盤式分布拉桿轉子系統扭轉振動非線性動力學特性分析

李忠剛， 陳照波， 朱偉東， 梁廷偉

(1.哈爾濱工業大學 機電學院，哈爾濱 150001；2.哈爾濱工業大學 航天學院，哈爾濱 150001；3.美國馬里蘭大學 機械工程，美國巴爾的摩 21250)

盤式分布拉桿轉子系統扭轉振動非線性動力學特性分析

李忠剛1,2， 陳照波1， 朱偉東2,3， 梁廷偉2

(1.哈爾濱工業大學 機電學院，哈爾濱 150001；2.哈爾濱工業大學 航天學院，哈爾濱 150001；3.美國馬里蘭大學 機械工程，美國巴爾的摩 21250)

隨著燃氣輪機技術的發展，盤式分布拉桿轉子系統在燃氣輪機等動力機械中得到廣泛應用。主要研究盤式分布拉桿轉子扭轉振動的非線性動力學特性，通過考慮葉盤接觸效應和拉桿等效簡化，建立一個新的系統扭轉振動方程。利用多尺度方法求解動力學方程解析解，并獲得拉桿轉子系統扭轉振動幅頻方程和解析曲線，根據奇異性理論獲得系統轉遷集，并利用動力學系統的擾動方程零解穩定性研究原系統的周期解的穩定特性，并發現系統動力學參數對其影響規律，并根據新模型建立實際結構參數與非線性動力學參數的聯系，給出系統穩定性邊界條件。分析結果對燃氣輪機轉子系統動力學設計具有一定的指導意義。

非線性轉子動力學；扭轉振動；多尺度法；盤式分布拉桿轉子；穩定性分析

隨著經濟的高速發展，我國對能源需求日益增加。雖然各種新能源技術不斷涌現，但是我國電力能源主要來源于火力發電。燃氣-蒸汽聯合循環機組(Gas-Steam Combined Cycle，GSCC)和整體煤氣化燃氣-蒸汽聯合循環機組(Integrated Gasification Combined Cycle，IGCC)發電是當今國際上先進的潔凈煤發電技術，具有高效、低污染、節水和綜合性能高等優點。伴隨著燃氣輪機技術的發展，由于盤式分布拉桿結構的轉子具有質量輕、易于冷卻、易于安裝等特點在重型和輕型燃氣輪機中獲得了廣泛的應用，如，GE公司和三菱公司都采用盤式分布拉桿轉子結構形式[1]。盤式分布拉桿轉子是這類燃氣輪機的核心部件，其轉子動力學特性決定了燃氣輪機整機的工作性能。但是研究盤式分布拉桿轉子力學模型及其振動特性的文獻起步較晚[2]。KIM[3]考慮了分布拉桿預緊力對周向拉桿轉子輪盤剛度的影響。王艾倫等[4-5]考慮了分布拉桿轉子非連續界面上的接觸效應，運用鍵合圖法建立了盤式分布拉桿轉子彎曲振動和扭轉振動的動力學模型，并對比了實驗與理論計算彎曲振動和扭轉振動固有頻率。李光輝等[6]考慮了拉桿引入的附加剛度和附加力矩，運用Poincaré-Newton-Floquet方法對滑動軸承支承下周向拉桿轉子系統的非線性動力特性進行研究，得到不同轉速和質量偏心下系統穩態周期解的穩定性邊界和分岔形式。高進等[7]考慮了接觸面的雙重分形，并通過理論分析了盤式分布拉桿轉子接觸效應對扭振模態的影響。劉恒等[8-9]和HEI等[10-11]研究盤式分布拉桿轉子在考慮不同軸承支承下，轉子軸承系統的非線性動力學特性。

圖1 葉輪機由扭振導致葉片損傷Fig.1 Turbine bucket damage from torsional resonance

而由于電力工業發展，單級容量不斷增大，軸系長度不斷加長，且軸系相對截面積不斷降低，整個盤式分布拉桿轉子軸系不能再簡單的看作剛體轉子，因此研究以盤式分布拉桿轉子為主結構的燃氣輪機扭轉振動動力學特性是非常必要的，如圖1，為GE某型號葉輪機在扭轉因素下導致葉片損傷[12]。關于盤式分布拉桿轉子扭振方面的研究并不多見，而且大部分論文主要研究的扭振的模態特性，對動力學特性研究幾乎沒有。本文將根據盤式分布拉桿轉子結構特征進行簡化，并考慮輪盤界面接觸效應，建立其扭轉振的簡化非線性動力學模型，并利用多尺度法研究盤式分布拉桿轉子扭轉振動非線性系統主共振幅頻特性，進一步研究盤式分布拉桿非線性轉子系統主共振周期解的穩定性，為盤式分布拉桿轉子扭轉振動特性研究提供一種理論分析方法，并為后續試驗研究提供理論指導及基礎。

