一種基于改進地貌形狀上下文的形狀匹配方法

劉望舒 鄭丹晨 韓敏

形狀是一種高層次的視覺特征,其對應物體中不受位置、尺度、旋轉因素影響的幾何信息[1],形狀分析在目標檢測[2]、醫療分析[3]、古文字研究等[4]領域都發揮著重要的作用.在形狀分類、形狀聚類、形狀識別和形狀檢索等研究中,如何選擇有效的形狀匹配方法來分析形狀間距離都是需要解決的首要問題.

在眾多的形狀匹配研究中,基于輪廓點空間位置關系特征的形狀匹配方法能夠較好地分析形狀間距離,是近年來最為重要的一類方法[5].形狀上下文(Shape context,SC)是二十一世紀初由Belongie等[6]提出的一種形狀描述符,其通過分析輪廓上采樣點的分布情況而生成,可以兼顧形狀的局部信息和全局信息.形狀上下文作為最重要的形狀描述符之一,自提出以來得到廣泛的關注.廣義形狀上下文(Generalized shape context)[7]、骨架形狀上下文(Skeletal shape context)[8]、方向直方圖形狀上下文(Histogram of orientation shape context)[4]、實心形狀上下文(Solid shape context)[9]等都是在其基礎上改進得到的形狀描述符,對應形狀匹配方法都表現出了很好的識別和檢索效果.

在對形狀上下文進行改進的諸多方法中,Ling等[10]提出的內距離形狀上下文(Inner-distance shape context,IDSC)是一種形狀匹配效果較好的描述符.該方法引入對連接不敏感的內距離(Innerdistance,ID)替代歐幾里得距離(Euclidean distance,ED),進而可以得到更合理的采樣點間距離.考慮到形狀上下文和內距離形狀上下文分別具有不同的適用范圍,文獻[11]結合兩種形狀描述符的各自特點,進一步提出了地貌形狀上下文(Aspect shape context,ASC),該描述符能夠更好地平衡形狀描述符的魯棒性和區別能力.

雖然地貌形狀上下文能夠較好地結合形狀區域信息描述輪廓采樣點空間關系,但該方法依然存在一些不足.在形狀特征提取時,計算測地距離(Geodesic distance,GD)的時間復雜度較高,使得形狀描述符構造緩慢,影響了形狀匹配的效率;此外,在特征匹配過程中,原始方法僅選擇一個地貌空間對應的形狀距離作為最終結果,難以綜合不同地貌空間的信息來解決形狀匹配問題.

鑒于目前存在的問題,本文提出了一種基于改進地貌形狀上下文的形狀匹配方法.通過引入最短路徑算法對地貌空間下輪廓采樣點間的測地距離進行快速計算,進而提升形狀特征提取的效率.通過生成模糊直方圖來提升形狀描述符的表達能力,構造出地貌模糊形狀上下文(Aspect fuzzy shape context,AFSC),其能夠更好地描述輪廓采樣點分布情況.考慮到輪廓點集順序關系已知,結合動態規劃方法獲取不同地貌空間下形狀采樣點間準確的對應關系,進而獲得準確的形狀匹配結果.相比于傳統的形狀匹配方法,改進后的方法能夠在較高的運算效率下有效提升形狀匹配的結果,并獲得較好的形狀識別和檢索結果.

1 地貌形狀上下文

地貌形狀上下文是將地貌空間中測地距離引入對數極坐標直方圖而得到的形狀描述符.地貌空間的測地距離是對歐氏距離和內距離的折衷,其能夠更好地分析采樣點間的位置關系.因此,地貌形狀上下文可以更好地反映輪廓采樣點分布情況.

1.1 地貌空間下的測地距離

歐氏距離和內距離是分析形狀采樣點間關系的兩種不同距離度量,在形狀匹配問題中,二者表現出了不同的特點.歐氏距離能有效地克服噪聲和局部形變所帶來的干擾,而內距離可以較好地解決非剛性物體運動所產生的變化問題.圖1給出了一組相似形狀的示例,對二者對應輪廓采樣點間的距離進行分析,分別利用ED(·,·) 和ID(·,·) 表示歐氏距離和內距離.從圖中可以看出,內距離對連接不敏感,能更準確地表示圖1(b)中相似形狀對應采樣點間的距離關系;歐氏距離則能消除噪聲干擾,更準確地反映圖1(c)中相似形狀對應采樣點間的距離關系.

