星空中的N體問題（下）

陳厚尊

1772年，法國著名數學家、物理學家約瑟夫·拉格朗日在一篇論文中首次利用自己建立的分析力學理論，嘗試求解了一類簡化的三體模型，即所謂的“平面限制性三體問題”。這里的“平面”指的是三個星體的運動被固定在同一平面上。考慮到太陽系各大行星的共面性，這個假設是有實際意義的。“限制性”指的是其中一個星體的質量同另外兩個星體相比可忽略不計。如此一來，兩個大質量的星體就構成了一個普通的二體系統，小質量星體同時受到兩個大星體的引力牽引。拉格朗日的研究表明，對小質量星體而言，二體系統中有5個位置頗為特殊的點，它們都是該系統的平衡點，或者稱為不動點，小質量星體在這里不會感受到外力。后人將這5個點命名為“拉格朗日點”。

從力學穩定性上看，前三個拉格朗日點在垂直于二體連線的方向上是不穩定的（圖中的紅色箭頭）。這就如同一座倒置的金字塔，雖然理論上成立，可是任何微小的擾動都會被放大，導致不可逆的位置偏離。后兩個拉格朗日點的所有方向都是力學穩定的，除非受到足夠的外部影響，否則只能在平衡點附近振蕩。在太陽系里，木星是八大行星中體積和質量最大的，所以日木系統的拉格朗日點相對特殊一些。遺憾的是，受限于當時的觀測能力，拉格朗日的三體理論一直沒能得到觀測上的支持，許多人覺得這也許只是紙上談兵的純理論游戲。直到1906年2月，德國天文

學家馬克斯·沃爾夫在木星軌道上超前于木星位置60°附近發現了第588號小行星（沃爾夫以希臘英雄阿喀琉斯的名字命名它），這才證明了拉格朗日點的真實存在。

自進入航天時代以來，日地系統的拉格朗日點越來越受到重視，尤其是L1點和L2點。相較于普通的人造衛星軌道，前者能擺脫地球運動方向的干擾，尤其利于太陽的觀測;后者能擺脫太陽和地球的電磁波干擾，尤其利于深空目標的觀測。雖然從理論上來說，前兩個拉格朗日點都是不穩定的，可實際情況中，航天器受擾動飄離平衡點所需的時標比較長。在此期間，只要航天器及時校正軌道，就能在L1點和L2點長期駐留。另外，針對前兩個拉格朗日點存在的日凌干擾問題，NASA的軌道設計專家羅伯特·法庫爾設計出一種圍繞拉格朗日點做圓周運動的暈軌道。目前，歐空局和NASA共同研制的SOHO衛星就運行在日地系統L 1點的一個暈軌道上。2018年10月，日地系統L2點的暈軌道將迎來哈勃空間望遠鏡的繼任者：詹姆斯·韋伯空間望遠鏡。

事實上，現實中能觀察到的穩定的三體模式屈指可數。19世紀末期，三體問題進入純理論研究范疇，動力學理論與天文學之間的關系似乎漸行漸遠。可是誰也沒有料到，多年以后三體問題竟會以一種全然不同的面孔重返現實。

瞥見混沌

《數學學報》是一本創刊于1882年的頂級數學期刊，由瑞典著名數學家米塔·列夫勒發起。在《數學學報》1885年—1886年第7卷上，有一則關于“奧斯卡國王獎”的通告。通告中說，數學家狄里克雷在去世前不久寫給幾何學家克羅內克的信中，稱自己發現了一種能夠對力學中的微分方程進行積分的方法。應用該方法，他能夠嚴格給出太陽系的穩定性證明。遺憾的是，我們對此方法一無所知。為了慶祝挪威與瑞典國王奧斯卡二世的60歲生辰，雜志決定懸賞重新發現該方

法，并給出N體問題通解的第一人。

在當時，這一獎項的名聲甚至超過今日的諾貝爾獎。布告發出后不久，數學界的研究重心就轉向了N體問題，許多人都希望通過參加競賽提升自身知名度。但是，最后只有5個人按時提交了論文，其中就包括龐加萊的那篇討論三體問題的文章。盡管龐加萊的工作沒能給出通告里期望的那個解答，但其結果依然非常重要，甚至可以說開啟了天體力學的新紀元，龐加萊也因此獲得了僅有的那一屆“奧斯卡國王獎”。此后，該獎項便夭折了。否則，今天數學界的最高榮譽就不是菲爾茲獎了。