1 盤式分布拉桿轉子扭轉振動模型

1.1 葉盤間接觸剛度和阻尼分析

在實際工程中，拉桿轉子在預緊力的作用下將各葉輪盤緊壓在一起，因此接觸面存在著微小的彈性變形。在外扭力矩的作用下，接觸面上的彈性變形微單元相對于每個物體未變形區將出現切向位移，但接觸面之間沒有整體滑動，即“微滑”(Micro-Slipping)運動[13]。拉桿轉子在正常工作過程中正是通過各輪盤之間黏附摩擦層的“微滑”摩擦力來傳遞扭矩的。BOUCHAALA[14]建立并通過實驗手段校驗了兩個粗糙平面的摩擦滑移模型，其滑動模型中切向力與切向位移關系,如圖2所示。

圖2 滑動條件下的切向力和切向位移關系Fig.2 Slipping behavior under tangential force versus tangential displacement

其加載和卸載過程的切向力以及宏滑動時的摩擦力表示為：

(1)

盤式分布拉桿轉子在預緊力作用下，葉盤與葉盤間的接觸面阻尼比可表示為：

(2)

1.2 周向分布拉桿扭振分析

典型盤式分布拉桿燃汽輪機轉子結構可以簡化如圖3所示，整個轉子由N個周向分布的拉桿和多級葉輪盤組成。為方便對拉桿轉子扭轉振動進行研究，假設每個拉桿為等截面圓柱梁，忽略轉速對分布拉桿慣性矩的影響，在轉子左端旋轉面建立旋轉坐標系Oxyz，轉速為ω0，如圖4所示；拉桿轉子受到扭轉作用時，拉桿右端(末端)由原始位置A移動到位置B，在右端建立相對旋轉坐標系Ox′y′z，當扭轉力作用時拉桿右端截面變形位移示意圖,如圖5所示。

圖3 盤式分布拉桿燃汽輪機轉子結構示意簡圖Fig.3 The structure schematic of distributional rod fastening rotor in the gas turbine

圖4 盤式分布拉桿轉子等效簡化結構圖Fig.4 The equivalent simplified structure of distributional rod fastening rotor

圖5 拉桿末端截面位置示意圖Fig.5 Position schematic of the end section of the rod fastening

首先，對單個拉桿進行受力分析，可得一個拉桿由彎曲變形所產生的扭轉力矩為

(3)

式中:Ft為拉桿彎曲力的切向分量；R為拉桿中心到轉子中心的距離；E為彈性模量；I為慣性矩；l為拉桿的長度。

此外，假設每個拉桿圓柱面末端扭轉角度為2φ，如圖5所示，則其圓柱截面的扭轉力矩為

(4)

式中:G為剪切彈性模量；Ip為截面的極慣性矩。

1.3 盤式分布拉桿轉子扭振模型及分析

在實際工況中，燃氣輪機轉子葉片會受到氣流激振力作用，以及發電機或電網對燃氣輪機轉子扭轉作用，根據式(1)～(4)可將盤式分布拉桿轉子系統動力學方程寫為

(5)

(6)

式中:Id為葉盤截面慣性矩；A為葉盤間接觸面積。

因此，動力學系統(3)的無量綱形式可整理為

u″+ω02u-ε(k3u3-μu′)=Fcosωt

(7)

根據實際結構(具體結構參數見表1所示)，數值計算了原系統(5)的振動特性和簡化后模型(7)升降速下的系統幅頻曲線，如圖6所示。在降速過程中，原模型和簡化后模型幅值數據吻合較好。雖然當轉速超過1 595 rad/s后簡化后模型相對原模型幅值較大，但是在此轉速下兩個模型都同時存在跳躍現象，升速結果與減速結果類似，不在贅述。由簡化模型的升、降速曲線，可見在1 595 rad/s左右的轉速區間，系統振動幅值存在兩個穩定的解，下面將通過理論分析研究此系統的非線性動力學特性。