圖1 以不同距離度量分析相似形狀對應采樣點關系的示例Fig.1 An example of analyzing the distances between corresponding points from two similar shapes with different measures

為了平衡歐氏距離和內距離,文獻[12]選擇地貌空間(Aspect space)中的測地距離來分析形狀上采樣點間位置關系.對于圖像I(·,·):Λ→[0,1],Λ?R2為圖像的區域,其對應的地貌空間A?R3,(x,y)∈Λ,z=ηI(x,y),參數η∈[0,∞).給定η,地貌空間中兩點si與sj對應的測地線Li,j,則測地線可以定義為

利用GD(·,·)表示測地線距離,進一步可以得到

以二值圖像所表示的形狀為例,當η=0時,GD(i,j)對應歐氏距離;當η→∞時,GD(i,j)對應內距離.因此,隨著參數η的變化,可以構造出不同的地貌空間,得到對應的測地距離,進而更好地反映相似形狀對應采樣點間的關系.

1.2 形狀上下文

形狀上下文是一種基于輪廓點位置關系的形狀描述符,其基本假設是形狀信息可以利用輪廓上有限數目的采樣點進行表示,通常在輪廓上均勻采樣生成對應的點集合[6].

假設集合P={p1,p2,···,pλ}中包含形狀輪廓上λ個采樣點,分別以每個點為參考建立對數極坐標直方圖.pi∈R2處對應的對數極坐標直方圖Hi={hi(m,n):1≤m≤M,1≤n≤N}可表示為

其中,1Bmn為特征函數,Bmn為二維子集.(q?pi)∈Bmn時,1Bmn(q)=1;否則,1Bmn(q)=0.由于對數極坐標直方圖結構比較特殊,兼顧了形狀的局部信息和全局信息,能夠很好地描述輪廓點分布情況.將Hi歸一化即可得到pi處對應的形狀上下文.

假設P和Q分別為不同目標輪廓上得到的采樣點集合,則匹配損失函數Dij可以表示為χ2距離

其中,pi∈P和qj∈Q所對應的對數極坐標直方圖分別為Hi和Hj.

構造標準的形狀上下文和內距離形狀上下文的過程中,分別引入歐氏距離和內距離來分析形狀輪廓采樣點間關系,二者分別適用于表示不同類型的形狀特征.地貌形狀上下文引入測地距離來建立對數極坐標系下的直方圖,由于地貌空間中的測地距離可以同時兼顧歐氏距離和內距離兩種度量標準的自身特點,其對應生成的形狀描述符能夠更準確地描述形狀信息.

2 改進的地貌形狀上下文特征提取方法

在構造形狀描述符的過程中,測地距離能夠較為準確地描述形狀信息,但分析計算測地距離的方法速度較慢,如Fast marching算法等,導致形狀特征提取效率較低.考慮到二值圖像對應的地貌空間結構比較特殊,本文將特征提取過程中的測地距離計算問題近似為求解最短路徑問題,可以有效提升效率.同時引入模糊直方圖更加合理地描述輪廓采樣點的分布情況.

2.1 快速計算地貌空間測地距離

由于形狀通常由目標范圍的二值圖像進行表示,即I(x,y)=1或I(x,y)=0,對應生成的地貌空間結構相對簡單,其可視作由三個面所圍成:分別為平行于x,y軸的平面α,γ,及母線平行于z軸,準線為形狀輪廓方程f(x,y)=0的柱面β.其中,α對應z=η,即I(x,y)=1;β對應形狀輪廓方程f(x,y)=0;γ對應z=0,即I(x,y)=0.三個面之間有如下關系,α∩β=Γ,β∩γ=H,Γ和H分別表示兩條閉合曲線.圖2給出了一幅二值圖像和對應地貌空間的示例,圖2(a)是一幅200像素×230像素二值圖像,圖2(b)是η=260時對應生成的地貌空間.

圖2 一個二值圖像對應生成的地貌空間示例Fig.2 An example of the aspect space obtained from a binary image

對于地貌空間A中的測地線Li,j,對應的起點和終點分別為si∈A和sj∈A,參數方程定義為Li,j(t)=(x(t),y(t),ηI(x,y)),t∈[0,1]. 當滿足Li,j?α或Li,j?γ時,可知,進而由式(2)可得

圖3(a)給出了分別位于γ平面和α平面的兩條測地線片段Lb,c,Ld,e的示例.