嚴格地講，人們對混沌現象的認識始于龐加萊的這篇論文，雖然龐加萊本人從未意識到這一點，更不曾在論文中使用“混沌”這類字眼。19世紀后期，機械決定論的思想籠罩科學界，而且龐加萊骨子里的謙遜和藹不允許他做出離經叛道的研究，否則，狹義相對論的提出者就不會是愛因斯坦了。在今天，“混沌”這個詞被濫用于各行各業，只要是沒有什么明顯規律的行為，似乎都可以同混沌掛上鉤。事實上，混沌現象是一類有明確定義的動力學行為，一個系統必須具備如下3條性質方可被稱為混沌：①系統行為對初值敏感;②有密集的周期解;③至少存在一條填滿相空間的軌道。依現代的觀點看，龐加萊當年的論文實際上證明了“平面限制性三體系統”是一個混沌系統。

毫無疑問，龐加萊本人拒絕接受混沌現象的存在，他無法理解僅有三個質點的動力系統為什么會出現如此古怪的行為。在論文的最后一個部分，龐加萊實際上已經瞥見了三體系統的相空間所具有的怪異結構。他在論文里的措辭十分謹慎，他相信，N體問題的復雜性遠在那個時代的數學研究水平之上。龐加萊希望今后的研究者能仔細篩查自己的研究對象，留意其中是否也存在與此類似的問題。富有戲劇性的是，經過一個多世紀的探究，人們最終證明混沌現象充斥于科學領域的方方面面，它與20世紀初建立起來的量子力學一道，徹底埋葬了機械決定論的哲學大廈。

N=3，4，5……8

在天文學上，擁有3顆及以上恒星的體系常被稱為聚星系統。天文學家發現，這些聚星系統往往以二體系統為基礎，自下而上逐級構成。例如，勾陳一系統的結構同半人馬座三星類似，都是A、B兩星近距離相互繞轉，C星在外圍繞A、B兩星的質心運轉。再比如五車二的四合星系統，它包含了兩對雙星體系：一對紅巨星，一對紅矮星，后者在10000天文單位外圍繞前者緩慢運行。之所以會出現這種格局，一方面當然要歸咎于二體系統本身的力學穩定性，但更重要的原因是，這樣的格局也許是絕大多數N體系統最終的演化命運。

計算機的發明與使用是20世紀的一件大事，它將科學家從繁瑣的計算中解脫出來，把更多的智慧用于對問題的全局把握。當然，并非每一個領域的研究者都會積極地擁抱新技術的到來。據說，普林斯頓高等研究院的許多數學家一度非常排斥計算機的使用。相較之下，在最渴望使用計算機的人群中，天文學家和天體力學家占了相當的比重。其中一些人把N體問題的數值算法編入計算機程序，于是，N體系統的數值模擬就成了某種具有消遣性質的數學游戲，枯燥的N體問題一下變得有趣起來。模擬的例子多了，規律自然就會顯現出來。當然，嚴謹的數學論證還是少不了的，畢竟沒人會把數值模擬當作可靠的證明。不可否認的是，數值模擬的結果確實會為研究者指明努力的方向。

其中一個有代表性的例子被稱作“畢達哥拉斯問題”。這是一個平面三體問題，由雅克比的學生梅塞爾于1893年提出。問題是這樣的：將質量比為3∶4∶5的三顆星體分別放置于畢達哥拉斯三角形（即邊長比為3∶4∶5的直角三角形）的頂點，在初始時刻以靜止釋放它們，該系統在萬有引力的作用下，最終的演化命運如何？梅塞爾和布魯曾為此做過大量的計算，但沒有取得有價值的結果。1966年，兩個分別來自耶魯大學和蘇黎世聯邦工業大學的研究小組，針對該問題分別編寫了一組計算機模擬程序，得出的結果令人震驚：經過一段令人目眩的相互旋繞之后，忽然某一個瞬間，3顆星體變得異常接近，幾乎要碰撞在一起;之后，兩顆星體組成了一對緊密的雙星系統，由此引發的彈弓效應將第3顆星體高速拋出。它獲得的動能全部來自二體系統損失的引力勢能。

在這個模型中，我們仿佛目睹了半人馬座三星的誕生經過：在遙遠的過去，南門二雙星和比鄰星也許是誕生在同一片星云里的三個恒星胚胎。在原恒星時代，它們也曾經歷過令人目眩卻稍縱即逝的“亂紀元”。之后的某個瞬間，3顆星抵達了碰撞的邊緣，比鄰星終于被彈弓效應高速拋出，形成了如今的局面。

