顆粒調諧質量阻尼器減震控制的數值模擬

魯 正， 陳筱一， 王佃超， 呂西林

(1.同濟大學 土木工程防災國家重點實驗室，上海 200092； 2.同濟大學 結構工程與防災研究所，上海 200092)

顆粒調諧質量阻尼器減震控制的數值模擬

魯 正1,2， 陳筱一2， 王佃超2， 呂西林1,2

(1.同濟大學 土木工程防災國家重點實驗室，上海 200092； 2.同濟大學 結構工程與防災研究所，上海 200092)

提出一種顆粒調諧質量阻尼器，即通過擺繩將顆粒阻尼器懸掛于主體結構上，將目前廣泛應用的調諧質量阻尼器與減震效能優越的顆粒阻尼器結合起來，以擴大減振頻帶，增加減振魯棒性。基于一定的等效原則將多顆粒阻尼器等效為單顆粒阻尼器，提出一種近似的顆粒調諧質量阻尼器數值模擬方法，并介紹了系統參數的取值方法。進行了附加顆粒調諧質量阻尼器的單自由度結構實際地震輸入下的振動臺試驗，通過對比試驗結果與數值模擬結果，發現兩者吻合較好，說明該簡化方法可以較好地模擬顆粒調諧質量阻尼器的減震控制效果。

顆粒調諧質量阻尼器；調諧質量阻尼器；顆粒阻尼器；數值模擬；結構振動控制

調諧質量阻尼器(Tuned Mass Damper,TMD)由質量塊、彈簧和阻尼系統組成，通過調整TMD的自振頻率，使其接近主體結構的被控頻率，當主體結構受迫振動時，TMD隨之產生與主體結構相反的運動并施加反作用力于主體結構，輸入結構的振動能量通過調諧質量阻尼器逐步消散，從而控制結構的振動[1]。近年來，通過顆粒-結構、顆粒-顆粒之間的非彈性碰撞與摩擦來實現動量交換及結構能量耗散的顆粒阻尼器，克服了調諧質量阻尼器減振頻帶窄的缺點，具有對原系統改動小、可靠度高、耐久性好、對溫度變化不敏感(在顆粒金屬熔點以下均可正常使用，鎢粉能承受近2 000 ℃高溫)、易于用在惡劣環境等優點[2]，受到了廣大土木工程研究人員的重視，但目前在實際建筑結構工程中的應用甚少。本文嘗試將目前已成熟應用于工程實際的TMD與顆粒阻尼技術結合起來，通過擺繩將填充顆粒群的容器懸掛于主體結構上，形成一種新型的顆粒調諧質量阻尼器，以增強其在地震激勵下的能量耗散，并擴大其減振頻帶。

對于顆粒阻尼器在地震、風振等荷載下顆粒行為的數值模擬始終是一個難點。考慮到多顆粒碰撞引起運動量的突變，使其動力學行為表現出很強的非線性，系統很難得到解析解，學者們研究出一些簡化方法和數值方法。PAPALOU等[3]將多顆粒阻尼器通過一定的等效原則簡化為單顆粒阻尼器；FRIEND等[4]提出一種解析方法，即把多顆粒模擬為一個凝聚的質量塊，并將各種機理引起的能量耗散由一個通過實驗擬合得到的“有效恢復系數”表示；魯正等[5]基于離散單元法，建立了顆粒阻尼器對多自由度結構進行減震控制的數值模擬方法；閆維明等[6]建立了調諧型顆粒阻尼器的數值分析簡化模型，并提出了該模型等效阻尼比的能量估算方法。此外，學者們還提出了回歸模型法[7]和恢復力曲面法[8]等應用于顆粒阻尼技術的數值模擬方法。

本文提出一種新型的顆粒調諧質量阻尼器，基于等效前后顆粒阻尼器中腔體空隙體積相等以及顆粒質量相等的原則，將多顆粒阻尼器等效為單顆粒阻尼器，建立顆粒調諧質量阻尼器的數值模型，并進行試驗驗證，為今后工程應用提供一種簡單高效的分析方法。

