變式理論在教學中的自然應用探究

☉江蘇蘇州市蘇州高新區第二中學 張 靜

變式理論在教學中的自然應用探究

☉江蘇蘇州市蘇州高新區第二中學 張 靜

陜西師范大學羅增儒教授曾經說過：“教師在教學中應當注意相機而誘導，而不僅僅是全盤打算和細節處理.”這里說說的“相機而教”就是適時點撥、延伸、變式.所謂“點撥”，是在學生疑難處入手，給學生以方法上的指導和引領，讓學生在這樣的啟發下去發現問題與解決問題；而“誘導”則是方法上面的指導，這樣的指導是有利于學生思路的打開的，使學生從獲取知識轉化為獲取技能；“變式”是學生把數學題去其個性，留其共性，找到解決問題的通法與自然解法.那么在課堂中我們該如何處理，以期達到課堂的優效與實效呢？

一、思路點撥——從疑難處著手

圖1

同理可得：B4（12，2），B6（18，2）……

所以，B2016的橫坐標為：1008×6=6048，所以，點B2016（6048，2）.

當學生一籌莫展時，教師應該進行思路的點撥與指導，幫助學生確立思路和解決問題的方式和方法，從而有效地突破難點，順暢解題，只有這樣，才能讓學生的知識、技能與情感得到鍛煉與提升，進而使我們的課堂更有效.

二、變化與聚焦——從圖形問題上找突破

原題：在3×3網格中有9個相同的小正方形，每個網格圖中有3個小正方形已涂黑，請在余下的6個空白小正方形中，按下列要求涂黑：選取1個涂黑，使4個黑色的小正方形組成一個不是中心對稱圖形的軸對稱圖形.

變化1：選取1個小正方形涂黑，使4個涂黑的小正方形組成的圖形不是軸對稱圖形的中心對稱圖形；

變化2：選取2個小正方形將它們涂黑，使形成的圖形組成一個軸對稱圖形.

圖2

圖3

圖4

分析：（1）根據軸對稱圖形的定義作圖即可；（2）根據中心對稱圖形的定義作圖即可；（3）根據軸對稱圖形的定義作圖即可.

原題：

圖5

變化1：

圖6

變化2：

圖7

換一種眼光看待數學問題，換一種方式解決數學問題，真正掌握了正確的方法才能明道！教師在教給學生知識的同時，也要教給他們全面讀題的方法與視角，以期能有智慧的碰撞，進而獲得基本技能與更高層次的能力.同時，在進行變式教學的過程中，如何對問題進行細致的挖掘也是一項很重要的技術活，不斷地進行揣摩才能有真正的突破.

三、功到自然成——知識核心處變式

原題：如圖8，已知四邊形ABCD是梯形，AB=3，BC=4，AD=1，AD∥BC，AB⊥BC.若線段AB上有任意一點P，延長PD到E，使2PD=DE，作平行四邊形PCQE，使PE、PC為其兩邊，那么線段PQ存在最小值嗎？如果存在，請求出最小值.

圖8

方法解析：

法一：過點Q作QG⊥BC，過點P作PF⊥QG，垂足分別為點G、F，再過點E作ER⊥PA（如圖9）.

解：設PA=x，BP=3-x.

由于DE=2PD，易得RE=3，RA=2x.

易證△PRE≌△QGC，則CG=RE=3，PR=EG=3x，則FQ=3x-（3-x）=4x-3.

則當x=0.75時，PQ取得最小值7.

圖9

圖10

法二：設PQ交DC于點M，過M作MN垂直于AB，過Q作QG垂直于MN（如圖10）.

顯然，求線段的最小值，我們可以用代數的方法，可以用函數求最值法來求，也可以用幾何的方法，用“垂線段最短”，從特殊的位置入手，加以分析與解決.

變式：（2013年中考第18題）已知點A（8，0）、B（0，6）、C（a，-a）與點D是平行四邊形的四個頂點，請求出CD的最小值.

顯然本題中點C在直線l（第二、四象限角平分線）上運動，而點D隨著點C的運動而運動，那么本題也是求兩個動點間的最小值，與上題的解法應該有著異曲同工之效.

分析：不妨進行如下的分類討論來解決這一問題：（1）若這個平行四邊形以AB為邊，那么CD的值就是一個定值10；（2）若以AB為平行四邊形的對角線，CD必過AB的中點E，要求CD的最小值，可以利用二次函數求最值的方法來求解.

解法：如圖11，只要表示出點C、D的坐標.由于A（8，0）、B（0，6），則點E的坐標為（4，3）.又點C的坐標為（a，-a），則點D的坐標為（8-a，6+a）.

觸類旁通：那么，是否還可以進行其他的方法嘗試呢？如圖12，建立這樣的平面直角坐標系來解決這一問題.

圖11

圖12

設AP=x，則點P（0，3-x）、C（4，0）.由DE=2PD，易得點E（3，3+2x）.

將上述看似毫無聯系的題放在一起，其目的是為了讓學生透過數學題的表象，看到兩道題的本質，都是求線段最值問題，其常用方法不外乎幾何法與函數法，然而建立了坐標系后，本題的難度與處理方法明顯簡化也好理解了，故通過兩題的變式，我們更清楚地找到了解決的通法、特法與自然解法，進一步提高了能力.

裴光亞先生說：比知識更重要的是思想.只有有了思想，才能把知識轉化為能力.我們的數學課堂就應當該出手時就出手，從給學生知識到滲透思想，再到培養基本技能，進而挖掘更高層次的能力，努力實現師生在課堂上的最佳表現.