將這個例子推而廣之，恐怕就可以解釋星空中聚星系統的奧秘了。

N=9

八大行星加上中心的太陽構成了一個九體系統。于是，我們再次回到太陽系的穩定性問題上來。

當然，這樣的理解方法對問題的解決毫無助益。根據龐加萊的研究，我們不難猜測，太陽系的動力系統多半是混沌的，并沒有理由認為矮行星和小行星的攝動作用可以被忽略。因此，太陽系的穩定性問題本質上是一個極端復雜的多體問題。即便如此，對八大行星、矮行星和絕大多數的小行星而言，橢圓軌道已是足夠好的近似，縱然它們的軌道參數存在這樣那樣的長期變化，但其原因也能用大行星間的攝動理論一一解釋。攝動作用確實會產生更高階的近似項，不過，每一

項都可以用含有時間項的無窮級數去逼近，直到達到所需的精度。與此相關的所有力學理論，都被法國物理學家、數學家拉普拉斯系統地集成于他所著的5卷16冊《天體力學》里。拉普拉斯在書中宣稱，他證明了太陽系是長期穩定的，大行星間的一階攝動效應不會隨時間發生積累。后來，數學家泊松進一步證明二階攝動效應同樣不會積累。今天，我們知道，行星間的任意階攝動效應都不會積累，只會產生有限的振蕩項。可是，這個結論依然不具有說服力，因為當太陽系的演化時標被拉長至千萬年的時候，混沌現象開始出現，情況也會隨之發生一些變化。

1963年，數學家柯爾莫戈洛夫、阿諾德和莫澤共同提出并證明了著名的卡姆定理（定理的名字源于三個人姓名的首字母組合）。根據卡姆定理，確定系統與混沌系統之間并沒有一道明確的分界線，而是存在一片廣闊的過渡地帶。幸運的是，太陽系的穩定性問題就位于卡姆定理所說的過渡地帶上。該定理指出：只要太陽的質量在太陽系內占據主導地位，同時大行星的軌道偏心率e 和軌道傾角i 是小量，太陽系不穩定的概率就幾乎是零。也就是說，我們可以認為太陽系幾乎

是個穩定系統。不過，究竟何種量級才算是卡姆定理所說的小量，還有待進一步的探究。

N=100 000

接下來，讓我們把星體的數目急速上調。當N抵達10萬的時候，我們便進入了球狀星團的世界。

據推測，銀河系里約有200個球狀星團。它們以銀心為中心，在空間里呈球形均勻分布。目前已發現的系內球狀星團約有150個，其余的都被銀心遮擋，難以直接觀測到。球狀星團有兩個明顯特點。第一，形貌相似。無論是星系、星云，還是疏散星團，它們的外貌都十分多樣化。可是，球狀星團的模樣似乎都差不多，恒星密度都是中心大外圍小，呈規則的球形分布。第二，球狀星團普遍很古老，有的年齡甚至超過了130億歲（宇宙的年齡為137億年）。根據以上兩點，從天體力學的角度看，可以判定球狀星團是一種異常穩定的多體結構。至于為何如此，目前還只有

一些定性的理解，沒有定量的證明。

N=100 000 000 000

讓我們繼續瘋狂上調星體的數目，直至抵達千億量級。在這里，我們又碰到了另一大類穩定的多體結構：星系。與球狀星團不同的是，星系的形貌多種多樣。美國天文學家埃德溫·哈勃曾對星系做了大量的觀測，于1926年提出一種按形態劃分星系的分類系統，之后不斷完善，于20世紀50年代完成了著名的哈勃分類。哈勃分類里將星系歸為4大類：橢圓星系、旋渦星系、棒旋星系和不規則星系。

說起對星系形貌的理論解釋，必須要提到天才的華人天體物理學家林家翹和徐遐生。20世紀60年代，他們提出了星系旋臂的密度波理論。這是一種解釋星系旋臂圖樣的簡潔而漂亮的理論，至今依然被認為是旋臂成因的最佳解釋。不過，近年來的一些觀測表明，暗物質也許在塑造星系形態方面起到了不可忽視的作用，否則宇宙中的星系不會是如今的模樣。今天，相關的理論研

究依然是天體物理學的前沿課題。