表1 分布式拉桿轉子系統結構參數

圖6 系統簡化前后振動幅值對比分析圖Fig.6 Analysis chart of amplitude of the system before and after simplify

2 非線性扭轉振動系統主共振分析

當外激勵頻率ω接近派生系統頻率ω0時，系統發生主共振，由于系統是線性小阻尼系統，這時很小的外激勵幅值F就會激發出強烈的共振，此時對外激勵幅值和頻率加以限制標上小量：F=εf，ω=ω0+εσ，其中σ作為激勵頻率調諧參數。則動力學系統(7)可表示為：

(8)

本文只研究系統一次近似解，因此用兩個時間尺度，故設

u(t)=u0(T0,T1)+εu1(T0,T1)

(9)

定義偏導算子：

(10)

將式(9)和(10)代入式(8)中，整理ε同次方程可得：

(11)

為消除方程(11)的久期項可得到動力學系統(8)平均方程為：

(12)

令φ=σT1-β，則方程(12)可以簡化為：

(13)

為確定穩態運動定常解振動幅值和相位，即D1a=0，D1β=0，則消除三角函數后的系統分岔方程為：

(14)

利用表1中的參數，根據分岔方程(14)可得系統(7)的幅頻曲線，如圖7所示。由于系統存在軟特性，驗證了圖6中升、降速下振動峰值會在不同位置出現。為了更好的研究系統的非線性因素對系統動力學行為的影響，僅考慮方程(8)的非線性動力學特性。

圖7 幅頻曲線Fig.7 Amplitude-frequency curve

圖8為動力學系統(8)不同參數下的幅頻曲線，分析可知扭轉振動系統的剛度在主共振時有時會表現為軟彈簧特性，并幅值存在三解特征，如圖中間紅曲線是不穩定解，黑曲線為穩定解。圖8(a)說明，當系統阻尼系數越高，系統在主共振附近的振動越低，而且當阻尼增加到一定程度后，動力學系統將不再會出現跳躍現象，而且振動幅值也會減低，這一現象主要是由于非保守動力學系統中的阻尼將消耗系統振動能量。而外激勵的振動幅值與之相反，如圖8(b)所示。圖8(c)說明系統主共振時的幅頻曲線出現軟彈簧特性是由于系統非線性剛度引起的，只有當非線性剛度較小時動力學系統會表現出線性振動特性。因此，在實際工程設計時，首先需要在設計參數上避免出現分岔現象，其次需要將振動幅值盡量降低，以便在通過共振區時系統擁有較強的動力學穩定性。

圖8 幅頻曲線Fig.8 Amplitude-frequency curve

為了更好的研究系統(8)在不同參數域內動力學特性變化規律，根據奇異性理論[15]，系統(8)的轉遷集Σ的分岔集B，滯后集H和雙極限點集D為：

(1)分岔集：

B={α∈Rk|?(x,λ)∈R×R,G=Gx=Gλ=0}；

(2)滯后集：

H={α∈Rk|?(x,λ)∈R×R,G=Gx=Gxx=0}；

(3)雙極限點集：

D={α∈Rk|?(x,λ)∈R×R,G=Gx=0}

(15)

根據所選擇的工程開折參數不同，系統轉遷集所劃分的系統參數域,如圖9所示。由圖9可知在參數的不同區域系統的幅頻曲線特性不同及其變化規律，其規律可以更好的指導工程設計。

圖9 系統參數轉遷集Fig.9 Transition set of the system

3 動力學系統主共振周期解穩定性分析

下面進一步深入研究動力學系統(8)主共振定常解的穩定性邊界，進而為轉子設計提供理論指導。可設系統(8)的存在周期運動up，其附近的小擾動Δu，則周期解附近的擾動方程可表示為

(16)

設周期解up=acos(ωt-φ) 代入式(16)，并簡化得：

Δu″+2εμΔu′+

(17)

此時，令τ=ωt-φ，則有

(18)

（5）樁身的中心線，其偏差不可超過樁徑的0.2倍，當開挖深度達到500mm時，由專業測量人員進行尺量測定。

首先，將方程(16)待求解v和δ(ε)關于ε展開，

(19)

代入方程(18)比較ε同次方程得：

(20)

解方程組(20)第一式，可得到周期解形如：

v0=acos(δ0τ)+bsin(δ0τ)

(21)