圖3 地貌空間中測地線路徑示例Fig.3 An example of geodesic in the aspect space

當測地線片段滿足Li,j?β,且Li,j與曲線Γ和曲線H分別交于兩點si和sj,由于柱面β為可展曲面,可將其所在面β展成平面,則經過柱面β的測地線片段可對應為平面中連接兩點的直線,由式(2)可得

對于形狀輪廓上任意兩點p1和pK,將其映射至地貌空間A中可以得到兩點s1∈Γ和sK∈Γ,其在A中對應的測地線為L1,K,曲線依次經過點s1,s2,···,sK.根據測地線L1,K經過曲面的不同,將其劃分為數個首尾相接的測地線片段,可得到分別經過α平面,β柱面和γ平面的測地線片段,對應集合{Li,i+1:1≤i≤K?1,Li,i+1?A}.圖3(a)給出了一個地貌空間上測地線劃分的示例.進一步可利用式(5)和式(7)直接求解Li,i+1的長度.測地線L1,K的長度即為集合中各測地線片段Li,i+1長度之和,1≤i≤K?1,即

已知形狀輪廓上采樣點集合P={pi:1≤i≤λ},pi=(xi,yi),將P映射至地貌空間A中曲線 Γ上得到集合SΓ={si:1≤i≤λ},si=(xi,yi,ηI(xi,yi));同時將P映射到地貌空間A中曲線H上得到集合SH={sj:λ+1≤j≤2λ},sj=(xj?λ,yj?λ,0). 進而可以得到地貌空間A中的點集S=S?！萐H.對于任意si∈S和sj∈S,當|i?j|=1或|i?j|=λ?1時,GD(i,j)=‖si?sj‖2.

進一步針對S建立對應的圖模型G={S,E},其中eij∈E可通過下式得到

其中,ED(i,j)表示si和sj之間的歐氏距離.

形狀上下文特征的基本假設是利用有限數目采樣點描述形狀信息,本文也同樣設置固定數目采樣點對形狀進行表示.對于任意輪廓上點pi∈P和pj∈P,分析地貌空間中二者間測地距離的過程,可以近似視作在集合S=SΓ∪SH中分析解決si和sj間最短路徑的問題.當采樣點個數λ→∞時,求得的si與sj之間最短路徑即為測地距離,即

其中,k1,···,k?為最優路徑上中間節點對應的索引.

對于原始的測地距離計算方法,如Fast marching算法等,其是在均勻致密的網格劃分下求取測地距離.而對于本文方法而言,其可視作經過化簡后僅保留輪廓采樣點的結果,進而利用最短路徑方法求取測地距離.對于Nb×Nb的二值圖像,Fast marching算法時間復雜度為,

其隨圖像尺寸Nb的增大顯著增加.此外,該算法底層運算是求解二次方程的最大值,其過程復雜耗時.本文利用Bellman-Ford算法時間復雜度為O(λ×2λ×EG),算法的底層運算是比較求和,分析計算簡單,其中EG為圖模型G邊的數目.可見,本文方法的算法復雜度不受圖像尺寸影響.此外,由于E中已包含了很多最短路徑,也能有效減少算法迭代次數.第4.1節將通過實驗對比兩種方法的計算效率,說明本文方法的優勢.

2.2 地貌模糊形狀上下文

為了更好地描述采樣點的分布情況,本文在特征提取過程中引入模糊直方圖[13],進而構造出了地貌模糊形狀上下文.

分別對logr和θ均勻劃分得到M個模糊子集和N個模糊子集,進而可得模糊隸屬度函數和如式(10)和(11)所示.

進一步可得二維模糊子集Fm,n.二維模糊子集Fm,n對應的模糊隸屬度函數為

在構造模糊直方圖的過程中,本文以地貌空間中測地距離分析表示采樣點間距離.為了更好地反映采樣點之間的空間關系,引入不同參數η下地貌空間的測地距離分別構造形狀描述符.

在地貌參數η取值逐漸增大的過程中,采樣點間測地距離發生改變的情況越來越少,因而提取的形狀特征也逐漸趨于不變.參照文獻[12]在形狀特征提取過程中選擇8組地貌空間,本文結合η與形狀特征變化的關系,設置;當k=8時,ηk=∞,其中EDavg表示采樣點間歐氏距離的均值.

