雙時間尺度下的設備隨機退化建模與剩余壽命預測方法

2017-03-12 03:39:52張正新胡昌華司小勝張偉

自動化學報 2017年10期

張正新胡昌華司小勝張偉

受工作環境和自身材料性能惡化等因素綜合作用的影響,設備的性能不可避免地發生退化,并逐步累積成失效.對于航空航天、高鐵列車、運載火箭、鉆井平臺等大型復雜系統,一些關鍵設備的退化失效將帶來難以估量的經濟損失、人員傷亡和環境破壞[1].如果能夠在關鍵設備失效前,準確地對其進行剩余壽命預測(Remaining useful life,RUL),就能夠及時主動地采取預防措施,避免災難的發生.傳統的基于失效數據的方法需要同類設備的失效數據,耗時長、成本高,不能適應新形勢下設備壽命預測的需求.基于設備退化測量數據建立退化模型,進而對失效設備RUL預測的方法是一條經濟可行的途徑[2?4].因此,設備的退化建模與剩余預測逐漸得到學者和工程技術人員的關注、研究和應用,成為可靠性領域的一個研究熱點[5?9].

設備的退化軌跡往往具有隨機性,故基于隨機過程的方法成為退化建模中的主流方法.文獻中已有的相關研究可分為兩類:針對硬失效的退化建模方法和針對軟失效的方法.針對硬失效的建模方法,通常將設備的隨機退化過程作為協變量融入到比例風險模型的失效率函數中,刻畫退化過程對設備失效的影響,進而實現設備的RUL預測[10?11];針對軟失效的方法,一般將設備隨機退化過程首次到達某個失效閾值的時間定義為設備的壽命,通過求解該首達時間的分布實現設備的壽命和剩余壽命預測[4?5].由于第二類方法具有物理意義直觀明確、計算簡單便捷、便于融入隨機效用等優點,且工程實際中大量隨機退化系統的失效模式屬于軟失效,因此本文基于第二類方法展開研究.

時間尺度是退化建模和剩余壽命預測的基本要素之一,也是一個常被現有方法所忽視的問題.事實上,目前文獻中絕大多數的退化模型都只考慮了單一的時間尺度,包括退化模型中的自然時間、Li-ion電池退化模型中的充放電次數、金屬試樣疲勞試驗中的循環次數等,使用的都是單個時間尺度.在對實際系統的退化建模和RUL預測中,也會面臨雙時間尺度、甚至多時間尺度的問題.例如,在評估汽車輪胎保修期之前,需要確定一個時間和行駛路程雙時間尺度下的壽命分布[12];在對飛機起落架進行檢修決策時,需要考慮起落架服役的總時長、處于工作狀態的時長以及經受的起落次數三個不同時間尺度下的壽命[13?14].再如,研究表明通電測試對貯存中的慣性儀表的性能退化有明顯的加速作用,而維護和備件訂購等決策都基于自然時間[15].因此,有必要考慮雙時間尺度下慣性儀表的退化建模和剩余壽命預測問題.此外,不同時間尺度通常也不是相互獨立的,由于設備運行過程中的隨機性,不同時間尺度之間的關系也難以通過確定性的函數描述.這些問題雖有一些學者展開了研究,但現有的雙時間尺度或多時間尺度失效模型都是基于傳統的失效數據[13?14,16],尚未發現關于雙時間尺度下設備隨機退化過程建模和RUL預測的文獻報道.

鑒于以上討論,本文提出了一種基于Wiener過程的雙時間尺度隨機退化建模和剩余壽命預測方法,利用隨機比例系數描述兩個時間尺度之間的關系,實現雙時間尺度下設備的退化過程建模.在此基礎上,推導了雙時間尺度下設備壽命和RUL分布的解析解,并討論了其與基于單時間尺度退化模型得到結果之間的關系.同時,給出了基于歷史退化數據的未知參數極大似然估計方法.最后,通過慣性平臺關鍵器件陀螺儀的退化建模和RUL估計驗證了所提方法的有效性.

1 隨機退化建模

基于Wiener過程的退化模型能夠對非單調的退化設備進行建模,且具有解析形式的首達時間分布,已經廣泛應用于激光發生器、LED燈、金屬材料等的退化建模和剩余壽命預測[17?19].因此,本文基于Wiener過程進行雙時間尺度下設備的退化建模.下面,首先給出單時間尺度下基于Wiener過程的退化模型.

