“直線與圓的位置關系”的教學與感悟

許惠芳+廖江鋒

摘要：“好的開端等于成功了一半”，成功的課題引入能夠集中學生的注意力，為學生提供適宜的學習情境，激發學生的求知欲和調動學生學習的積極性。由于微課的時間短，形式新，能很好的吸引學生的注意力，促進學生自主學習。在溫故知新、探究新知這個教學環節中我插入了微課，在微視頻中復習鞏固相關的知識點，為本節課的學習做好鋪墊。

關鍵詞：直線；圓；位置；練習

中圖分類號：G633.6 文獻識別碼：A 文章編號：1001-828X（2016）030-000-02

2016年3月，在我校舉行的上課比賽中，筆者執教了《直線與圓的位置關系》（高等教育出版社出版的數學基礎模塊下冊第八章第四節），現將本節課的教學過程記錄下來，旨在與同行們交流、切磋，不妥之處，歡迎大家批評指正。

一、課堂實錄

（一）導入

1.創設情境，興趣導入

先利用多媒體展示幾張福建福安白云山日出的圖片。

師：請同學們說說在日出的過程中太陽和地平線有怎樣的位置關系？從日出這種自然現象中可以抽象出哪些基本的幾何圖形？

生：可以將太陽抽象成圓，地平線抽象成直線。

（地平線）

2.探索發現

教師在黑板上畫一條直線，并拿圓環在直線上移動。

師：觀察剛才老師的操作演示，直線與圓有幾種位置關系？都是什么？

生：三種：相交、相切、相離。

師：回答的真棒！這就是我們本節課將要研究學習的內容《直線與圓的位置關系》（出示本課課題）。現在請在本子上畫一個圓，把直尺的邊緣看成一條直線，平移直尺，并畫出直線與圓的三種位置關系，接著在圖上畫出該圓的圓心到三條直線的距離。

（二）溫故知新，探究新知

師：點與圓有幾種位置關系？

生：三種。

師：都是哪三種？

生：點在圓外，點在圓內，點在圓上。

師：怎樣判定點和圓的位置關系？

生：當點到圓心的距離大于圓的半徑時，點在圓外；當點到圓心的距離等于圓的半徑時，點在圓上；當點到圓心的距離小于圓的半徑時，點在圓內。

師：回答的真棒！能否類比點與圓的位置關系的判定方法來判定直線與圓的位置關系呢？

（先讓學生思考討論，再微課播放直線與圓的位置關系的判定方法之一：用兩者公共點的個數來區分：有兩個公共點時直線與圓相交；只有一個公共點時直線與圓相切；沒有公共點時直線與圓相離。）

（微課播放直線與圓的位置關系的判定方法之二：用圓心到直線的距離d與半徑r的大小關系來區分：dr時直線與圓相離。）

師：以上兩種方法在解題中哪種方法更好用？

生：第二種

師：為什么？

生：只要算出d的大小，再與r比較下就行了。

師：好！那本節課我們將用第二種方法進行解題。在解題之前先回顧下點到直線的距離公式。

師：點P0（a，b）到直線Ax+By+C=0的距離d=？

生：d=

師： 設圓的標準方程為：（x-a）2+（y-b）2=r2 ，則圓心C（a，b）到直線Ax+By+C=0的距離為d=？

生：d=

師：很好！比較d與r的大小，就可以判斷直線與圓的位置關系。

（三）典型例題，鞏固新知

例1 判斷下列直線與圓的位置關系：

（1）直線x-y+3=0，圓（x-1）2+（y-1）2=9

（2）直線3x+y-5=0，圓x2+y2-10y=0

解：（1）由方程（x-1）2+（y-1）2=9知，圓的半徑r=3，圓心為點C（1，1），圓心C到直線x-y+3=0的距離d=，由于d

（2）將方程x2+y2-10y=0化成圓的標準方程，得x2+（y-5） 2=25

因此，圓心為點C（0，5），半徑r=5，圓心到直線3x+y-5=0的距離為d=，由于d

由例題引導學生歸納總結出用d與r的比較大小判斷直線與圓的位置關系，通過例題深化學生對點到直線距離的理解，加深印象，從而突破重點

（四）知識鞏固 應用提升

例2 過點P（1，-1）作圓x2+y2-2x-2y+1=0的切線，試求切線方程

分析 求切線方程的關鍵是求出切線的斜率k，可以利用圓心到切線的距離等于半徑的條件來確定 k.

解：設所求切線的斜率為k，則切線方程為y+1=k（x-1），

即圓x2+y2-2x-2y+1=0的標準方程為（x-1）2+（y-1）2=1

所以圓心為點C（1，1），半徑r=1。如右圖所示：

作出圓及其過點P的兩條切線。圓心到切線的距離為d=，由于圓心到切線的距離與半徑相等，所以，解得k=故所求切線方程為即或.

例3 （2016年福建省高職招考的最后一題）：如圖所示，點A（6，0），B（0，8），求：

（1）線段AB中點C的坐標及線段AB的長度|AB|.

（2）以線段AB為直徑的圓C的標準方程.

