巧用幾何性質 優化向量計算

文︳譚祖榮

巧用幾何性質 優化向量計算

文︳譚祖榮

通常我們把平面向量的運算分為幾何運算和代數運算（坐標運算），其難點在運用幾何定理建立關系式。靈活應用圖形的幾何特點與性質往往是解決問題的關鍵。

一、在三角形中靈活應用“四線”“四心”

三角形的中線、角平分線、高線、垂直平分線以及重心、內心、垂心、外心都有很優美的幾何性質，靈活運用相關的性質，并用向量形式表達出來，是解題的好途徑。

1.已知△ABC中，點D在AB上，CD平分∠ACB。若CB=a，CA=b，|a|=1，|b|=2，則CD=（ ）。

A.重心 B.外心 C.內心 D.垂心

解析：如圖，因為|AB|sinB=|AC|sinC，設它們等于 t，所以OP=OA+λ·（AB+AC），而AB+AC=2AD ，則λ·（AB+AC）表示與AD的共線向量AP，而點D是BC的中點，所以P的軌跡通過△ABC的重心，故選A。

二、利用向量模的幾何意義構建幾何圖形

向量模本身就是線段，富有幾何意義。利用模的幾何意義，可以構建圖形，再利用幾何圖形的幾何性質找到解題的思路。

1.已知平面向量α ，β（α ≠0，α ≠β）滿足 |β|=1，且α 與β-α 的夾角為 120°，則 |α |的取值范圍是 。

解析：設OA=α ，OB=β ，如圖，由題意得：∠OAB=60°，所以 0°＜∠OBA＜120°，所以0＜sin∠OBA≤1，在△OAB中，由正弦定理有：|OA|=即 |α |的取值范圍是

A.2 B. 3C. 2D.1

解析：如圖，設OA= ，OB= ，OC= ，則CA=- ，CB=- 。

所以O，A，C，B四點共圓。當OC為圓的直徑時||最大。在△AOB中，AB=，△AOB的外接圓半徑為R，由2R=，所以||的最大值為2。

以上幾個示例啟示我們：在向量的幾何運算及與模有關的問題中，通過轉化與化歸，靈活應用圖形的幾何特點與性質可讓問題迎刃而解。

衡陽市一中）