1.1 單時間尺度隨機退化建模

令t時刻設備的退化狀態為X(t),基于Wiener過程來刻畫設備的退化,即

其中,λ0表示設備的初始退化水平,漂移系數λ1表示設備的退化速率,擴散系數σB和標準布朗運動B(t)一起,描述系統健康狀態的動態不確定性.λ0,λ1,σB及B(t)相互獨立.這里假設設備的退化表現為指標X(t)的增加,對于性能指標逐漸降低的設備,其退化過程可通過簡單的數學處理使其轉化為逐漸增加的退化過程.

顯然,式(1)所描述的退化模型適合對線性的退化過程進行建模.當設備的退化軌跡呈現非線性特性時,可通過適當的變換,將退化軌跡線性化之后進行建模.這種變換可以通過對退化水平本身實現,例如將指數型的退化軌跡對數化[20],也可以通過時間尺度變換實現[21].下文中的方法可以擴展到可線性化的非線性退化建模中與RUL預測中.

通常當設備的狀態超過某個預定的失效閾值w時,不再滿足實際使用需求,認為設備失效.故將性能指標超過閾值w的首達時間定義為設備的壽命T,即

相應地,tk時刻系統的剩余壽命Lk可表示為

1.2 雙時間尺度隨機退化建模

當考慮兩個時間尺度t和τ時,設備的性能退化狀態X(t,τ)可以通過式(4)描述

其中,W(τ)是時間尺度τ下的一個標準布朗運動,與擴散系數σW一起表征由時間尺度τ引入的動態不確定性,λ2表示與時間尺度τ相關的退化速率.當然,也可以借鑒雙時間尺度失效模型的常用的方法,解算出設備的使用率,進而借鑒加速退化模型的方法把使用率結合到退化模型中,把問題簡化成一個維度,并考慮兩個時間尺度之間的關系[22].為突出雙時間尺度與單時間尺度退化模型的聯系與區別,本文將設備壽命定義為

其中,Λ(t)用于描述時間尺度t與τ之間的關系.

模型(1)中假設漂移系數λ1與擴散系數σB相互獨立,模型(4)中同樣假設漂移系數λ1,λ1與擴散系數σW,σB相互獨立.這種假設被大多數基于Wiener過程的退化模型所采用.然而,Ye等最近考慮了漂移系數與擴散系數之間的關系,假設其之間滿足比例關系[23].當考慮漂移系數與擴散系數之間的關系時,同樣可基于文獻[23]中的壽命分布結果,構建雙時間尺度下的退化模型,推導過程類似.

模型(4)與現有的多退化量模型差異顯著.多退化量指的是表征設備性能的指標是多元的,即單維的退化狀態X(t)應該表示成多維向量的形式X(t).而本文考慮的雙時間尺度退化模型中,刻畫設備性能退化狀態的隨機變量仍是一維的,但是時間尺度由t變成了[t,τ].可以認為,多退化量模型針對的是函數向量表示的退化過程,而本文考慮的是用兩個時間尺度的二元標量函數刻畫的退化過程.

如前所述,時間尺度之間通常是相互關聯的.本文也主要考慮兩個時間尺度相互關聯時的情形.當兩個時間尺度t和τ相互不相關時,壽命分布的推導及參數估計等都將更加簡單.為簡單起見,兩個時間尺度t和τ之間的關系可以用如下函數表述

其中,γ表示時間尺度τ所占時間尺度t的比例.例如,若t和τ分別表示自然時間與工作時間,則γ為工作率.為了描述設備運行過程中的不確定性,這里假設γ為服從正態分布的隨機變量.當然,根據設備的具體運行情況,也可以選擇服從其他類型分布的隨機變量刻畫不同時間尺度之間的關系.此外,這種關聯并不要求其中一個時間尺度為另外一個時間尺度的一部分,例如實例分析中通電時間與儲存時間的關系.對于其他不同形式的雙時間尺度,例如輪胎保養中涉及的行駛里程與使用時間[23],雖互不包含,但仍可用式(6)進行描述.

類似地,設備在某給定時刻tk的剩余壽命[Lk,Ψk]可定義為

本文的目的是求解[T,Λ]和[Lk,Ψk]的概率密度函數(Probability density function,PDF)及累積概率分布函數(Cumulative distribution function,CDF).為敘述方便,下文分別將單時間尺度和雙時間尺度退化模型記為M1和M2.

