x1=Am（1+m）n（1+m）n-1，

x2=Amemnemn-1.

顯然，可以通過微積分的相關知識對兩式求解并比較出x1和x2的大小，從而判斷哪種還款方式更為合理.在這個例子當中，學生思維的關鍵點在于對兩種還款方式進行數學角度的分析，即將還款的相關因子整合到一個數學式子當中去，然后求解.實際上本題還可以進一步升級，即通過考慮貸款利率與理財利率，甚至CPI，來考慮貸款基數與利差關系，以求最大收益.這樣可以讓實際問題變得更為復雜，所建立的數學模型與所列出的收益公式自然也就更為復雜，但同樣能夠培養學生的數學建模能力.限于篇幅，此不贅述.

三、大學數學建模的教學淺思

在實際教學中筆者發現，大學數學教學中，數學建模有兩步必走：

一是數學建模本身的模式化過程.依托具體的教學內容，將數學建模作為教學重點，必須遵循這樣的四個步驟：合理分析；建立模型；分析模型；解釋驗證.其中合理分析是對實際事物的建模要素的提取，所謂合理，即是要從數學邏輯的角度分析研究對象中存在的邏輯聯系，所謂分析即將無關因素去除；建立模型實際上是一個數學抽象的過程，將實際事物對象抽象成數學對象，用數學模型去描述實際事物，將實際問題中的已知與未知關系轉換成數學上的已知條件與待求問題；在此基礎上利用數學知識去求解；解釋驗證更多的是根據結果來判斷模型的合理程度.通常情況下，課堂上學生建立的模型有教師的判斷作為保證，因而合理程度較高，而如果讓學生在課后采集現實問題并利用數學建模的思路去求解，則往往受建立模型過程中考慮因素是否全面，以及數學工具的運用是否合理等因素影響，極有可能出現數學模型不夠精確的情形.這個時候，解釋驗證就是極為重要的一個步驟，而如果模型不恰當，則需要重走這四個步驟，于是數學模型的建立就成為一個類似于課題研究的過程，這對于大學生的數學學習來說，也是一個必需的過程.

二是必須基于具體知識去引導學生理解數學建模.數學建模作為一種數學思想，只有與具體實例結合起來才有其生命力.在微積分教學中之所以如此重視建模及應用，一個重要原因就是微積分知識本身過于抽象.事實表明，即使進入高校，學生的思維仍然不足以支撐這樣的抽象的數學知識的構建，必須結合具體實例，讓學生依靠數學模型去進行思考.因此，基于具體數學知識與實際問題的教學，可以讓學生在知識構建中理解數學模型，在模型生成中強化知識構建，知識與數模之間存在著相互促進的關系，而這也是大學數學教學中模型應用的較好境界.

【參考文獻】

[1]張勇，黃廷祝，傅英定.數學建模思想融入微積分課程教學初探[J].大學數學，2010，26（2）：158-160.

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