（3）過點P（-2，-6）與圓C相切的直線方程。

解：（1） 因為點A（6，0），B（0，8），

所以線段AB中點的坐標為C（3，4）。

線段AB的長度|AB|=

（2）依題意得：

所求圓的圓心坐標為C（3，4）.半徑r=|AB|=5

所求圓的標準方程為：.

（3）設所求的切線斜率為k，則所求的切線方程為y+6=k（x+2）

即kx-y+2k-6=0

由d=r，得d=，解得：k=

所以所求的切線方程為y+6=（x+2）.即3x-4y-18=0

因為點P（-2，-6）在圓外，切線有兩條，所以另一條切線的斜率k不存在，切線方程為x+2=0，綜上所述，所求的切線方程為3x-4y-18=0或x+2=0。

（五）應用知識， 強化練習

（1）判斷直線y=與圓（x-4）2+y2=4的位置關系

（2）求以點C（2，-1）為圓心，且與直線2x+5y=0相切的圓的方程

師：（1）題與上面例1一樣嗎？

生：差不多，只是數字不同。

生：還有直線方程的表示形式也不同

師：觀察的真好！能直接用點到直線的距離公式嗎？

生：不能，直線方程不是一般式，要轉換成一般式才能用公式。

師：回答的真棒！在應用點到直線的距離公式中，直線方程必須為一般式方程。本題的直線方程轉換成一般式方程后是什么？

生：y+=0或3y+=0

師：很好！3y+=0在計算上更好些。

（六）歸納小結，布置作業

小結：用d與r的大小判斷直線與圓的位置關系的步驟：

（1）求出圓的圓心C（a，b），半徑r.

（2）直線方程必須是一般式

（3）用圓心C（a，b）到直線Ax+By+C=0的距離d=與半徑r比較大小

（4）若d>r，則相離；若d=r，則相切；若d

作業： 課本第72頁習題8.4A組1（4）、3 復習題8 A組1（6）、5。

二、教學感悟

本節課授課對象為電子商務專業的學生，他們思維活躍，有較強的求知欲。在本節課之前他們剛剛學習了直線方程、直線與直線的位置關系、點到直線的距離、圓的方程，初步具備研究直線與圓的位置關系的基礎。但他們數學基礎不夠扎實、數學興趣不濃，計算能力較弱，獨立分析、解決能力有限，積極參與研究、合作交流意識方面有待加強。直線與圓的位置關系的判定是本節課的難點，在判斷直線與圓的位置關系時還有第三種方法，即將直線的方程與圓的方程聯立組成方程組，通過對方程組的解的討論來研究直線與圓的位置關系，理論上講是很簡單的，但是，實際操作的運算過程很麻煩，計算量相對較大，針對學生的特點，在課堂上只是提一下，并沒有展開。在課本教材中采用“數”“形”結合的方式，利用比較半徑與圓心到直線的距離的大小來討論的方法，相對比較簡單。平面幾何中，學生對這樣判斷直線與圓的位置關系比較熟悉，現在通過比較半徑與圓心到直線的距離的大小來判斷直線與圓的位置關系，學生容易接受，例題1就是采用這種方法討論的。在教學過程中，為實現學以致用的教學特色，以引導發現教學法和講練結合教學法作為教學主線，輔助以情境教學法，提高學生對數學學習的興趣。

“好的開端等于成功了一半”，成功的課題引入能夠集中學生的注意力，為學生提供適宜的學習情境，激發學生的求知欲和調動學生學習的積極性，在創設情境，興趣導入這個教學環節，利用學生的直觀思維這一特點，采用多媒體展示日出圖片，讓學生感受生活中的例子，拉近數學與現實的距離，激發學生對數學學習的好奇心和求知欲，同時鼓勵學生積極發言，學生對圖形的認識恰當運用信息技術由感性上升到理性。在探索發現這個教學環節中，師生共同動手操作演示，并讓學生思考、觀察，由想象過渡到實物演示，讓學生直觀看到變化過程，抽象到具體，形成知識，讓學生動手畫出直線與圓的三種不同的位置關系，讓學生在操作中再現知識的形成過程。通過循序漸進的問題，類比點與圓位置關系的判定方法為新課的學習做鋪墊，使得學生對直線與圓的位置關系的研究經歷從直觀到抽象，學生的數形結合能力、類比觀察能力得到培養。

由于微課的時間短，形式新，能很好的吸引學生的注意力，促進學生自主學習。在溫故知新、探究新知這個教學環節中我插入了微課，在微視頻中復習鞏固相關的知識點，為本節課的學習做好鋪墊。例題2是鞏固提升題，所使用的方法是待定系數法，在利用代數方法研究幾何問題中有著廣泛的應用，這種題型一直是大部分學生的難點，在高考題中也經常出現它的面孔，為此引出2016年高考的最后一題壓軸題，進一步增強學生學習的好奇心和求知欲。

參考文獻：

[1]武湛.《拋物線及其標準方程》教學實錄與反思[J].福建中學數學，2015（12）：26-28.

[2]李廣全，李尚志.數學基礎模塊下冊修訂版[M].北京：高等教育出版社，2013：73-75.