平方根球形無味卡爾曼濾波機載無源定位算法

裴 畔， 丁永紅， 馬鐵華

（1.中北大學 儀器科學與動態測試教育部重點實驗室，山西 太原 030051；2.中北大學 電子測試技術國家重點實驗室，山西 太原 030051）

平方根球形無味卡爾曼濾波機載無源定位算法

裴 畔1，2， 丁永紅1，2， 馬鐵華1，2

（1.中北大學 儀器科學與動態測試教育部重點實驗室，山西 太原 030051；2.中北大學 電子測試技術國家重點實驗室，山西 太原 030051）

針對機載無源定位系統中，初始值誤差和數值的舍入計算對無味卡爾曼濾波（un-scented Kalman filtering，UKF）算法的定位精度和濾波穩定性影響較大的問題，提出一種基于平方根球形無味的卡爾曼濾波算法（square root spherical unscented Kalman filter，Sqrt-UKFST）。該方法以單位超球體球面無味變換為基礎，通過減少采樣點數目和球面半徑，保證所有采樣點在一個單位超球體上，從而提高算法對初始值的魯棒性，并采用平方根濾波提高算法的數值穩定性。對該算法進行100次Monte-Carlo實驗，仿真結果表明，Sqrt-UKFST算法收斂速度快，濾波性能穩定；當初始狀態估計誤差較大時，Sqrt-UKFST算法的定位精度保持在30%以內，提高系統對初始值的魯棒性。

機載無源定位；算法精度；平方根球形無味卡爾曼濾波；球面無味變換；魯棒性；穩定性

0 引 言

在電子對抗日趨激烈的今天，機載單站無源定位系統自身不發射信號，只接收輻射源目標發射的電磁波信號，具有隱蔽性能好、生存力強、設備簡單、跟蹤定位性能好的優點，在對地面靜止目標或慢速運動的目標定位上具有重要的應用價值[1]；文獻[2]基于多普勒變化率實現對固定目標的定位；文獻[3]利用相位差變化率對地面固定目標進行定位；文獻[4]基于相位差變化率和多普勒變化率相結合的定位方法將多普勒頻率變化率法觀測參數中的角度變化率由相位差變化率法中的相位差變化率參數替換，提高算法的實時性和實用性。機載無源定位是一個典型的非線性濾波問題，對含有噪聲的數據進行觀測，從而估計目標的狀態。為了提高系統的定位精度和穩定性能，需要研究跟蹤濾波算法，對觀測信息進行最大限度的利用。

文獻[5]采用修正EFPF算法進行濾波，標準的無味卡爾曼濾波（unscented Kalman filter，UKF）算法在擴展卡爾曼濾波（extended Kalman filter，EKF）算法的基礎上，摒棄了線性化近似模型的做法，將隨機變量的概率分布進行近似，利用比例修正的對稱采樣策略，對一個n維狀分布態空間，選取2n+1個采樣點，提高了定位精度，不用計算雅克比矩陣，降低了算法的復雜度[6-7]。文獻[8]和文獻[9]采用改進的UKF算法提高系統的濾波性能。基于施密特正交變換（schmidt orthogonal transform，SOT）采樣策略的UKF（SOUKF）算法，經過施密特正交變換后確定n+1個采樣點，減少了UKF算法所需采樣點的數目，提高了計算效率[10]。文獻[11]采用的平方根UKF雙向濾波算法，提高了濾波性能，但計算比較復雜。本文提出了一種平方根球形無味卡爾曼濾波（square root spherical unscented Kalman filter，Sqrt-UKFST）算法，提高實時性的同時，采用單位超球體球面無味變換的采樣策略，在濾波算法遞推過程中采用平方根濾波的方法，提高了算法的數值穩定性及對初始值的魯棒性。

1 機載無源定位系統模型

以二維平面直角坐標系為例（見圖1），假設飛機在k時刻的位置坐標為（xOk，yOk），速度為（目標輻射源在k時刻的位置坐標為（xTk，yTk），速度為飛機O和目標輻射源T在k時刻的狀態向量分別為