將在ηk對應的地貌空間中,以采樣點pi∈P為參考生成的:1≤m≤M,1≤n≤N}定義為地貌模糊形狀上下文.對于不同形狀上兩點pi∈P和qj∈Q,在ηk對應地貌空間中的匹配損失函數可表示為

相對框架下構造對數極坐標直方圖過程中,不同采樣點對應的全局信息通常比較接近,難以起到判別作用.因此在形狀特征提取過程中,選擇距離參考點較近的直方圖片段分析匹配損失函數.因而本文選擇在logr方向下均勻劃分8個模糊子集,選取前6個模糊子集構造對數極坐標模糊直方圖,并沿θ方向劃分12個模糊子集,即式(15)中設置M=6,N=12.

3 基于地貌模糊形狀上下文的特征匹配

在基于輪廓點集的形狀匹配方法中,特征匹配對應了分析采樣點間對應關系的過程.在構造地貌模糊形狀上下文形狀特征的基礎上,本節進一步結合動態規劃方法分析不同形狀輪廓采樣點間對應關系,進而得到形狀匹配的結果.

傳統方法選擇一個合適的地貌空間分析兩形狀間距離,通過選擇折衷的測地距離代替內距離或歐氏距離.但是對于一對相似的形狀而言,很多情況下輪廓上不同位置片段在相同的地貌空間下難以很好地匹配,往往需要在不同地貌空間下分析各輪廓片段間距離,在此基礎上進一步整合得到采樣點間對應關系.

因此在形狀特征匹配過程中,本文首先篩選出不同地貌空間下地貌模糊形狀上下文最優的匹配結果,而后在得到對應距離矩陣的基礎上進一步分析采樣點對應關系.對于以λ個采樣點表示的形狀P和Q,分別得到對應的形狀特征集合和,不同地貌空間下形狀描述符匹配的最優結果構成的λ×λ矩陣D可由下式得到

輪廓采樣點順序關系已知的基礎上,使用動態規劃算法分析P和Q上各點間對應關系.對于λ×λ維的矩陣DT,初始化以下的元素

并利用下式更新其他元素

其中,τ是懲罰參數,1≤i≤λ,1≤j≤λ.形狀間距離可以表示為Dis(P,Q)=DT(λ,λ).

為克服目標旋轉對形狀匹配造成的影響,進一步將矩陣D進行G次循環移位,第g次循環移位對應矩陣Dg

從本節的分析可知,由形狀特征計算得到矩陣D的時間復雜度為O(K×λ2),在此基礎上分析采樣點間對應關系的算法復雜度為O(G×λ2).由于參數K和G均取值較小,可知形狀特征匹配時間復雜度為O(λ2).

4 數據仿真

為了驗證本文所提方法的有效性,將分別從形狀特征提取效率和形狀檢索結果精度兩個角度進行設計實驗并加以分析.為了對比公平,本文參考文獻[10,13]的工作,實驗中均設置形狀輪廓的采樣點數目為100,即λ=100.

4.1 形狀特征提取效率

首先,通過設計實驗對不同方法下測地距離計算時間進行分析比較.對于不同尺寸下三幅相同的二值圖像,分別分析計算采樣點間的測地距離.

圖4(a)給出了實驗所用的三幅具有不同特點的二值圖像,包含簡單邊界、復雜邊界和不規則邊界的情形,實驗過程中設圖幅大小為Nb像素×Nb像素,Nb=50,100,150,···,500.實驗在相同環境下運行,計算機配置是3.60GHz和8G內存,兩種方法均通過Matlab與VC混合編程實現.選擇文獻[11]中的Fast marching算法和本文提出了最短路徑方法進行對比,本文最短路徑方法通過Bellman-Ford算法實現.不同方法下對同一幅圖像分別進行100次實驗,取平均時間作為最終結果.

圖4 分析不同方法計算測地距離效率Fig.4 Efficiency comparison of computing geodesic distances by using different methods

圖4(b)給出了用這兩種方法分別計算各采樣點之間的測地距離所需時間的比較,橫坐標表示圖幅的大小Nb,縱坐標表示計算時間的對數log(t).從圖中可以看出,無論目標的輪廓邊界為何種情況,Fast marching算法計算時間遠遠大于本文提出方法,且Fast marching算法的計算時間隨圖像大小的增大而顯著增加,而本文方法對于不同大小的二值圖像均能得到較高的計算效率.

為了更好地說明不同方法下的形狀特征提取效率,進一步選擇一個完整的形狀數據集分析比較.這里選擇Kimia-99數據集[14]進行仿真實驗,該數據集包含9個類別各11個樣本,部分樣本的示例如圖5所示.分別用兩種方法對該數據集下的全部99個樣本進行形狀特征提取,特征提取過程中按照第2.2節的分析進行參數設置,表1給出了兩種方法特征提取時間的結果比較.從表中可以看出本文所提方法能夠有效改善形狀特征提取過程的計算速度.

