解題教學的追求：關(guān)聯(lián)同類，感悟結(jié)構(gòu)
——從一道“網(wǎng)傳錯誤解答”說起

☉江蘇海門實驗初級中學 季紅妹

解題教學的追求：關(guān)聯(lián)同類，感悟結(jié)構(gòu)
——從一道“網(wǎng)傳錯誤解答”說起

☉江蘇海門實驗初級中學 季紅妹

近年來，隨著信息技術(shù)、網(wǎng)絡搜題平臺的興起，智能化手機終端的普及，初中學生使用網(wǎng)絡搜題、查答案的現(xiàn)象不在少數(shù)，有時會碰到少數(shù)學生的解答與網(wǎng)傳錯誤解答“一樣”的情況.本文就從一道“網(wǎng)傳錯誤解答”說起，關(guān)注一類具有“相同結(jié)構(gòu)”的問題，并跟進思考我們的解題教學應該在哪些問題上多下功夫.

一、由一道“網(wǎng)傳錯誤解答”說起

考題1：（2014年浙江湖州）已知在平面直角坐標系xOy中，O是坐標原點，以P（1，1）為圓心的⊙P與x軸、y軸分別相切于點M和N，點F從點M出發(fā)，沿x軸的正方向以每秒1個單位長度的速度運動，連接PF，過點P作PE⊥PF交y軸于點E，設點F運動的時間是t秒（t＞0）.

（1）略.

（2）略.

（3）作點F關(guān)于點M的對稱點F′，經(jīng)過M、E和F′三點的拋物線的對稱軸交x軸于點Q，連接QE.在點F運動過程中，是否存在某一時刻，使得以點Q、O、E為頂點的三角形與以點P、M、F為頂點的三角形相似？若存在，請直接寫出t的值；若不存在，請說明理由.

圖1

圖2

網(wǎng)傳錯漏解答：某網(wǎng)站上將第（3）題只分了兩類情形討論.

情況1：如圖2，當1＜t＜2時：

由題意可得點F的坐標為（1+t，0），根據(jù)F和F′關(guān)于點M對稱，得點F′（1-t，0）.

情況2：如圖3，當t＞2時：

圖3

圖4

類似上面，得F（1+t，0）、F′（1-t，0）.

由經(jīng)過M、E和F′三點的拋物線的對稱軸交x軸于點

簡評：上面的解答有明顯錯漏，分類的情況缺少“0< t<1”這一區(qū)間，顯然是不恰當?shù)模P者檢索另一家網(wǎng)站發(fā)現(xiàn)補全了該區(qū)間的情形，如圖4，解答方法類似上面兩種情況.

然而，如果認真觀察圖4就會發(fā)現(xiàn)，這是一個典型的錯誤構(gòu)圖，圖形沒能滿足總題干中“PE⊥PF”的要求，使得該題分析的價值全無，若照此偏差巨大的圖形分析圖形之間的相似關(guān)系，則會影響思路的獲取，造成解題受阻或出錯.以下我們對其法作出進一步的優(yōu)化和簡化.

二、關(guān)聯(lián)同類問題，引導學生洞察深層結(jié)構(gòu)

回到初一，復習數(shù)軸：初一有理數(shù)起始教學時，數(shù)軸是最早引入的數(shù)學工具，然而越簡單的數(shù)學概念往往越有深度，這是我們理解數(shù)學概念時常常有的一種學習體會.比如，數(shù)軸上兩點及其中點之間的關(guān)系，可以用下面的關(guān)系式來描述.

考題2：如圖5，數(shù)軸上，點A、B分別對應a、b.

圖5

問題1：設線段AB的中點為M，點M對應的數(shù)是m，試用含a、b的式子表示m.

講解：初一剛剛學習時，我們是引導學生從特殊值出發(fā)，歸納出2m=a+b.

問題2：若點C對應著1，當BC=AC時，求4a+4b+2009的值.

講解：利用問題1中發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)，有a+b=2×1，則4a+ 4b+2009的值為4×2+2009=2017.

運用性質(zhì)，突破考題：我們排除考題中的無關(guān)信息，就會發(fā)現(xiàn)其實是兩組中點的綜合運用，如圖6、圖7，

圖6

圖7

分別利用上面提到的“2m=a+b”就可求出F′、Q′的坐標，即F′（1-t，0）、Q（1-0.5t，0）.

只要再想清E（0，1-t），就可將△QOE的兩條直角邊利用含t的式子表示出來，即OQ=|1-0.5t|，OE=|1-t|.△PMF的兩條直角邊分別是：PM=1，MF=t.

現(xiàn)在只要討論它們的兩種不同對應關(guān)系，就能得出方程：

再消去絕對值符號，轉(zhuǎn)化成兩個一元二次方程即可獲得問題的解答.

可見，這種方法的關(guān)鍵是將G點的坐標利用中點之間的關(guān)系演算出來，而無需陷入繁雜的構(gòu)圖.

關(guān)聯(lián)鏈接：

考題3：如圖8，已知A（a，0）、B（0，b）分別為兩坐標軸上的點，且a、b滿足a2+b2-12a-12b+72=0，OC∶OA=1∶3.

（1）求A、B、C三點的坐標；

（2）若D（1，0），過點D的直線分別交AB、BC于E、F兩點，設E、F兩點的橫坐標分別為xE、xF，當BD平分△BEF的面積時，求xE+xF的值.

圖8

圖9

講解：這個考題的難點在于第（2）問構(gòu)造兩垂線段EG、FH之后，不少學生不能順利突破思路，究其原因，在于忘了上面我們提到的數(shù)軸上兩點及其中點之間的關(guān)系，圖9是筆者在講評時使用的PPT截圖，旨在為學生分離出結(jié)構(gòu)，以便讓他們快速獲得轉(zhuǎn)化.

考題4：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像如圖10，若+bx1=a+bx2，且x1≠x2.求證x1+x2=2.

圖10

圖11

講解：這個問題的本質(zhì)其實是高中階段關(guān)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c的一個性質(zhì)，即當f（x1）=f（x2）時，一定有f（x1+x2）=f（0）=c.這里也可與線段中點的性質(zhì)發(fā)生關(guān)聯(lián)，可構(gòu)造圖11向?qū)W生解釋，比如，直線AB∥x軸，交拋物線于A、B兩點，交拋物線的對稱軸于C點，根據(jù)對稱性，易知AC=BC，也就是它們的橫坐標之間具有了xA+xB= 2xC的關(guān)系.這樣來看，就能快速看清上面的求證題的結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)證明了.

三、寫在最后

解題教學在當前的初中數(shù)學教學中占有相當?shù)谋戎兀绾螐闹v一題，教會一個技巧或一個具體解法步驟，走向講一題、鏈接一類、悟出一種結(jié)構(gòu)，這始終是我們解題教學效益提升的重要追求.我們的案例積累還有待豐富，期待同行跟進案例、指點研討.

1.王秀梅.習題課教學：從“拿來主義”走向編題變式——以“數(shù)軸再認識”習題課為例［J］.中學數(shù)學（下），2016（10）.

2.付小飛.明辨并列與遞進，引導分離和聚焦——2016年江蘇蘇州中考第28題解析與教學思考［J］.中學數(shù)學（下），2016（7）.

3.陳愛軍.預設互動促進對話，課件簡約漸次展現(xiàn)——李庾南老師“函數(shù)的圖像”課例賞析［J］.中學數(shù)學（下），2016（10）.

4.鮑建生，顧冷沅等.變式教學研究［J］.數(shù)學教學，2003（1、2、3）.