1 數值模擬方法

本節采用等效的簡化方法來分析顆粒調諧質量阻尼器的減震效果。顆粒調諧質量阻尼器將顆粒阻尼器腔體通過擺繩與主體結構相連，對于腔體可按照單擺進行簡化，在傳統顆粒阻尼器的基礎上增加一個自由度即可。以下重點討論對多顆粒阻尼器的簡化方法。

1.1 多顆粒阻尼器等效方法

由于多顆粒在碰撞時表現出很強的非線性，因此要進行帶有多顆粒阻尼器的動力系統的精確分析是相當困難的。鑒于單顆粒阻尼器的理論分析比較完善，并考慮阻尼器的運動特點，本節采用以單顆粒阻尼器等效替代多顆粒阻尼器的方法來研究其振動響應[3]。等效原則如下：

(1)等效前后阻尼器腔體中的空隙體積相等。

(2)等效前多顆粒總質量與等效后單顆粒質量相等。

(3)等效前后顆粒均為球形，且密度均為ρ。

(4)等效前的多顆粒阻尼器為長方體，等效后的單顆粒阻尼器為圓柱體，且圓柱體的直徑與等效后單顆粒的直徑相等。

依據以上原則等效后得到的單顆粒阻尼器示意圖，如圖1所示。等效前后顆粒調諧質量阻尼器的參數及符號見表1。

圖1 多顆粒阻尼器和等效的單顆粒阻尼器Fig.1 Diagrams of particle damper and equivalent single unit impact damper

類型物理意義符號表示多顆粒阻尼器腔體尺寸(長，寬，高)(dx，dy，dz)單個顆粒質量m1p顆粒總質量m顆粒直徑Dp單顆粒阻尼器顆粒質量m3顆粒直徑D顆粒自由運動距離d

簡化方法如下：

等效前顆粒在阻尼器中占據的體積Vspd由式(1)得出，式中N是顆粒的總數，即N=m/m1p：

(1)

多顆粒阻尼器中的空隙體積Vepd由式(2)得出，式中Vpd是顆粒阻尼器的體積，并假設盒子顆粒與腔體的體積比，即顆粒填充率ρp=Vspd/Vpd：

Vepd=Vpd-Vspd=(1/ρp-1)Vspd

(2)

等效后單顆粒阻尼器的空隙體積Veid為：

(3)

根據等效原則式(1)，令式(2)和式(3)相等，可得：

(4)

HALES[9]的研究表明，半徑相等的球在發生球密堆積時體積比不能超過0.74，即ρp≤0.74。根據等效原則式(2)，m=m3，至此，建立了等效的單顆粒阻尼器中顆粒自由運動長度的表達式，即式(4)。

1.2 顆粒調諧質量阻尼器系統控制方程

圖2 計算模型簡圖Fig.2 Schematic diagram of computational models

其系統的控制方程用矩陣表示為

[K]{X(t)}={Fp(t)}

(5)

設振動臺的位移為xg(t)，主體結構的位移為x1(t)，質量為m1；腔體的位移為x2(t)，質量為m2；顆粒的位移為x3(t)，質量為m3。則系統控制方程展開如

圖3 G(y)和的形式Fig.

1.3 數值模擬流程

本文對于顆粒調諧質量阻尼器的數值模擬采用如下的流程：①確定主體結構、顆粒調諧質量阻尼器和荷載的相關參數，并確定結構的初始運動狀態；②計算等效的單顆粒阻尼器的自由運動距離d；③計算主體結構動力響應，繪制數值模擬結果的響應時程曲線并與實際測量曲線對比，并對比響應的峰值結果。參數選取詳見2.2。

該數值模擬過程運用MATLAB軟件實現，調用程序中內置的求常微分方程數值解的方法ode45，即四階-五階龍格-庫塔(Runge-Kutta)算法。輸入主體結構和顆粒調諧質量阻尼器的相關參數，以及1.2中的控制方程，即可進行迭代求解。

