回到概念，讓解題念頭“自然生成”
——從一道幾何難題的思路突破說起

☉江蘇如皋初級中學(xué) 秦 怡

回到概念，讓解題念頭“自然生成”
——從一道幾何難題的思路突破說起

☉江蘇如皋初級中學(xué) 秦 怡

平面幾何的教學(xué)是初中的難點(diǎn)，也是教研熱點(diǎn)和經(jīng)典教研話題.特別是有不少幾何難題，雖然平常訓(xùn)練很多，但是仍然有不少學(xué)生面對一個(gè)稍顯陌生的幾何題，難以獨(dú)立獲取證明思路，甚至難以找到解題念頭.本文從一道武漢地區(qū)九年級月考考試題說起，研討幾何難題的思路應(yīng)該怎樣更加自然生成.

一、從一道幾何難題的思路突破說起

考題1：（2016年12月武漢第六中學(xué)月考卷）如圖1，菱形ABCD中，∠ADC=60°，M、N分別為線段AB、BC上兩點(diǎn)，且BM=CN，AN、CM所在直線相交于E.

圖1

圖2

（1）填空：∠AEC=________，AE、CE、DE之間的數(shù)量關(guān)系_________________；

（2）若M、N分別為線段AB、BC的延長線上兩點(diǎn)，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？試畫圖并證明之.

（3）若菱形邊長為3，M、N分別為線段AB、BC上兩點(diǎn)，連接BE，Q是BE的中點(diǎn)，求AQ的取值范圍.

思路簡述：（1）如圖2，連接AC，可以發(fā)現(xiàn)△ABC、△ACD都是等邊三角形.則問題可轉(zhuǎn)化為經(jīng)典的以等邊三角形為背景的全等問題，容易證出∠AEM=60°，于是∠AEC=120°，即∠AEC=∠BAD.

接下來重點(diǎn)處理“AE+CE=DE”.有兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，一是ED平分∠AEC；二是構(gòu)造輔助線將DE分成兩段，分別對應(yīng)著AE、CE.

這里我們可從“四點(diǎn)共圓”的角度確認(rèn)A、D、C、E四點(diǎn)共圓（對角互補(bǔ)的四邊形四個(gè)頂點(diǎn)共圓），如圖3.

這樣，弦AD、CD相等，弧AD與弧CD相等，于是所對的圓周角∠AED=∠CED，從而確認(rèn)∠AED=∠CED=60°.接著如圖4所示分析，構(gòu)造等邊△AEG，可證△AGD≌△AEC，可得EC=GD，問題獲得突破.

圖3

圖4

另解思考：可以發(fā)現(xiàn)，ED是∠AEC的平分線，我們還可構(gòu)造圖5這樣的圖形來發(fā)現(xiàn)思路，作DG⊥MC，DH⊥AN，垂足分別為G、H.需要用到∠DAE+∠DCM=180°（四邊形ADCE的對角互補(bǔ)），可證出△ADH≌△CDG，從而有DG=DH，于是可證出ED平分∠AEC.

圖5

圖6

第（2）問，構(gòu)造圖形之后（如圖6），發(fā)現(xiàn)結(jié)論不再成立，但是怎樣的新關(guān)系呢？

由△ACN≌△CBM，得∠M=∠N，所以∠MBC=∠CEN，所以∠ABC=∠AEC.又∠ABC+∠BAD=180°，所以∠AEC+∠BAD=180°，在EA上截取EG=CE，則△CEG為等邊三角形，再證△AGC≌△DEC，所以AG=DE，即AE=EG+AG=CE+DE.

現(xiàn)在進(jìn)入第（3）問的探究，這是一個(gè)難題.成功突破需要以下一些關(guān)鍵步驟.

關(guān)鍵步驟之一：想清楚點(diǎn)E的軌跡是△ACD的外接圓上一段圓弧（在前兩問的研究中，我們知道了點(diǎn)A、B、C、E共圓，理由是四邊形ABCE的對角互補(bǔ)）.

關(guān)鍵步驟之二：想清楚點(diǎn)Q的軌跡是△ABC的內(nèi)切圓上一段圓弧（如圖7）.

圖7

二、同類題鏈接

考題2：（2014年浙江金華中考題）如圖8，等邊三角形ABC的邊長為6，在AC、BC邊上各取一點(diǎn)E、F，連接AF、BE相交于點(diǎn)P.

（1）若AE=CF，

①求證：AF=BE，并求∠APB的度數(shù)；

②若AE=2，試求AP·AF的值.

