基本學情，積極引導
——例談“多邊形內角和”的教學

☉山東濱州市濱城區第六中學 王桂濱

基本學情，積極引導
——例談“多邊形內角和”的教學

☉山東濱州市濱城區第六中學 王桂濱

一、引言

目前，我國有關數學活動經驗的理論研究與教學實踐都比較薄弱，數學活動經驗的內涵一直難以界定，至今尚未對數學活動經驗的含義達成共識.多年來，一些專家學者撰文發表自己的看法，探究數學活動經驗的確切含義，主要觀點有以下幾種：

1.數學活動經驗是數學知識的一部分.“數學活動經驗屬于學生的主觀性數學知識的范疇”，數學知識不僅包括數學事實，也包括數學活動經驗.

2.數學活動經驗是一種認識，特別是感性認識.個體的數學活動經驗是對自己以往經歷的數學活動在認知方面的自覺或不自覺的感性概括，是一種感性認識.也有的認為，數學活動經驗是在數學目標指引下，通過對具體事物進行實際操作、考察和思考，從感性向理性飛躍時所形成的認識.

3.數學活動經驗是體驗，是經歷.數學活動經驗是學生經歷數學活動之后所留下的直接感受、體驗和感悟.這些具有個體特色的內容，既可以是感覺知覺的，也可以是經過反省之后形成的經驗.

4.數學活動經驗既是知識，也是過程.數學活動經驗分為靜態和動態兩個層面.數學活動經驗介于緘默知識和顯性知識之間，從靜態上看是知識，是學生對整個數學活動過程產生的認識，包括體驗和感悟等；從動態上看是過程，是經歷.

5.數學活動經驗是組合體的整體概念.數學活動經驗是指學習者在參與數學活動的過程中所形成的感性知識、情緒體驗和應用意識.感性知識是指具有學生個人意義的過程性知識；情緒體驗是指對數學的好奇心和求知欲、在數學學習活動中獲得的成功體驗、對數學嚴謹性與數學結果確定性的感受，以及對數學美的感受與欣賞等；應用意識包括“數學有用”的信念、應用數學知識的信心、從數學的角度提出問題與思考問題的意識，以及拓展數學知識應用領域的創新意識.也有的認為，數學活動經驗是學生從經歷的數學活動過程中獲得的感受、體驗、領悟，以及由此獲得的數學知識、技能、情感與觀念等內容組成的有機組合性經驗.

二、問題的提出

我國于2011年修訂的《義務教育數學課程標準》在課程目標中明確提出“四基”，即使學生“獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本經驗活動”.在傳統的“雙基”基礎上增加了數學的基本思想和基本活動經驗.現以人教版義務教育教科書數學八年級上冊第11章第三節“多邊形的內角和”教學為例，談一談具體的做法和實踐心得.

三、“多邊形內角和”內容解析

1.地位及作用.

2011年修訂的《義務教育數學課程標準》對多邊形內角和的教學要求是“探索并掌握多邊形內角與外角和公式”，從課標可以看出，對于多邊形的內角和和外角和強調了知識的發展過程，這就要求教師在教學時應創造有利于學生探索的教學情境.

2.多邊形內角和與外角和的教學分析.

本節課是人教版義務教育教材數學八年級上冊第11章11.3.2第一課時，是在探究了三角形的內角和與外角和，并學習了多邊形的有關概念的基礎上進行的，學生已初步具備對數學問題進行論證的邏輯推理能力，這節課需要學生在已有的知識、生活經驗的基礎上來學習.

四、學習過程

1.問題情景.

（1）三角形的內角和是多少？

設計說明：本節課對于多邊形的內角和，主要是借助三角形的內角和求解.

（2）三角形的內角和定理是如何證明的？

設計說明：多邊形的內角和定理與三角形內角和定理的證明思想方法是一致的.

生1：如圖1，過頂點A作EF∥BC.

因為EF∥BC，所以∠FAC=∠C，∠EAB=∠B.

因為∠FAC+∠EAB+∠BAC=180°，所以∠C+∠B+∠BAC=180°.

