齒線有曲線方程嗎

文︳周田虎 黃元華

齒線有曲線方程嗎

文︳周田虎 黃元華

齒輪是日常生產生活中常見的傳動設施。本文中，我們稱類似齒輪輪廓線的曲線叫齒線。齒線可以有各種形狀，如機械手表的機芯為圓形齒線，木工用的鋸條為直線型齒線。當然也可以根據特殊需要設計其他形狀的齒線。我們感興趣的是各類齒線是否存在一種具有一定規律可循的曲線方程？帶著這個問題，筆者經過初步探究，得到了一種簡單實用的構造各種形狀齒線方程的方法。

一、課本原題的推廣

新課標高中數學教材必修4（北師大版）第一章三角函數中有一道習題：利用五點法或借助信息技術畫出函數y=sinx-|sinx|的圖像。

本題難度不大。筆者對本題展開了一般化研究，借助幾何畫板，畫出了更多的形如y=a+b（sinnx±|sinnx|）（a，b∈ ，b≠0，n∈ *，下同）的函數圖像，發現它們均呈齒線形狀。圖1為函數y=2+0.2·（sin10x-|sin10x|）（x∈［-2π，2π］）的圖像。

圖1

通過進一步探究，我們發現方程y=a+b·（sinnx-|sinnx|）的曲線具有下列性質：

（1）在［0，2π］上曲線的齒數為 n；

（2）齒長（齒尖到直線y=a的距離）為2|b|；（3）當b＞0時齒尖向下，當b＜0時齒尖向上。

二、齒化曲線的方程

我們嘗試把方程y=a+b·（sinnx-|sinnx|）中的a換為kx+m，即 得 方 程 y=kx+m+b（sinnx-|sinnx|）。例如，y=2x+1+0.2（sin10x-|sin10x|），借助幾何畫板，畫出其曲線，如圖2。可以說，方程y=2x+1+0.2（sin10x-|sin10x|）把直線y=2x+1齒化了。

一般地，若曲線C：y=f（x），則曲線C′：y=f（x）+b（sinnx-|sinnx|）（b≠0）①為曲線 C 的一種齒化曲線，稱①為曲線C的齒化曲線方程。

圖3中從左至右依次為直線y=kx+m，拋物線y=x2，雙曲線 y，對數曲線y=lnx的一種齒化曲線。

圖2

圖3

類比可以得知：在極坐標系中，若曲線C：ρ=ρ（θ），則曲線 C′：ρ=ρ（θ）+b（sinnθ-|sinnθ|）（b≠0）②為曲線C的一種齒化曲線，稱②為曲線C的齒化曲線方程。

利用幾何畫板，可以畫出極坐標系中圓C：ρ=2 的一種齒化曲線 C′：ρ=2±0.2（sin20θ-|sin20θ|）。

圖4中左圖的方程為ρ=2+0.2·（sin20θ-|sin20θ|）， 右 圖 的 方 程 為 ρ=2-0.2·（sin20θ-|sin20θ|）。

圖4

這里，我們不僅得到了兩個非常漂亮的齒線，也得出了一種具有實用價值的設計圓形齒線的簡潔方法。依照這個方法我們就可以根據齒輪的多少、齒長的大小等要求設計齒輪。

圖5是極坐標系中的一些曲線的齒化曲線。

圖5

它們的方程從左到右依次為ρ=0.2θ+1-1.5·（sin60θ-|sin60θ|），θ∈［0，5π］，0.2（sin60θ-|sin60θ|），ρ=2 （1+cosθ）-0.2（sin60θ-|sin60θ|），ρ=3 （1+0.85cos2θ+sin24θ）+0.2 （sin60θ-|sin60θ|）。

容易知道，若把上面的（sinnx-|sinnx|）換成另外一些具有一定周期的齒形函數，將可得到很多千姿百態的齒線，有興趣的讀者不妨繼續探討。

廣東省深圳高級中學）