令δ0=1，則解為v0=acosτ+bsinτ，代入方程(20)第二式中，可得：

v″1+v1=-[(δ1+η)a+2μsb]cosτ+

[2μsa-(δ1-η)b]sinτ-

η(acos(3τ)+bsin(3τ))

(22)

消除其久期項的條件為：

(23)

(24)

在此條件下，方程(18)解為：

v=acosτ+bsinτ+

(25)

(26)

(27)

由圖10可知，對于非線性系統(18)在振動幅值較大時，系統都會存在零解失穩，即原系統周期解失穩；在不同系統參數域內，如阻尼、立方剛度和激勵頻率等，周期解穩定區域也會不同。圖11說明系統可由不同的振動幅值會導致不同周期解。此外，由數值研究發現系統當量阻尼μ取值在一定區域內致使式(27)中周期解無解，說明阻尼較大時會使得系統不出現突跳現象，如圖7(a)所示。

圖10 不同參數下零解失穩曲線Fig．10Theunstablecurvesofnullsolutionswithsomeparametersω0=10，μ=0．2，k3=5，f=3．5，σ=-0．5圖11 不同初值下的周期解相圖Fig．11Phasechartoftheperiodsolutionwithdifferentinitialvalues

4 結 論

本文主要研究了盤式分布拉桿轉子系統在考慮接觸效應下拉桿扭轉振動的非線性動力學特性。研究結果表明：非線性動力學系統中的動力學參數，如阻尼、非線性剛度和外激勵頻率等對系統非線性動力學特性和周期解的穩定性有一定的影響。

(1)阻尼系數較大時，動力學系統會變為過阻尼系統，可以避免振動幅值發生跳躍現象；

(2)動力學系統中較大的非線性剛度、較小的線性剛度和較大的外激勵幅值都會導致系統振動幅值出現跳躍現象，因此在設計時需要綜合調整各個結構參數，例如，適當增加拉桿數量N和拉桿分布半徑R等，以避免系統出現較強的非線性動力學行為，從而導致系統故障；

(3)系統(7)中的動力學參數與實際結構參數相關。當改變某一實際結構尺寸，會導致各個動力學參數都發生不同變化，因此，在設計燃氣輪機分布拉桿轉子系統時需要根據不同的結構參數進行非線性動力學分析；

(4)在實際工程中，拉桿轉子在設計階段需要盡量避開式(26)所給出的導致系統周期失穩的敏感區域，而且當系統在滯后區域內發生周期振動時，盤式分布拉桿轉子系統在運行中盡量降低突加扭轉負荷，使系統盡量穩定到幅值較小的周期解上。

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Nonlinear dynamic characteristics analysis for torsional vibration of a distributed disk-rod-fastening rotor system

LI Zhonggang1,2, CHEN Zhaobo1, ZHU Weidong2,3, LIANG Tingwei2

(1.School of Mechatronic Engineering, Harbin Institute Technology, Harbin 150001, China;2.School of Astronautics, Harbin Institute Technology, Harbin 150001,China;3.University of Maryland, Mechanical Engineering, Baltimore, MA 21250, USA)

Distributed disk-rod-fastening rotor systems are widely used in power machineries with the development of gas turbine technology. Here, the nonlinear dynamic characteristics of the torsional vibration of the rotor system considering influence of blade-disk contact effects were studied. The torsional vibration equation for the distributed disk-rod-fastening rotor system was established. With the method of equivalent and simplifying. Using the multi-scale method, the analytical solutions to the dynamic equation were obtained, and the rotor’s amplitude-frequency equation and the analytical curves of the rotor system were figured out. Based on the singular theory, the transition set of the system were obtained. With the zero solution of the perturbation equation of the rotor dynamic system, the stability characteristics of periodic solutions of the rotor system versus the dynamic paramic parameters of the system were investigated. According to the dynamic model of the system, the relationships between the actual structural parameters and the nonlinear dynamic parameters of the system were built, the stability boundary conditions of the system were derived. The results provided a guidance for designing the rotor system of gas turbine machineries.

nonlinear rotor-dynamics; torsional vibration; multi-scale method; distributed disk-rod-fastening rotor; stability analysis

國家自然科學基金(11302058；11272100);中國博士后面上基金(2013M541360)

2015-07-28 修改稿收到日期：2016-01-27

李忠剛 男，博士后，1982年6月生

陳照波 男，博士,教授，1967年4月生

O347.6

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.03.034