“基“”本”并重反思揭“構”
——一道教師基本功比賽題的思路探求

☉江蘇泰州市許莊初中 葉新和

☉江蘇泰州市高港教師發展中心姚娟妹

“基“”本”并重反思揭“構”
——一道教師基本功比賽題的思路探求

☉江蘇泰州市許莊初中 葉新和

☉江蘇泰州市高港教師發展中心姚娟妹

一、題目再現

這是近年泰州市市直學校與泰州經濟開發區數學青年教師基本功比賽中的一道試題，解答的正確率只有10%.下面來探求解題思路，改進分析，揭示問題深層結構，進而對學會解題提出一些思考.

二、思路探求

1.跟著感覺往前走.

分析2：上述解答主要是代數式的變形與化簡，運算量仍比較大.注意到題目要求的是三角形面積，而算得結果的形式比較簡單，此時結論也是已知信息！能否從圖形的角度來思考？容易想到圖1，比較①與②，知：要說明S△ABC=S△EDF，由于∠A≠∠EDF，只要說明∠EDF+∠A=180°即可.此時可以通過計算說明：

圖1

圖2

方法2：如圖2，Rt△CAG?Rt△AFH，四邊形AGJH為矩形.

則AC=AF，∠CAG=∠AFH，則∠CAG+∠FAH=90°.

又∠GAH=90°，則C、A、F三點共線.

如果省去中間的虛線，那么圖形會更簡明.

2.思路卡殼巧突破.

據了解，不少人能由勾股定理的形式畫出圖4中的△ADB與△ABC，在如何將AB、AD、BC拼成一個三角形時思路卡住了，這也是導致正確率低的重要原因.如何突破呢？

分析4：結論仍是已知信息！注意到△ADB、△ABC及拼成的△ABE面積都是ab，聯想到等積變形，猜測：DC∥AB，△ABE的頂點E必在直線CD上.

圖3

圖4

方法4：圖4中，取DC的中點E，連接AE、BE.

則∠DCA=∠BAC，則DC∥AB.又DE=CE=AB，則四邊形ABED、ABCE都是平行四邊形.

分析5：圖4比較復雜，能否刪除無關元素？注意到△AOB與△BEF面積之和為ab，并與△ABE有公共部分，利用割補來解決.

3.改變視角再探求.

分析6：題目中有隱含條件嗎？xA·yA=xB·yB，這說明點A、B在反比例函數的圖像上，顯然有S△ADO=S△BEO，從而S△AOB=S△ADEB.

方法6：如圖6，A（a，2b）、B（2a，b）為反比例函數y=的圖像上兩點，AD⊥y軸，BE⊥y軸.

易知S△ADO=S△BEO.

S△AOB=SADEB+S△BEO-S△ADO=SADEB

圖6

圖7

分析7：能否向方法3那樣利用圖形面積間關系？

三、反思、建議

1.“基”“本”并重.

知識為“基”.思路從何而來？豐富的知識能為思路的迅速尋找創造條件.“貨源充足和組織良好的知識倉庫是一個解題者的重要資本”.筆者猜測，本題正確率比較低的原因之一可能是參賽者不熟悉海倫—秦九韶公式，甚至也不熟悉余弦定理，即相關基礎知識并不具備.再如知S=a·ha（其中a為截線段長，ha為截線段上的高）能使本題計算簡便，而利用圖6中的結論S△AOB=SADEB能使后文拓展1的證明變得很簡單.

思想為“本”.數學思想是數學科學發生、發展的根本，是探索數學所依賴的基礎，也是數學課程教學的精髓.數學思想常常通過數學方法去體現，數學方法又常常反映數學思想.本題的探索中，方法3、方法5、方法6、方法7各有特色，而本質上都是“構造”，在不同的背景中構造符合條件的三角形，將欲求三角形的面積化歸為其他易求圖形面積間關系來解決.

知識猶如珍珠，思想似線，解題思路探索中需要以“線”穿“珠”，“基”“本”并重.

2.反思揭“構”.

“沒有任何問題是可以解決得十全十美的，總剩下些工作要做.經過充分的探討與鉆研，我們能夠改進這個解答，而且在任何情況下，我們總能提高自己對這個解答的理解水平”.

此處“構”首先指“構造”.在一步步反思中，揭示如何構造符合條件的三角形.其次，“構”更多的是指“題目深層結構”.在不斷的反思與改進中不斷地貼近題目的深層結構.方法6、方法7將問題放在直角坐標系中考慮，思路自然、簡潔，據此還可對原題結論進行拓展與推廣.

一般來說，可從以下角度進行反思：對于具體題目而言，思路卡殼是什么情況造成的，又是怎樣解決的；最初的念頭是否有膚淺甚至不正確處；如何通過對思路的分析與改進得到簡便的解法，有效的改進做法有哪些；一般思路與特殊技巧之間的辨證關系是怎樣的，怎樣應用于具體問題的解決中；哪種思路揭示了題目的深層結構，能否進行拓展與推廣；解題中積累的基本思維經驗是什么，如何進行遷移：等等.

3.學會聰明.

文中的思路探索是筆者作為解題學習者的實踐案例.聰明的老師稍做思索可能很快發現方法3或者方法7.上述過程表明即使不夠聰明，也是可以通過不斷地分析、回顧、反思，改進方法，學會數學地思維，換句話說，該案例表明學會聰明成為可能.由此看來，解題實踐的終極目標應該是學會解題，優化認知結構，發展數學思維方式，提升數學素養，也即學會聰明.

態度影響解題.認為解題純粹是種智能活動是錯誤的，決心與情緒所起的作用很重要.筆者感覺，本題正確率低的第三個原因可能是有的青年教師在解答時間限制的情況下，心有畏難情緒而放棄.

解題教學應該有“學會聰明”這個環節.豐富知識、思想方法、積極情緒、實踐體驗、回顧反思是能夠“學會聰明”必不可少的要素.

學會聰明，應該成為解題實踐的必備過程與必然結果.

1.羅增儒.中學數學教學的理論與實踐［M］.南寧：廣西教育出版社，2008.

2.史寧中主編.義務教育數學課程標準（2011年版）解讀［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.