2 數值模擬結果及試驗驗證

為了驗證本文提出的簡化方法用于顆粒調諧質量阻尼器減震控制模擬的可行性和合理性，開展了一個單自由度結構附加顆粒調諧質量阻尼器的模擬地震振動臺試驗。

1.4 試驗簡介

試驗主體結構模型為單自由度鋼排架，為了模擬常見的高層結構，調整結構的基頻至1.0 Hz左右，在結構頂部附加6 kg質量塊，最終其自振頻率為1.37 Hz。填充顆粒的盒子通過四根細線垂直懸吊在結構頂部。盒子橫截面尺寸相同，均為60 mm×60 mm，長度為80 mm。盒子內置26顆直徑為10 mm的鋼球，顆粒密度為ρ=7 644 kg/m3，單個顆粒質量為m1p=0.032 kg。

試驗中采用El-Centro波和Kobe波作為結構底部的振動輸入。在進行數值模擬時，從采集的臺面加速度時程曲線中截取一個完整波作為計算輸入波。為方便起見，將各質點的位移和速度初值賦為0。本文將計算得到的結構頂層加速度與位移時程曲線與試驗采集得到的結果進行比較，通過二者的對比來驗證該簡化方法的準確性。關于試驗過程及結果在文獻[10]中有詳細介紹，本文僅介紹數值模擬參數的選取和結果。

2.2 數值模擬參數取值

主體結構的質量可以通過測量模型的實際質量得到，其圓頻率和阻尼比可以通過試驗前的白噪聲掃頻，并考慮模型加工誤差，采用半功率法得到。同理，可得阻尼器腔體的質量，考慮到調諧的因素，其圓頻率與主體結構的自振圓頻率取值相同。

腔體的阻尼比較難測得，在數值模擬時通過試算的方式確定，計算發現當腔體阻尼比低于0.05時，主體結構的響應幾乎不變，即主體結構的響應對于腔體阻尼比并不敏感。本文取腔體阻尼比為ξ2=0.05。

根據MASRI[11]的研究，當ω3≥20ω1時，可以較合適地模擬顆粒與容器壁的相互作用。本文取顆粒圓頻率ω3=20ω1，即ω3=172.16 rad/s。

顆粒的阻尼比ξ3與顆粒的恢復系數e存在如圖4所示的關系[5]。在本文的試驗中，根據文獻[12]，顆粒的恢復系數e一般取為0.25，由圖4關系可得ξ3=0.375。

數值模擬中用到的系統參數匯,總如表2所示。

由于振動臺面的數據采集頻率為500 Hz，因此上述數值模擬過程均以0.002 s為計算步長。

圖4 顆粒阻尼比與恢復系數關系圖Fig.4 Relationship between damping ratio ξ3 and coefficient of restitution e

Tab.2 Values of system parameters

質量/kg圓頻率/(rad·s-1)阻尼比主體結構7．68．6080．032阻尼器腔體0．1288．6080．05等效后的單顆粒0．832172．160．375

2.3 數值模擬結果

圖5顯示了附加顆粒調諧質量阻尼器的單層鋼排架模型頂層在El-Centro波地震激勵下加速度和位移響

應的計算值和試驗值對比曲線。總體上看，兩者符合較好，但有部分區段計算值和試驗值存在一定誤差。一方面是由于為方便起見，數值模擬時將位移和速度初值賦為零所致，隨著計算的逐步進行，初值的選取對結構在地震激勵下響應的影響逐漸減小；另一方面是由于顆粒阻尼器在地震激勵下表現出很強的非線性，本文提出的數值模擬方法對此有一定程度的簡化，比如并未考慮顆粒之間的碰撞的影響。