對比單時間尺度退化模型(1)和雙時間尺度退化模型(4)可知,本文提出的雙時間尺度模型是基于單時間尺度提出來的,能夠將單時間尺度模型包含為特例,當λ2=0且σ2W=0時,雙時間尺度模型即為單時間尺度模型;同時,推導雙時間尺度下的壽命分布也需要基于單時間尺度退化模型的相關結果.然而,雙時間尺度退化模型并不僅僅是兩個單時間尺度模型的簡單疊加,還需要考慮了兩個時間尺度之間的相互關系.此外,單時間尺度退化模型結構簡單,需要估計的參數少,但往往忽略了另一個時間尺度對退化過程的影響;雙時間尺度模型雖然需要確定的參數更多,但能夠提供更多的壽命分布信息,同時也為考慮不同因素對退化過程的影響提供了一條新的途徑.

2 壽命分布和剩余壽命分布推導

為了計算M1下設備壽命的PDF,需要用到單時間尺度下的一些壽命分布的一些結論以及條件概率公式.具體地

因此,首先給出單時間尺度t,即M1下設備的壽命分布.根據文獻[18]中的結論,對于式(1)描述的隨機退化設備,給定λ0和λ1時,其壽命T和RULLk都有解析形式的PDF,即

其中,λT=[λ0,λ1],w0=w?λ0,wk=w?λk.

相應地,如式(12)和式(13)所示,設備的壽命T和RULLk的CDF可據逆高斯分布的性質得到,已被許多文獻引用與驗證,證明過程可參考文獻[24].

根據式 (10)和式 (11),利用文獻 [18]中的引理1,可以推導出單時間尺度下設備壽命和 RUL 的條件 PDF, 即fT|Λ,θ,M1(t|τ,θ,M1) 和fLk,Ψk|θ,M1(lk,ηk|θ,M1) 的表達式, 分別如式 (14)和式(15)所示.

利用文獻[19]中的相關結論,其對應的CDF分別如式(16)和式(17)所示.

根據式 (6) 中的相關假設,fΛ|θ,M1(τ|θ,M1) 和fΨk|θ,M1(ηk|θ,M1) 為正態分布,表達式為

將式(14)、(18)及式(15)、(19)代入式(8)和式(9),可得到雙時間尺度下設備壽命與RUL的分布.

進一步,可以基于以上雙時間尺度壽命分布的結果得到一些有用的結論.具體地,通過求解式(8)和式(9)關于時間尺度t和τ的邊緣分布,可得到單個時間尺度下的壽命和RUL分布,如式(20)和式(21)所示.若t為設備的儲存壽命,τ為設備的累計工作時間,可通過計算T和Lk的邊緣分布,求解考慮測試影響的系統的貯存壽命和剩余貯存壽命分布.

同理,可通過計算Λ和Ψk的邊緣分布,求解考慮貯存期系統性能退化影響的間歇工作系統的工作壽命和剩余工作壽命,具體過程與式(20)和式(21)類似.需要說明的是,通過求解雙時間尺度下壽命和RUL分布的對其中一個時間尺度的邊緣分布得到的其中一個時間尺度下設備的壽命和RUL分布,將考慮另外一個時間尺度對設備性能退化的影響,以及兩個時間尺度之間的關系,將會使壽命和RUL估計更準確.這一點將在第4節陀螺儀的RUL預測結果中得到進一步驗證.

本節的結論都是在模型參數已知的前提下得到的,而工程實際中往往需要根據設備的歷史退化數據確定模型的參數.因此,下一節將考慮基于設備歷史觀測數據的模型參數估計方法.

3 模型參數估計

本節根據Wiener過程的性質,基于設備的歷史性能觀測數據,利用極大似然估計來對模型中的未知參數進行估計.假設有N個系統,其中第n個系統有mn次測量數據,其第j次測量得到的結果和對應的時間分別為xn,j,tn,j和τn,j.進一步,令分別表示第n個設備的退化數據和所有設備的退化數據,未知參數記為服從多元正態分布,故其對數似然函數為

其中,tr(·)表示矩陣的跡運算.除式(23)外,令偏導數為零并不能得到解析的參數估計值,因此只能采用優化算法優化似然函數?(φ|x)得到參數的點估計值.在本文的實例研究中,采用的優化算法是單純形法,即MATLAB中的多維優化函數fminsearch.

