從一道習題的推廣談數(shù)學文化的滲透

文︳申 潛

從一道習題的推廣談數(shù)學文化的滲透

文︳申 潛

題目解答不難，不過做完后不妨留心思考：題目中給出的是具體的橢圓，那么這個結論對所有橢圓是否都成立呢？也就是說，我們把這個事情一般化，探究橢圓是否都具有這樣的性質。這樣就可以解一題而通一類，培養(yǎng)解題能力和數(shù)學思維。若M，N是橢圓=1（a＞b＞0）上關于原點對稱的兩點，P是橢圓上異于M，N的一點，直線 PM，PN 的斜率分別為 k1，k2，則 k·1k2= 。

解：設點 M（x0，y0），則 N（-x0，-y0），設橢圓上點 P（x，y）。

也就是說，其斜率乘積與橢圓的長、短軸有關。再進一步推廣，雙曲線是否也有這樣的性質？

說到圓錐曲線和特殊到一般的數(shù)學思想，不得不提一個著名定理——費馬大定理。

1637年左右，法國學者費馬在閱讀丟番圖《算術》的拉丁文譯本時，在第11卷第8命題旁寫道：“將一個立方數(shù)分成兩個立方數(shù)之和，或將一個四次冪分成兩個四次冪之和，或者一般地將一個高于二次的冪分成兩個同次冪之和，這是不可能的。關于此，我確信已發(fā)現(xiàn)了一種美妙的證法，可惜這里空白的地方太小，寫不下。”

費馬的話可整理成：當整數(shù)n＞2時，關于x，y，z的方程xn+yn=zn沒有正整數(shù)解。

畢竟費馬沒有寫下證明，而他的其他猜想對數(shù)學貢獻良多，由此激發(fā)了許多數(shù)學家對這一猜想的興趣。1753年，瑞士著名數(shù)學家歐拉在給哥德巴赫的信中說，他證明了n=3時的費馬猜想。1816年，巴黎科學院把費馬猜想簡化歸結為是奇素數(shù)的情況，認為費馬猜想應該成立，并稱之為“費馬大定理”（以區(qū)別費馬關于同余的小定理），還為證明者設立大獎和獎章，費馬大定理之謎從此進一步風靡全球。

19世紀初，法國自學成才的女數(shù)學家熱爾曼證明了當n和2n+1都是素數(shù)時費馬大定理的反例x，y，z至少有一個是n整倍數(shù)。在此基礎上，1825年，德國數(shù)學家狄利克雷和法國數(shù)學家勒讓德分別獨立證明費馬大定理在n=5時成立。1839年，法國數(shù)學家拉梅對熱爾曼方法作了改進，并證明了n=7的情形。他的證明使用了跟7本身結合得很緊密的巧妙工具，只是難以推廣到n=11的情形。

1844年，庫默爾提出了“理想數(shù)”概念，他證明了對于所有小于100的素指數(shù)n，費馬大定理成立，此一研究告一段落。但對一般情況，在猜想提出的頭200年內(nèi)，數(shù)學家們?nèi)詫M馬大定理一籌莫展。

1955年，日本數(shù)學家谷山豐首先猜測橢圓曲線與另一類數(shù)學家們了解更多的曲線——模曲線之間存在著某種聯(lián)系；谷山豐的猜測后經(jīng)韋依和志村五郎進一步精確化而形成了所謂“谷山—志村猜想”。這個猜想說明了有理數(shù)域上的橢圓曲線都是模曲線。這個很抽象的猜想盡管讓一些學者搞不明白，但它使費馬大定理的證明向前邁進了一步。

1984年，德國數(shù)學家弗雷在德國小城奧伯沃爾法赫的一次數(shù)論研討會上宣稱：假如費馬大定理不成立，則由費馬方程可構造一個橢圓曲線，它不可被模形式化，也就是說谷山—志村猜想將不成立。但弗雷構造的所謂弗雷曲線不可模形式化也說不清具體證明細節(jié)，因此也只是猜想，被稱為“弗雷命題”。弗雷命題如果得證，費馬大定理就與谷山—志村猜想等價。

1986年，英國數(shù)學家安德魯·懷爾斯聽到肯·里貝特證明弗雷命題后，感到攻克費馬大定理到了最后攻關階段，并且這剛好是他的研究領域。他開始放棄其他所有活動，精心梳理有關領域的基本理論，花了一年半時間把橢圓曲線與模形式通過伽羅瓦表示方法“排隊”。接下來要將兩種排隊序列對應配對，這一步他花了兩年時間卻無進展。此時他攻讀博士學位時學的巖澤理論一度取得實效。1991年，他的博士導師科茨告訴他，有位叫弗萊切的學生用蘇聯(lián)數(shù)學家科利瓦金的方法研究橢圓曲線，這一方法使其工作有了重大進展。

1993年6月，在劍橋牛頓學院的一次學術會議上，懷爾斯以“模形式、橢圓曲線與伽羅瓦表示”為題，分三次作了演講。聽完演講，人們意識到谷山—志村猜想已經(jīng)被證明。由此把法爾廷斯證明的莫德爾猜想、肯·里貝特證明的弗雷命題和懷爾斯證明的谷山—志村猜想聯(lián)合起來就可說明費馬大定理成立。其實這三個猜想每一個的證明都非常困難，懷爾斯的證明，成為完成費馬大定理證明的最后一棒。至此，費馬大定理經(jīng)過眾多數(shù)學家從特殊情形出發(fā)，一步一步推廣到一般情況，最后在橢圓曲線的幫助下，終于被證明了。

一個定理的證明歷經(jīng)多年，凝結了眾多數(shù)學家的心血。由解題展開，聯(lián)系數(shù)學文化，學生可以體會到數(shù)學不是“冷冰冰”的形式化的表述和推理，而是背后都蘊藏著豐富的數(shù)學文化，有著“火熱的思考”。

邵東縣一中）