圖1 飛機對目標輻射源定位的二維示意圖

1.1 系統的狀態方程

假設飛機做勻速直線運動，忽略加速度項。目標輻射源相對于飛機是勻速運動，相對運動狀態向量是

系統的狀態方程表示為

其中，xk和yk表示k時刻目標的位置變量，x˙k和y˙k表示k時刻目標的速度變量。表示狀態轉移矩陣，T表示測量周期，I2表示二階單位矩陣；是噪聲轉移矩陣[10]，狀態噪聲是二維零均值高斯白噪聲，其協方差矩陣是Qk。

1.2 系統的觀測方程

本文采用多普勒變化率的機載無源定位方法，只需要測量方位角、方位角變化率以及目標相對于飛機的多普勒變化率。系統的觀測方程表示為

其中，fT表示目標輻射源輻射的頻率，c表示電磁波傳播速度表示飛機距離目標之間的相對距離，h（Xk，νk）是從狀態向量向觀測向量轉化的非線性函數，量測噪聲是零均值高斯白噪聲，其協方差矩陣是

2 Sqrt-UKFST算法

2.1 單位超球體球面無味變換

UKF算法的計算成本與采樣點σ的數量成正比，有必要減少σ點。目前σ點的采樣策略有：無味、單純形和球形變換。假設系統的維度是n，無味變換需要2n+1個σ點；單純形變換需要n+1個σ點，它的數值穩定性與球體半徑2n/2有關[12-13]。本文提出的球形變換需要n+2個σ點，通過減少球面半徑至提高系統的數值穩定性。

其中，初始權重W0只影響選擇的四階及高階的σ點。球面半徑上的σ點分布取決于估計狀態向量的大小，保證所有σ點在一個單位超球體上。單位超球體球面無味變換步驟如下：

1）選擇初始權重0≤W0≤1。

2）計算權重的其余部分

其中，Wi表示均值和協方差加權的權值，i=1，2，…，n+1。

3）元素向量初始化

4）遞推擴展后（j=2，…，n），迭代公式如下：

2.2 平方根無味卡爾曼濾波器

對于標準的UKF算法，協方差矩陣Pk是通過公式Pk=SkSTk更新和分解到矩陣廣根Sk，σ點映射在每個時間步。然后，Pk矩陣重構來傳播更新σ點。Sqrt-UKFST算法直接傳播和更新Sk，沒有分解和重構矩陣Pk的需要，節省了重構Pk在每步的時間。平方根UKF算法利用3種方法更新和傳播：QR分解、喬里斯基因素更新（cholupdate）和最小二乘法[14]。Sqrt-UKFST算法步驟如下：

1）設置初始狀態均值和協方差

其中，chol表示cholesky分解。

2）計算σ點的預測值，i=0，1，…，n+1

3）狀態估計預測

4）估計狀態均值

5）協方差平方根遞推和更新

6）估計測量rk和均值

7）計算協方差測量Syˉk1和它的更新值

8）計算交叉協方差矩陣

9）卡爾曼增益Kk和狀態估計更新

10）更新協方差矩陣

3 仿真條件與結果分析

假設飛機起始點在坐標原點，作水平勻速直線運動且忽略姿態變化，速度為vx=vy=300m/s。飛機對平面上運動的目標輻射源進行觀測，目標的起始位置為 x0=2 km，y0=10 km，速度為 vx=vy=－15 m/s，加速度擾動噪聲的協方差矩陣為Q=0.001I2×2。對x方向和y方向分別進行觀測，觀測周期 1 s，持續時間100s，測量精度為σβ=3mrad，σfd=1Hz，σβ′=0.1mrad/s，σfd′=0.5Hz/s。

濾波誤差的均值用來描述算法的穩定性能，計算公式[14]為

式中：M——蒙特卡洛模擬次數；

N——采樣次數，k=1，2，…，N。

圖2 X方向和Y方向的估計誤差均值

圖3 RRE的統計平均值

表1 不同算法的單次運行時間

相對距離誤差（relative range error，RRE）用來評估算法的收斂性能。RRE的計算公式[15-16]為

其中（xk，yk）和分別表示目標在k時刻的真實位置和估計位置。

為了驗證算法的穩定性，收斂性和定位精度，對UKF、SOUKF和Sqrt-UKFST 3種算法分別進行100次Monte-Carlo實驗，得到濾波誤差在兩個方向上的均值曲線和RRE的統計平均值。分別如圖2、圖3和表1所示。