圖1

圖2

生2：如圖2，在邊BC上任取一點D（異于B、C），作DE∥AB，DF∥AC.

因為DE∥AB，DF∥AC，所以∠B=∠EDC，∠C=∠FCB，∠A=∠DEC，∠FDE=∠DEC.

又因為∠FDE+∠EDC+∠FDB=180°，所以∠A+∠B+∠C=180°.

生3：如圖3，在△ABC內部任取一點D，過點D作MN∥AB，EF∥AC，HG∥BC.

因為MN∥AB，HG∥BC，所以∠B=∠MNC=∠MDG.同理∠A=∠DFH=∠FDM，∠C=∠FEB=∠FDH.

而∠FDM+∠MDG+∠FDH=180°，所以∠A+∠B+∠C=180°.

圖3

圖4

生4：如圖4，在△ABC外部任取一點D，過點D作MN∥BC，EF∥AC，HG∥AB.

因為EF∥AC，HG∥AB，所以∠A=∠CHP=∠EDH.

同理∠B=∠HPC=∠HDN，∠ACB=∠E=∠FDN.

而∠EDH+∠HDN+∠FDN=180°，所以∠A+∠B+∠ACB=180°.

師：通過以上四位同學的回答，我們可以總結：分別過三角形的頂點、邊、內部和外部作平行線，構造平角，證明了三角形的內角和定理.

設計說明：四位學生的回答回顧了以前學習三角形內角和定理的證明方法，為本節課多邊形內角和定理的證明作鋪墊，也就是積累了解決多邊形相關問題的活動經驗.

2.多邊形的內角和.

（1）我們小學學過哪些多邊形？它們的內角和是多少？

生1：學過正方形、長方形，因為它們的每一個內角均為90°，所以它們的內角和均為360°.

（2）是否所有的四邊形的內角和均為360°？

設計說明：因為小學學過的長方形、正方形的內角和為360°，猜想一般四邊形內角和的度數，向學生滲透由具體到抽象、由特殊到一般的數學思想方法.

師：怎么將這個問題轉化為我們已知的問題呢？

生：可以轉化為三角形的問題.

師：如何轉化呢？

生1：可以連接四邊形的對角線，例如，如圖5，在四邊形ABCD中，連接AC.

將四邊形分割為兩個三角形.因為每個三角形的內角和為180°，所以四邊形的內角和為360°.

圖5

圖6

生2：如圖6，還可以在四邊形內部取一點E，然后連接EA、EB、EC、ED.

四邊形被分解為四個三角形，這四個三角形每個的內角和為180°，總的內角和為720°，又因為中間多了一個周角，所以四邊形的內角和是360°.

生3：如圖7，還可以在邊BC任取一點E，然后連接EA、ED.

四邊形被分解為三個三角形，這三個三角形每個的內角和為180°，總的內角和為540°，又邊BC上多了一個平角，所以四邊形的內角和是360°.

圖7

圖8

生4：如圖8，還可以在四邊形的外部任取一點，連接EA、EB、EC、ED.

四邊形的內角和等于△ABE、△ADE、△DCE的內角和再減去△BCE的內角和，所以四邊形的內角和為360°.

師：四位同學的回答很精彩，我們可以發現四位同學的思路與前面證明三角形內角和的思維方法是一致的，同學們，我們在以后的學習過程中，要學會將未知問題轉化為已知問題.

師：請同學們選擇自己喜歡的方法來探索五邊形、六邊形、七邊形的內角和，并將探索的結果填入表1.

表1

（學生通過實驗、探究順利完成了表1）

3.多邊形的外角和.

（1）正方形、長方形的外角和是多少度？

設計說明：對于長方形、正方形，學生能夠很快算出它們的外角和，從而向學生滲透從特殊到一般的數學思想.

師：是否任意一個四邊形的外角和都是360°？

（學生思考）

生1：如圖9，∠NAB+∠BAD=180°，∠EBC+∠ABC= 180°，∠DCF+∠BCD=180°，∠ADC+∠ADM=180°，四邊形的內角和為∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB=360°，所以四邊形的外角和為360°.