圖5 Kimia-99數據集中形狀樣本示例Fig.5 Examples of shapes in Kimia-99 database

表1 Kimia-99數據形狀特征提取時間比較(s)Table 1 Comparison of the time used for shape feature extraction on Kimia-99 database(s)

4.2 形狀檢索精度

為了驗證本文所提形狀匹配方法的性能,此部分給出對不同數據進行仿真實驗的結果,并與其他文獻中方法進行詳細地分析比較.在實驗過程中,按照第2.2節和第3節給出的參數設置規則對本文所提方法參數進行設置.為了確定懲罰參數τ,對Kimia-99數據集進行仿真實驗并做對比分析.在固定其他參數取值不變的基礎上,分別取τ=0.8,1.2,···,4.0,可以得到如圖6所示的PR曲線.從圖中可以看出,本文方法對特征匹配過程中的懲罰參數并不敏感,τ取值在1.2～3.2之間均能得到較好的匹配結果,本文后續試驗中設置τ=2.0.

在Kimia-99數據集和Kimia-216數據集[15]兩個樣本數較少的數據集下進行形狀匹配實驗.Kimia-99數據集在第4.1節用于進行了形狀特征提取實驗,Kimia-216數據集包含18個類別各12個樣本,部分示例如圖7所示.表2和表3分別列出了不同形狀匹配方法在Kimia-99和Kimia-216數據集上得到的形狀檢索結果.表2和表3中各列分別表示與查詢樣本近鄰的檢索結果所屬類別正確與否,其中包含了最接近的1～10組相關樣本數目及合計相關樣本數目.由表中結果可以看出,對于Kimia-99和Kimia-216兩個包含樣本數較少的數據集,本文所提方法能夠較好地分析得到形狀間的距離關系,對比其他方法可以得到更準確的形狀檢索結果.

圖6 參數τ變化對應的PR曲線Fig.6 Precision-recall curves for different τ

圖7 Kimia-216數據集中形狀樣本示例Fig.7 Examples of shapes in Kimia-216 database

為驗證本文方法在不同數據集下的有效性,這里選擇樣本數較多的Tari-1000[23]數據集進行仿真實驗.Tari-1000數據集中包含50個類別各20個樣本,圖8給出了部分樣本的示例.實驗中選用Bull′s eye score作為檢索精度的評價指標:在一次形狀檢索過程中,選擇與查詢形狀最相似的40個形狀樣本,統計其中與查詢形狀屬于相同類別的樣本數目,計算對應的查全率.

表2 Kimia-99數據在不同方法下檢索結果比較Table 2 Comparison of retrieval rates for different algorithms tested on Kimia-99 database

表3 Kimia-216數據在不同方法下檢索結果比較Table 3 Comparison of retrieval rates for different algorithms tested on Kimia-216 database

圖8 Tari-1000形狀樣本示例Fig.8 Examples of shapes in Tari-1000 database

表4列出了不同形狀匹配方法在Tari-1000數據集上的形狀檢索結果,可以看出對比其他文獻中給出的形狀匹配方法,本文所提方法能夠得到更好的形狀檢索結果.通過給出的實驗結果可以看出,本文所提形狀匹配方法在不同規模的形狀數據集下均能夠獲得較好的形狀檢索結果.

[3,9,12]的做法,本文方法引入了輪廓點順序關系作為先驗信息,能夠更好地反映形狀全局信息.對于包含順序關系的輪廓點集,可以在提取目標邊緣的基礎上采樣得到.

表4 Tari-1000數據在不同方法下的結果比較Table 4 Comparison of results for different algorithms tested on Tari-1000 database

5 結論

鑒于地貌形狀上下文存在的不足,本文提出了一種基于改進地貌形狀上下文的形狀匹配方法.將地貌空間測地距離的求解近似為最短路徑問題,相比于經典算法,本文方法有效地提高了形狀特征提取效率.通過引入對數極坐標模糊直方圖,構造地貌模糊形狀上下文形狀特征,其能夠更好地描述形狀輪廓信息.進一步引入動態規劃方法分析不同地貌空間下形狀間采樣點對應關系,能夠準確地計算得到形狀距離.通過對不同數據集樣本進行仿真實驗,證明了本文所提方法具有良好的形狀檢索效果.

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