由圖2可以看出，Sqrt-UKFST算法比UKF算法和SOUKF算法的濾波性能都更穩定，曲線波動更小。

由圖3可以看出，在相同的觀測精度下，Sqrt-UKFST算法的定位精度最好且收斂速度最快，SOUKF算法次之，UKF算法最差。忽略曲線中個別發散點，若RRE<15%，則實驗結果收斂，否則發散。

由表1可以看出，Sqrt-UKFST算法和SOUKF算法的運算時間比UKF算法短，Sqrt-UKFST算法運算時間比SOUKF算法略多，仍然可以滿足實時性要求。

圖4 初始狀態估計相對誤差變化時3種算法定位精度曲線

表2 初始狀態估計相對誤差變化時3種算法定位精度 %

為了檢驗Sqrt-UKFST算法對初始值的魯棒性，初始狀態估計相對誤差取從0到100%的11組值。在不同的初始狀態估計相對誤差下，作100次Monte-Carlo實驗，將RRE的統計平均值作為算法的定位精度，仿真結果如表2和圖4所示。

由表2可以看出，在初始狀態估計誤差較低時，3種算法的定位精度都保持在15%以內，收斂性良好。當初始狀態估計誤差較大時，Sqrt-UKFST算法的定位精度保持在30%以內，UKF算法的定位精度達58.1%。

由圖4可以看出，UKF算法的變化程度最大，說明該算法對初始值估計相對誤差最敏感，而Sqrt-UKFST算法的變化程度最小，說明該算法對初始值的魯棒性最好。

4 結束語

本文在采用角度、角度變化率和多普勒變化率的機載無源定位方法的基礎上，提出了一種基于平方根球形無味的卡爾曼濾波算法（Sqrt-UKFST）。該算法以單位超球體球面無味變換為采樣策略，在滿足實時性要求的條件下，保證所有采樣點在一個單位超球體上，提高算法對初始值的魯棒性。同時，在濾波算法遞推過程中采用平方根濾波的方法，提高了濾波的穩定性和收斂性。仿真結果也表明，Sqrt-UKFST算法比UKF算法和SOUKF算法具有更好的跟蹤性能，對機載無源定位系統具有重要的應用價值。

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（編輯：劉楊）

Airborne passive location algorithm based on spherical square root unscented Kalman filter

PEI Pan1，2，DING Yonghong1，2，MA Tiehua1，2
（1.Key Lab of Instrumentation Science&Dynamic Measurement，North University of China，Taiyuan 030051，China；2.Key Laboratory of Electronic Measurement Technology，North University of China，Taiyuan 030051，China）

As the unscented Kalman filtering（UKF）in airborne passive location has greater impact on positioning accuracy and stability because of the initial value and numerical calculation error，an improved smoothing algorithm based on square root spherical unscented Kalman filter（Sqrt-UKFST）is presented.To guarantee that all sampling points on a unit hypersphere algorithm to improve the robustness of the initial value，the algorithm uses the unit hypersphere sphere tasteless converted by reducing the number of sampling points and the spherical radius.And the algorithm utilizes the square root matrix in the process of estimation to improve the stability of the filter. After 100 times Monte-Carlo experiments，simulation results show that the Sqrt-UKFST algorithm has better performance in the filter’s stability，convergence velocity and the robustness of the initial value.When the initial state estimation reaches big error，the positioning precision maintained less than 30%.

airborne passive location； algorithm accuracy； Sqrt-UKFST； sphericaltasteless transformation；robustness；stability

A

：1674-5124（2017）02-0093-05

10.11857/j.issn.1674-5124.2017.02.019

2016-06-06；

：2016-08-07

國家自然科學基金項目（61471385）

裴 畔（1991-），女，山西臨汾市人，碩士研究生，專業方向為機載無源定位。