為了得到未知參數φ的區間估計,?(φ|x)對未知參數φ求二階導數,如式(26)～(31)所示.

基于以上二階微分的結果,可知參數φ的信息陣I(φ)為

其中,diag{·,·}為分塊對角矩陣,I1(φ) 與I2(φ)分別為

其中,

根據極大似然估計的性質,當樣本足夠大時,可將點估計的結果?φ代入Fisher信息陣中,即I(φ),進而得到參數的區間估計.具體地,未知參數φ的置信度為a的區間估計為

其中,k=1,···,5,za= Φ?1(1?a)表示標準正態分布的1?a分位數,為的估計值,而可基于Fisher信息陣和Delta方法得到,即

當得到參數的點估計后,可用圖形化的方法表征雙時間尺度退化模型的擬合優度(Goodness of fit).具體地,令yn,j=xn,j?xn,j?1為第n條退化軌跡的在第j?1個狀態監測時刻的退化增量,易知yn,j服從均值和方差分別為μn,j=λ1?tn,j+λ1?Λn,j與的正態分布,其中,?tn,j=tn,j?tn,j?1,?Λn,j= Λn,j?Λn,j?1.故有如下統計量

其中,d(φ)表示模型參數的個數.一般而言,極大對數似然函數?(?φ|x)的值越大,AIC的值越小,對應的退化模型對退化數據的擬合越好.

將本節參數估計的結果代入上節的壽命和剩余壽命分布中,即可得到設備的壽命或者剩余壽命分布.至此,本文實現了基于歷史監測數據的設備退化建模與剩余壽命預測.下一節將本文方法應用于陀螺儀漂移系數退化數據的分析中,對所提方法進行說明和驗證.

4 實例研究

陀螺儀是慣性平臺的核心器件,常用于火箭、導彈等長期儲存一次使用的系統中.在陀螺儀的長期儲存過程中,其性能不可避免地發生退化,具體體現為其漂移系數的增加.當陀螺儀的漂移系數超過一定閾值時,不能再滿足使用需求,故認為陀螺儀失效.工程實際中超過90%的陀螺儀失效為陀螺漂移系數超差[25].為了保證貯存陀螺儀的性能能夠滿足使用的要求,必須定期或不定期地對陀螺儀進行通電檢測.而通電檢測將會加速陀螺儀的性能退化,故累計通電時間也是衡量陀螺儀壽命的一項重要指標.因此,在對陀螺儀進行剩余壽命預測時,必須綜合考慮儲存時間t和檢測(通電)時間τ兩個時間尺度.

下面利用文獻[15]提供的陀螺儀漂移率歷史測試數據對本文方法進行驗證.該組數據包括了6組陀螺儀的漂移率數據、儲存時間數據以及每次檢測時長數據.如圖1所示,陀螺儀的檢測是不定期進行的,且每次測試的時間為隨機變量.基于陀螺儀測試的時間數據以及每次測試的時長數據,利用極大似然估計即可以得到式(6)中參數γ所服從的正態分布為N(0.2916,0.05642).

圖1 不同時間尺度下陀螺儀的漂移系數Fig.1 Gyroscopic drifts under different time scales

受篇幅限制,本文僅給出#3陀螺儀退化軌跡的相關結果.首先,利用所提極大似然估計方法計算模型中的未知參數,所得結果如表1所示.時間尺度t下未知參數的似然函數明顯大于時間尺度τ下的似然函數,這是因為陀螺儀的性能退化主要是由于通電測試引起的.進一步對比表1中的數據可知,雙時間尺度下退化模型中未知參數的對數似然函數更大,而時間尺度τ下AIC準則只略大于雙時間尺度下的AIC.因此,綜合兩個指標,雙時間尺度模型能夠更好地擬合陀螺儀的退化軌跡.

基于表1中的參數估計,可計算雙時間尺度下該陀螺儀的壽命分布,所得結果如圖2所示.需要說明的是,為了得到該陀螺真實的失效時間,這里選擇的是該陀螺最后一次測試的漂移值作為失效閾值,即w=0.2516,而不是文獻[15]所設定的w=0.5.這并不影響實驗的效果.圖2中壽命的PDF考慮了兩個時間尺度之間的隨機關系,故相較于單時間尺度下一維的壽命PDF,圖2能夠提供更多的壽命分布信息.