圖9

圖10

生2：如圖10，過點C作CH∥AD交AB于H點，CE∥AB.

顯然可以得到∠NAB=∠AHC=∠HCE，∠HBC=∠ECF，∠ADM=∠HCD.

而∠DCH+∠HCE+∠ECF+∠DCF=360°，所以四邊形的外角和為360°.

生3：如圖11，過點P作PO∥AB，PH∥CD，PM∥AD.

容易得到∠QAB=∠AEP=∠EPI，∠CBE=∠CPI，∠DCF=∠HPC，∠NDA=∠AHZ=∠EPH.

同生2，可以得到四邊形的外角和為360°.

圖11

圖12

圖13

生4：如圖12，也可以在四邊形內部任取一點P，作XY∥AD，EF∥BC，KL∥CD，GH∥AB.

同樣可以得出四邊形的外角和為360°.

生5：如圖13，也可以在四邊形外部任取一點P，作XY∥AB，PQ∥AD，ST∥CD.

同樣可以得出四邊形的外角和為360°.

師：以上五位同學的回答實在是太精彩了，五位同學從不同的思路出發，得到了相同的結果，真可謂“條條大路通羅馬”.

師：請同學們選擇自己喜歡的方法來探索五邊形、六邊形、七邊形的外角和，并將探索的結果填入表2.

表2

（學生通過實驗、探究順利完成了表2）

以上各類證明方法充分彰顯出學生個性化的思維，以及學生綜合運用基礎知識、基本技能的能力，即立足于一般的解法，又基于學生的數學基本活動經驗.

五、教學導向

1.深挖教材.

學生的學習是人類發現基礎上的再發現過程.教材是經過教學法加工了的素材，加之教學進度的要求，或多或少會影響學生數學活動經驗的積累.經過反復審查形成的教學素材，形成了教學的基本概念、基本理論.因此教師在平時教學時，要充分利用教學素材，挖掘教材；知識的挖掘往往是一個永無止境的過程，學生學習數學的能力是有差異的，因此我們在挖掘教材時，要著重考慮課標要求，進行科學、合理、有發散的變式，避免通過“題海戰術”增加學生負擔.當前的許多中考試題，往往都源于教材，因此我們應該深挖教材，利用好教材.

2.關注數學活動經驗的獲得.

過去數學強調的是雙基“基礎知識和基本技能”.從1953年提出，到1956年寫出之后，一直成為中國數學教育的核心.基礎知識和基本技能功不可沒，使得中國數學基礎教育在世界上影響很大，許多數學課堂講的基本上是邏輯，是論證，是定理的證明過程，而不是發明定理的過程，也不是發現定理證法的過程.這對培養學生的創造力是十分不利的.我們最新的課程標準加了兩個，一個是基本思想，另一個是基本活動經驗，成為“四基”，幫助學生進行思考經驗的積累，問題提出的經驗的積累，創新性活動的積累.因此在平時的教學中，一方面要關注數學知識、技能、思想方法的學習，另一方面要通過數學活動經驗啟智學生，讓學生正真參與到數學的學習之中，享受數學.

1.黃翔，童莉.獲得數學活動經驗應成為數學課堂教學關注的目標［J］.課程·教材·教法，2008（1）.

2.馬復.論數學活動經驗［J］.數學教育學報，1996（11）.

3.張奠宙，竺仕芬，林永.“數學基本活動經驗”的界定與分類［J］.數學通報，2008（5）.

4.孔凡哲.基本活動經驗的含義、成分與課程教學價值［J］.課程·教材·教法，2009（3）.

5.單肖天，景敏.數學活動經驗及其對教學的影響［J］.課程·教材·教法，2008（5）.

6.王新民，王富英，王亞雄.數學“四基”中“基本活動經驗”的認識與思考［J］.數學教育學報，2008（3）.

7.仲秀英.學生數學活動經驗的內涵探究［J］.課程·教材·教法，2010（10）.

8.史寧中，柳海民.素質教育的根本目的與實施路徑［J］.教育研究，2007（8）.

9.史寧中.數學思想概論·圖形與圖形關系的抽象［M］.長春：東北師范大學出版社，2009.