綜合題命制：讓題干與題肢關聯互動
——以蘇科八上期末把關題為例

☉江蘇蘇州市蘇州高新區第一中學 王錦兵

綜合題命制：讓題干與題肢關聯互動
——以蘇科八上期末把關題為例

☉江蘇蘇州市蘇州高新區第一中學 王錦兵

自媒體時代的信息獲取之方便超出人們想象，比如，在期末考試之后，各地期末考卷大量出現在網絡、各大QQ群共享中，在見到大量簡單“拿來主義”“復制粘貼”拼湊起來的試卷之余，也確有不少體現命題者心血的原創作品，一個簡單的檢測方式就是：將試題中的關鍵詞或關鍵圖片放到相關搜題平臺上進行檢索，如找不出原題或高度相似題，就可看出命題者的苦心經營與原創傾向.然而命題也是一項遺憾的藝術，有些試題由于追求了原創設計，而缺少深入打磨，使得一些原創的綜合題成為一道低層次的拼湊式問題，題干、題肢之間缺少關聯互動，使得試題的品質大打折扣.本文就以江蘇揚州某地區的八上期末把關題為例，先講解思路、命題商榷，并跟進變式改編和教學思考，供研討.

一、考題解析與命題商榷

圖1

圖2

（1）求直線CD的函數關系式.

（2）連接OE，過點O作OF⊥OE交直線CD于點F，如圖2.

①求證：∠OEF=45°；

②求點F的坐標.

（3）若點P是直線DC上一點，點Q是x軸上一點（點Q不與點O重合），當△DPQ和△DOC全等時，直接寫出點P的坐標.

（2）①本質是證明EO平分∠AED.需要先推證出直線AB⊥CD.根據提示OF⊥OE，可證出△BOE≌△DOF，從而證出OE=OF，于是△OEF為等腰直角三角形.問題獲解.

另解反思：總題干中旋轉前后有△ABO≌△COD，可以發現這兩個三角形對應邊上的高應該相等，可構造兩條垂線段，如圖3，作OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分別為M、N.

圖3

圖4

容易證出OM=ON，所以EO平分∠AED，即∠OEF= 45°.這樣可看出來，第（2）問小題干中的OF線條不是必需的，它可以成為一種輔助線.

②直接求點F的坐標比較困難，可以考慮將其轉化為先求E點的坐標，點E可看成是直線AB、CD的交點坐標，只要聯立兩直線方程得到方程組，就可解出點E的坐標；從而再求出F點的坐標.

（3）構造圖4分析，點P應該有4個可能的位置，P4與點C重合.在此基礎上可求出符合要求的三個點P的坐標.

解后反思：現在可看出本題的問題結構，總題干中提出所謂的直線方程，除了確定A、B點的坐標，漸漸失去活性，接下來的探究與求解多是平面幾何問題，這種讓題干提前枯萎的命題取向，格局偏低，使得試題成為偽坐標考題，本質上是幾何全等構造與證明.以下本著命題的興趣與愛好，給出一道改編題.

二、改編試題及改編意圖

（1）求k的值.

（2）設P為直線CD上一點，Q為x軸上一點，直線AB、CD交于E點.

①當點P在線段CD上，且DP=BE時，求PE的長；

②當△DPQ≌△DOC時，直接寫出此時P點到直線AB的距離.

圖5

圖6

圖7

命題立意：（1）讓學生根據一次函數的圖像與性質有序確認點A、B、C、D的坐標，從而確定另一直線的解析式.

（2）①限制點P在線段CD上，只要考慮一種情況，即與圖2中相比，此時點P就是圖2中的點F.但考慮到控制一下運算量，只要學生求PE的長（學生還需要想清楚DE⊥AB）.另外，這樣設問，還使得解法多樣，除了求出點P的坐標再構造直角三角形確定PE的長，幾何構造可以更簡便地運算.如圖6，先想清楚△POD≌△EOB，得出△POE是等腰直角三角形.于是只要能求出直角邊OE，就可得到斜邊PE的長.當然這樣處理可能還是有一定的運算量，因為求OE的長時還需要求E點的坐標.讓我們再從另一思路切入，這就是聚焦△COD，作OG⊥CD于點G，可以利用面積法求出OG的長，然后把目光轉到△POE中，則PE=2OG，于是問題獲得突破，運算量也大大簡化.

②這一問與原考題相比，做了一些限制，即原考題最后一問是文字“全等”，而我們要求的是符號“≌”，這樣使得兩個三角形的對應邊得到一些限制，又需要思考點P在直線CD上的兩種位置關系.但為了增加解題層次，仍然要求點P到直線AB的距離（這可看成是最后一問與總題干中初始條件之間的關照與呼應，正所謂“不忘初心”）.思維深刻的考生可以構造出簡潔的求法，如圖7，關鍵是求出DP的長度（注意對應PD= OD=4），難算的是DE的長，八年級學生從勾股定理角度需要消耗一些運算時間，比如，先求出點E的坐標，再在△AED中思考.其實從九年級相似三角形或銳角三角函數的角度，就可快速解出DE的長（比如，利用cos∠CDO=.待求的點P到直線AB的距離是DE±DP.

三、進一步的思考

1.綜合題命題要追求簡約、關聯，讓題干、題肢關聯互動.

數學考卷非常重視解答題的設計與設問，特別是全卷最后位置的把關題更是傾注了命題者的心血.常常苦心經營，構思命題考查知識點、方法，還要思考教學上的引領意義.這里主要探討綜合題命制的簡約與關聯追求，題意表述要清楚、指令清楚，初始條件和圖形要好懂，不故弄玄虛，或一大堆條件都“和盤托出”，最好漸次呈現、拓展生長，把學生思考逐漸引向深遠.從這個角度看，原考題（2）小題干中OF⊥OE這個條件就可后置到研究F的坐標時再呈現，因為這個條件使得命題的格局下降，影響或封閉了優秀學生可能的其他思考，不符合數學追求開放、自由的探究價值.

2.綜合題命題要預設解法，既殊途同歸，又有簡化解法.

由于綜合題是數學解答題的范疇，目前有些綜合題的小問設計，不少命題組采取了直接填答案的方式，背后往往有很多“難言之隱”，一個不好的現象是命題者自己往往也找不到好的、簡潔的求證方式，故為了減少學生所謂的運算量、推理表達的過程，只好退一步讓學生直接寫答案，這是讓人遺憾的命題行為.我們認為，提出問題固然不容易，但當提出一個有挑戰的考題之后，預設解法就成為一個重要的課題，有時如果這個有挑戰的問題命題人自己也難以自圓其說給出有力量的、簡潔的解答，則寧可忍痛割愛，放棄在試卷上呈現這類問題為宜，因為盡管是我們命題過程中的成果，但并不一定自己深入思考的所得都要搬到試卷上.想來，這也就是所謂命題要追求“內斂藏鋒”的道理吧.

1.孟慧.幾何綜合題研究：從思路貫通到教學微設計［J］.中學數學（下），2016（9）.

2.楊衛東.客從何處來：一道幾何把關題的命制歷程［J］.中學數學（下），2016（8）.

3.孫莉.思路生成貴在自然，一題一課追求簡約——一道考題的思路突破與習題課設計［J］.中學數學（下），2016（9）.

4.吳忠妙.一道考題的思路、難點與教學設計［J］.中學數學（下），2016（9）.

5.夏德祥.繁簡難易：中考把關題的命題研討——以2016年江蘇揚州中考卷第28題為例［J］.中學數學（下），2016（7）.