此外，表3列出了附加不同顆粒形式的顆粒調諧質量阻尼器的結構模型在不同激勵下的頂層峰值和均方根加速度響應計算值與試驗值的對比，發現峰值加速度兩者吻合較好，而均方根加速度也可以將誤差控制在可接受的范圍內。事實上，在高層建筑結構抗震設計的時候，對于主體結構舒適度的要求，主要就反映在最大加速度的數值上面，設計人員對該數值十分關心。而本簡化方法能對該數值給出一定程度的合理預測。

圖5 附加顆粒調諧質量阻尼器模型頂層在地震激勵(El-Centro波)下的響應Fig.5 Response at roof level of the test frame with particle tuned mass damper under earthquake excitations (El-Centro Wave)

地震波類型顆粒形式峰值加速度計算值/(m·s-2)試驗值/(m·s-2)誤差/%均方根加速度計算值/(m·s-2)試驗值/(m·s-2)誤差/%4個20mm鋼球2．60242．56451．460．56960．53785．58El?Centro5個20mm鋼球2．60492．6949-3．460．55820．55380．7919個10mm鋼球1．96741．92991．900．57710．54944．8126個10mm鋼球1．88331．82593．050．57630．56072．714個20mm鋼球3．52153．5518-0．860．50560．5377-6．34Kobe5個20mm鋼球3．74003．73540．120．53450．5799-8．4919個10mm鋼球3．88693．85620．790．52450．5751-9．6426個10mm鋼球3．64103．7484-2．950．49830．5435-9．07

總體而言，本文提出的數值模擬方法能夠較合理地計算出附加顆粒調諧質量阻尼器系統在實際地震激勵下的響應，并且由于其原理簡單、操作方便，具有一定的實用價值。然而，要更精確的模擬附加顆粒調諧質量阻尼系統在地震激勵下的行為，尤其是考慮顆粒之間碰撞對減振性能的影響，還需要進一步的研究。

3 結 論

本文在顆粒阻尼器和調諧質量阻尼器的基礎上，結合各自的優點，提出一種新型的顆粒調諧質量阻尼器。基于等效前后顆粒阻尼器內空隙與腔體體積比一致以及多顆粒總質量與等效后單顆粒質量相等的原則，將多顆粒阻尼器簡化為單顆粒阻尼器，建立顆粒調諧質量阻尼器的數值模型，并介紹了系統參數的取值方法。為了驗證該方法的可行性和準確性，進行了附加顆粒調諧質量阻尼器的單自由度結構實際地震輸入下的振動臺試驗，通過數值模擬結果與試驗結果的對比發現兩者整體吻合較好，并且加速度峰值和均方根也吻合良好，說明該簡化方法可以較好地模擬顆粒調諧質量阻尼器的減震控制效果，有助于進一步了解其物理本質，從而為進一步推廣其在土木工程中的應用提供有效的分析途徑。

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Numerical simulation for vibration reduction control of particle tuned mass dampers

LU Zheng1,2, CHEN Xiaoyi2, WANG Dianchao2, Lü Xilin1,2

(1. State Key Laboratory of Disaster Reduction in Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China;2.Research Institute of Structural Engineering and Disaster Reduction, Tongji University, Shanghai 200092, China)

A particle tuned mass damper was proposed by hanging a particle damper on a main structure through a string. It combines a widely used tuned mass damper with an efficient particle damper in vibration control area. Thus it is able to increase the robustness of damping performance within a wider frequency band. Here, an approximate numerical simulation method for particle tuned mass dampers was proposed based on an equivalent priciple to take a multi-particle damper as an equivalents single-particle damper. The method to determine the corresponding system parameters was also introduced. A series of shaking table tests of a single DOF structure attached with a particle tuned mass damper under seismic imputs were performed. A comparative study showed that the simulation results agree well with the test ones, so the proposed simplified method can be used to simulate vibration reduction control effects of particle tuned mass dampers.Key words: particle tuned mass damper; tuned mass damper; particle damper; numerical simulation; structural vibration control

國家自然科學基金(51478361);中央高校基本科研業務費專項資金項目

2015-11-20 修改稿收到日期：2016-01-24

魯正 男，博士，副教授，1982年生

TU352；TB535

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.03.008