（2）若AF=BE，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)C時(shí)，試求點(diǎn)P經(jīng)過的路徑長.

思路簡述：第（1）問比較簡單，這里略去思路；第（2）問需要分兩種情況討論，

若AF=BE，有AE=BF或AE=CF兩種情況.

圖8

圖9

圖10

三、解題教學(xué)思考

1.“軌跡考題”很流行，值得教師關(guān)注.

當(dāng)前在不少地區(qū)命題的試卷中，都會在把關(guān)題的位置設(shè)計(jì)一道動點(diǎn)軌跡問題，稍簡單軌跡以線段為主，而有些較難的則是圓弧，甚至還有函數(shù)圖像的引入.這類考題一旦“上卷”，“殺傷力”極大，多數(shù)學(xué)生只得放棄，少數(shù)學(xué)生挑戰(zhàn)失敗的原因往往也是因?yàn)閷τ谲壽E圖形的形狀沒有認(rèn)準(zhǔn)，或有些猜想到可能的軌跡形狀，但是因?yàn)檎J(rèn)識還不深刻，所以求解軌跡圖形的相應(yīng)長度、最值時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)漏.這類問題且不論是否值得、應(yīng)該出現(xiàn)在考卷中，至少在當(dāng)下較為流行的現(xiàn)實(shí)下，作為教師，應(yīng)該對這一流行潮保持關(guān)注，畢竟這類考題關(guān)乎一些優(yōu)秀學(xué)生的眼前利益.我們針對這類考題的研究不能止于猜想出答案，或簡單的答案式展示，而應(yīng)深入開展軌跡考題的思考，洞察問題結(jié)構(gòu)，想清問題的關(guān)鍵與可能的拓展與變式.

2.幾何難題重在思路啟發(fā)，引導(dǎo)“回到概念”獲得解題念頭.

幾何難題教學(xué)時(shí)，首先教師要深刻理解問題結(jié)構(gòu)和可能變式，講評試題時(shí)才可能開展必要的思路啟發(fā)，以便能在思路啟發(fā)下，引導(dǎo)學(xué)生“回到概念”獲得解題念頭，自主貫通思路，而不是教師把答案或證明語句告知.比如，考題1的難點(diǎn)就是發(fā)現(xiàn)兩個(gè)圓，而這兩個(gè)圓的念頭源于九年級教材中圓的重要概念，經(jīng)過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.而一個(gè)特殊三角形（如等邊三角形、直角三角形）的外接圓都是學(xué)生應(yīng)該掌握的，本題出現(xiàn)了等邊三角形，學(xué)生可以敏銳地捕捉這個(gè)有效信息，發(fā)現(xiàn)“四點(diǎn)共圓”.以下給出我們預(yù)設(shè)“考題1”第（3）問的PPT截圖（如圖11），意圖是把兩個(gè)難點(diǎn)以教師點(diǎn)撥的方式展示，但又要促進(jìn)學(xué)生自主確認(rèn)，而不是簡單告知，學(xué)生自主確認(rèn)這兩個(gè)圓的過程就是對問題本質(zhì)的深刻理解和解題策略的內(nèi)化.

圖11

3.重視同類問題的鏈接，促進(jìn)學(xué)生感悟問題結(jié)構(gòu).

在一較難問題講評之后，如果不能引導(dǎo)學(xué)生跟進(jìn)必要的反思，常常會“入寶山而空返”.這也是上面我們在呈現(xiàn)這道幾何難題的解法之后，又鏈接一道同類考題的原因.正如不少經(jīng)驗(yàn)豐富的教師在解題教學(xué)時(shí)總會自覺定位教學(xué)目標(biāo)：“解一題，會一類，通一片”，讓學(xué)生由此及彼，并感悟出同類問題的深層結(jié)構(gòu)，使得學(xué)生下次再碰到類似問題時(shí)能快速找到切入點(diǎn)，順利貫通思路，提升解題能力的同時(shí)，發(fā)展數(shù)學(xué)洞察力.

1.陳蓓蓓.例說幾何定理教學(xué)的層次——由傅種孫先生數(shù)學(xué)教育思想說起［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（12）.

2.朱金祥，劉東升.數(shù)學(xué)教學(xué)中例題變式的策略——基于教學(xué)追問的視角［J］.教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)版），2016（9）.

3.王友峰.專業(yè)自主增設(shè)內(nèi)容，回看陳題洞察結(jié)構(gòu)——九年級“探究四點(diǎn)共圓”教學(xué)設(shè)計(jì)與解讀［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（12）.