直角坐標系下二重積分積分順序的選取

文/朱清芳 趙濤 查振邦

1.根據積分區域的特點判定

解畫出積分區域D如圖1所示，D既是X型又是Y型。

圖1

將D看作X型時，積分區域D的不等式表示為：

將D看作Y型時，D的不等式表示為：

顯然，將D看作X型時，需要計算兩個二重積分，而將D看作Y型時只需要計算一個二重積分，因此將D看作Y型區域，選取先x后y的積分順序，利用D的不等式表示式(2)，計算如下。

如果積分區域D既是X型又是Y型，在選擇積分順序時應優先選擇計算量小，計算相對容易的積分順序。

2.根據被積函數特點選取

圖2

解畫出積分區域如圖2所示。D既是X型又是Y型。如果將D看作X型時，積分區域D的不等式表示為：

當積分區域 D 既是X型又是Y型時，還應該考慮被積函數的特點。如果被積函數先對x求積分無法求取時(如例3)，則需要換種積分順序，采取先對y積分，反之亦然。

3.積分區域為對稱區域

圖3

解畫出閉區域D的圖形如圖3所示。閉區域D關于x軸對稱，而被積函數是關于x軸的奇函數，根據對稱函數在所對稱區域積分的公式，則有：

如果積分區域D既是X型又是Y型時，應當綜合考慮積分區域的特點，被積函數積分的難易程度來確定積分順序，如果是積分區域是對稱的，則應該優先考慮利用對稱性簡化計算。

[1]同濟大學數學系編.高等數學(下冊)[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]西北工業大學高等數學教材編寫組編.高等數學(下冊)[M].科學出版社，2013.