表1 #3陀螺儀的模型參數估計結果Table 1 Estimated parameters based on degradation path#3

此外,利用式(20)和式(21)計算該陀螺儀RUL在單個時間尺度t下的PDF,并利用類似的方法計算單個時間尺度τ下陀螺儀的剩余壽命的分布.同時,為了量化比較雙時間尺度和單時間尺度下剩余壽命預測的準確性,引入均方誤差(Mean squared error,MSE)指標.該指標既考慮了RUL預測值的準確性,又考慮了RUL分布的不確定性,是RUL預測中最常用的指標.其定義為

圖2 雙時間尺度下陀螺儀壽命的PDFFig.2 PDF of gyroscope#3 under bivariate time scale

圖3(a)和圖3(b)分別給出了時間尺度t下通過雙時間尺度和單時間尺度得到的設備RUL的PDF,即剩余貯存壽命的PDF.容易看出,通過雙時間尺度得到的結果,即考慮貯存過程中測試對性能退化的影響時,得到的RUL的PDF更緊致,說明預測的不確定性更小,準確度更高.從圖4中的MSE結果,能看出通過雙時間尺度得到RUL估計的MSE明顯小于通過單時間尺度得到的結果,進一步證實了所提方法的準確性.

圖3 時間尺度t下陀螺儀RUL的PDFFig.3 PDF of RUL under time scale t

圖4 儲存時間尺度下M1和M2下剩余壽命預測的MSEFig.4 MSE comparison of M1and M2under time scale t

在時間尺度τ下,兩種方法得到陀螺儀RUL的PDF分別如圖5(a)和圖5(b)所示.整體而言,圖5中的PDF曲線相比于時間尺度下的結果更緊致.因為陀螺儀的退化主要是由于通電測試引起的,通電時間與退化過程的相關程度更高.圖6中MSE遠小于圖4中的結果.對比圖5(a)與圖5(b)可知,在時間尺度τ下,通過雙時間尺度得到的RUL估計更準確,由雙時間尺度得到的RUL對應的MSE明顯小于通過單個時間尺度得到結果.

綜合以上分析結果,基于雙時間尺度退化建模的RUL預測方法有兩個明顯優點.1)該方法考慮了不同時間尺度之間的隨機關系,能提供更全面的設備壽命信息;2)預測結果能較方便地將轉化到單時間尺度下,且轉化后的結果比基于單時間尺度退化模型的預測方法精度更高.

5 結論

針對工程實際中一類性能變化過程與兩個時間尺度相關聯的隨機退化設備,本文提出了一種基于Wiener過程的雙時間尺度隨機退化建模與RUL估計方法.通過隨機系數,刻畫時間尺度之間的不確定關系.在首達時間意義下,推導了雙時間尺度下設備壽命和RUL的分布,給出了基于設備歷史觀測數據的模型參數極大估計方法.陀螺儀RUL預測的實例應用結果表明,所提方法不僅能提供更全面的RUL分布信息,而且預測結果能方便地轉換到單時間尺度下,并有效提高單時間尺度下RUL預測的準確性.

圖5 時間尺度τ下陀螺儀RUL的PDFFig.5 PDF of RUL under time scale τ

圖6 檢測時間尺度下M1和M2下剩余壽命預測的MSEFig.6 MSE comparison of M1and M2under time scale τ

雖然所提出方法較之前的方法有一定的改進,但仍有一些問題值得進一步研究.1)基于Wiener過程的模型一般適合對非單調退化過程進行建模,而工程實際中也存在大量的非單調的隨機退化過程,因此，可以采用與本文類似的思路,構建基于Gamma過程或者逆高斯過程的雙時間尺度退化模型;2)雖然目前文獻中提出了一些將非線性退化過程轉化為線性化模型進行分析的方法,但工程實際中存在一些難以線性化的退化過程,因此,有必要在非線性化框架下將所提的雙時間尺度退化模型進行擴展;3)工程實際中可能既有離散的時間尺度(例如充放電次數、循環次數等),又有連續的時間尺度(例如自然時間、儲存時間等),如何描述不同時間尺度之間的關系,并將其融入到雙時間尺度退化模型中值得進一步研究;4)雙時間尺度的失效數據分析模型是存在的,現實中有一些系統同時有失效數據和退化數據,如何對在雙時間尺度下實現對失效數據和退化數據的聯合分析,有待進一步考慮.

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